广东省中山市第一中学2019-2020学年高一上学期段考数学试题

广东省中山市第一中学2019-2020学年高一上学期段考数学试题

www.ks5u.com 中山市第一中学2019—2020学年度第一学期 高一级 第二次段考 数学试题 一、选择题（共10个小题,每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求．‎ ‎1.若集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ∅‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选 ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ B. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；‎ C. 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．‎ D. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合多面体的几何性质逐项分析，A项中两点连线需平行于轴；B项正确；‎ C项结合棱台定义可判断错误；D项若边为斜边时不满足 ‎【详解】对A，只有两点连线平行于轴时，两点连线是母线，故A错；‎ 对B，因为底面是正多边形，当相邻两侧面和底面垂直时，可推出所有侧面和底面都垂直，故为正棱柱，B正确；‎ 对C，根据棱台的定义，上下底面应为相似形且侧棱的长不一定相等；‎ 对D，若旋转的边为斜边，则旋转体为两个圆锥的组合体 故选B ‎【点睛】本题考查几何体的特征，属于基础题 ‎3. 平行于同一平面的两条直线的位置关系（ ）‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系:‎ 若a∥α，且b∥α 则a与b可能平行，也可能相交，也有可能异面 故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面 故选D 考查的知识点是空间线线关系及线面关系，熟练掌握空间线面平行的位置关系及线线关系的分类及定义是解答本题的关键 ‎4.若对于任意实数都有，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采用赋值法，令，再联立求解即可 ‎【详解】令得①；令得②，联立①②解得 故选C ‎【点睛】本题考查具体函数值的求法，列方程组求值是解法之一，属于基础题 ‎5.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数同增异减的性质即可求解 ‎【详解】由题可知，函数可看作，外层函数为增函数，根据同增异减的性质，则内层函数需先满足，即或，当时，内层函数为增函数，则复合函数在时为增函数；‎ 故选D ‎【点睛】本题考查复合函数增减性，属于基础题 ‎6.函数的图象大致形状为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，在区间上的函数值符号进行排除，可得出函数的图象.‎ ‎【详解】函数的定义域为，关于原点对称，‎ 且，该函数为奇函数，排除C、D选项，‎ 当时，，此时，，排除A选项，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7.若，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先比较三个数与“1”的关系，再结合指数函数和对数函数性质判断即可 ‎【详解】，，根据指数函数的性质可知，，‎ 则；‎ 故选A ‎【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数性质比大小，属于基础题 ‎8.已知函数的图像是连续不断的，有如下，对应表格：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎132.5‎ ‎210.5‎ ‎－7.56‎ ‎11.5‎ ‎－53.76‎ ‎－126.8‎ 函数在区间上有零点至少有（ ）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点存在定理进行判断即可 ‎【详解】由题可知，根据零点存在定理，则至少有三个零点；‎ 故选B ‎【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题 ‎9.下列说法不正确的是（ ）‎ A. 三角形一定是平面图形 B. 若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形 C. 圆心和圆上两点可确定一个平面 D. 三条平行线最多可确定三个平面 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用确定平面的公理及其推断进行判断即可 ‎【详解】由定义可知，三角形一定是平面图形，A正确；‎ 由相交直线确定一个平面可知，若四边形两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形，B正确；‎ 当圆心和圆上两点构成直径时，此时可有无数平面经过此三点，故C不正确；‎ 三条平行线可确定三个平面，正确，如三棱柱三条侧棱，故D正确 故选C ‎【点睛】本题考查平面的公理和判断，属于基础题 ‎10.若直角坐标平面内的两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称．则称点对是函数的一对“友好点对”，(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数 且，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由“友好点对”概念知，可结合关于原点对称的图像与的交点情况进一步确定即可 ‎【详解】由于参数不确定性，可分为和两种情况；‎ 当时，关于原点的对称图像与的图像如图所示：‎ 根据“友好点对”的定义可知，当时，“友好点对”有且仅有一对恒成立；‎ 当时，关于原点的对称图像与的图像如图所示：‎ 要符合“友好点对”有且仅有一对，则需满足，解得，则，‎ 综上所述，‎ 故选C ‎【点睛】本题考查函数新定义的理解，函数图像的变换法则与数形结合的思想，属于中档题 二、选择题（共3个小题,每小题4分，共12分．每题有多个选项是符合题目要求．全对得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分）‎ ‎11.用一个平面去截一个正方体，所得的截面可能是（ ）‎ A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可由平面与正方体具体有几个面相交作进一步判断 ‎【详解】若与三个平面相交，则截面是三角形；与四个平面相交，则截面是四边形；与五个平面相交，则截面是五边形；与六个平面相交，则截面是六边形 故选ABCD ‎【点睛】本题考查截一个几何体的截面形状，可简单记为：截面经过几个面，得到的形状就是几边形，属于基础题 ‎12.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，、分别为、的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有（ ）‎ A. 直线与直线异面 B. 直线与直线异面 C. 直线∥平面 D. 直线∥平面 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将展开图还原成几何体，再由位置关系进一步确定线线与线面关系即可 ‎【详解】由题可知，该几何体为正四棱锥 对，可假设与共面，由图可知，点不在平面中，故矛盾，正确；‎ 对，因为中点，故，又四边形为正方形，所以，故 ‎，四点共面，错；‎ 对，由的证明可知，，又平面，故直线∥平面，正确；‎ 对，同理由的证明可知，，又平面，故直线∥平面，正确 故选ACD ‎【点睛】本题考查正四棱锥的特征，异面直线的判断，线面平行的判定，属于中档题 ‎13.对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ 分析】‎ 由 “和谐区间”定义，结合每个函数进行判断，逐一证明函数存在或不存在“和谐区间”即可 ‎【详解】对A，可知函数单调递增，则若定义域为时，值域为，故不存在“和谐区间”；‎ 对B，，可假设在存在“和谐区间”，函数为增函数，若定义域为时，值域为，则，解得（符合），（舍去），故函数存在“和谐区间”；‎ 对C，，对称轴为，先讨论区间，函数为减函数，若定义域为时，值域为，则满足，解得，故与题设矛盾；同理当时，应满足，解得，故无解，所以不存在“和谐区间”； ‎ 对D，为单增函数，则应满足，可将解析式看作，‎ ‎，由图可知，两函数图像有两个交点，则存在“和谐区间”‎ 故选BD ‎【点睛】本题考查函数新定义，函数基本性质，方程与函数的转化思想，属于难题 三、填空题（每小题4分，满分16分.）‎ ‎14.幂函数的图像经过点，则_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入求得，再求函数值即可 ‎【详解】将代入得，则，则 故答案为4‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的求值，属于基础题 ‎15.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.‎ ‎【详解】连接，根据三角形中位线得到，所以是异面直线与所成角.在三角形中，,所以三角形是等边三角形，故.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎16.定义在R上的偶函数对任意的,且，都有，且，则不等式解集是____________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可由定义得函数在为减函数，再根据偶函数性质结合解不等式即可 ‎【详解】由题可知函数在为减函数，又，可画出拟合图像，如图：‎ ‎，当时，即或，需满足，解得；‎ 当时，即，，解得 综上所述，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查单调性与奇偶性的综合应用，数形结合的思想，属于中档题 ‎17.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，，，，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先连接交与点，结合四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求得正方形边长，再画出折叠后的立体图形，找出外接球的球心，结合勾股定理即可求解 ‎【详解】如图：‎ 连接交与点，设正方形边长为，，则，‎ 则正方形面积为：，四棱锥的侧面积为：，由题意得，即，解得，画出折叠后的立体图形．如图：‎ 设重合点为，该四棱锥为正四棱锥，球心应在的连线上，设为，设外接球半径为，则，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面积为：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查图形折叠前后的变换关系，四棱锥的外接球半径的求法，属于中档题 四、解答题 （本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎18.设全集，集合，=‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若．若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将集合化简，再求；‎ ‎（2）由可得，再分和两种情况具体讨论即可 ‎【详解】（1）， ‎ 所以，‎ 所以或.‎ ‎（2）因， ‎ 当，即时，， ‎ ‚当，即时，有 解得： ‎ 综上可知，满足条件的的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由包含关系求解参数，属于中档题 ‎19.（1）计算：；‎ ‎（2）已知( ) ，求的值.‎ ‎【答案】（1）6；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合对数的运算性质化简即可；‎ ‎（2）结合两次平方关系即可求得 详解】（1）原式. ‎ ‎（2）‎ ‎ , ‎ ‎【点睛】本题考查对数运算性质的化简，对数恒等式，换底公式的应用，平方和公式的应用，属于中档题 ‎20.已知函数，且.‎ ‎（1）判断的奇偶性并证明；‎ ‎（2）判断在上的单调性，并给予证明．‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）减函数，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入求得，再由函数奇偶性的定义判断即可；‎ ‎（2）利用函数单调性的定义证明即可 ‎【详解】（1）由得， 解得； ‎ 由（1）得，定义域为关于原点对称，‎ ‎， ‎ ‎∴为奇函数.‎ ‎（2）函数在上是单调减函数，证明如下：‎ 设，且 ‎ ‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎，‎ ‎∴ ，即 ， ‎ 所以在上是单调减函数.‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，奇偶性的证法，单调性的判断与证明，运算能力，属于中档题 ‎21.如图，在四棱锥中，，，为棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）试判断与平面是否平行？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）不平行，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可结合中位线定理证明，取PC的中点F，连接EF，BF，先证明四边形为平行四边形，可得，即可得证；‎ ‎（2）可采用反证法，假设与平面平行，先证为中点，再通过相似三角形可得，即证出矛盾，故不成立 ‎【详解】证明：（1）取PC的中点F，连接EF，BF， ‎ 则，且，‎ 又因为，，‎ 所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 则，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）与平面不平行. ‎ 假设面，‎ 设，连结，‎ 则平面平面，‎ 又平面， 所以. ‎ 所以，在中有，‎ 由为的中点可得，即. ‎ 因为，所以，这与矛盾， ‎ 所以假设错误，与平面不平行.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，反证法在线面平行中的应用，属于中档题 ‎22.某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体至少要投资4万元．根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益与广告费满足，在网络媒体上投放广告的收益与广告费满足，设在报刊上投放的广告费为(单位：万元)，总收益为(单位：万元).‎ ‎(1)当在报刊上投放的广告费是18万元时，求此时公司总收益；‎ ‎(2)试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大?‎ ‎【答案】（1）16万元；（2）当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意收益分为两部分，报刊广告收益和网络媒体广告收益，代入具体数值即可求解；‎ ‎（2）列出总收益对应的表达式，再利用换元法结合二次函数即可求得收益最大值 ‎【详解】(1)当时，此时在网络媒体上投资为12万元， ‎ 所以总收益 (万元). ‎ ‎(2)由题知，在报刊上投放的广告费为万元，则在网络媒体上投放广告费为万元，‎ 依题意得，解得， ‎ 所以， ‎ 令，则，所以=. ‎ 当，即万元时，的最大值为17万元． ‎ 所以，当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元．‎ ‎【点睛】本题考查函数的实际应用，最大收益问题与二次函数的基本关系，属于中档题 ‎23.已知函数对于任意的，都有，当时，，且．‎ ‎（1）求，的值； ‎ ‎（2）当时，求函数的最大值和最小值；‎ ‎（3）设函数，判断函数g(x) 最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2），；（3）当 时，函数最多有4个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）观察表达式可知函数为抽象函数，可给赋具体值，令和即可求得；‎ ‎（2）可先求证函数的单调性，结合时，，证明函数为减函数，再采用赋值法和函数单调性即可求解最值；‎ ‎（3）令代入，可证函数为奇函数，化简得，再结合奇偶性和增减性即可判断函数的零点个数和参数取值范围 ‎【详解】（1）令得，得. ‎ 令，，得，解得．‎ ‎(2)任取且，则， ‎ 因为，即，‎ 令 则. ‎ 由已知时，且，则，‎ 所以 ，，‎ 所以函数在R上是减函数， ‎ 故在单调递减.‎ 所以，‎ 因为，‎ ‎，‎ 故，. ‎ ‎ (3) 令代入，‎ 得，‎ 所以，故为奇函数. ‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎ ，‎ 令，即 因为函数在R上是减函数， ‎ 所以，即， ‎ 所以当 时，函数最多有4个零点.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数具体函数值的求法，奇偶性，增减性的应用，函数最值得求解，函数与零点的应用，解决抽象函数类题型需要多观察，学会利用已知条件进行代换，函数与零点问题可采用数形结合思想和函数图像特征判断求解，属于难题 ‎ ‎