陕西省延安市吴起高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

陕西省延安市吴起高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

吴起高级中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高一数学试卷 一、单选题 ‎1.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得图中的阴影部分表示的集合为,再求得解.‎ ‎【详解】由题得图中的阴影部分表示的集合为,‎ 由题得,所以=.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.直线经过坐标原点和点，则直线的倾斜角是（　　）‎ A. B. C. 或 D. ﹣‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用斜率与倾斜角的关系即可得出．‎ ‎【详解】设直线l的倾斜角为θ，∵直线l经过坐标原点和点（-1，﹣1），‎ ‎∴直线l的斜率k＝tanθ＝=1，∵θ∈[0，π）．∴θ=．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系、斜率计算公式，属于基础题．‎ ‎3.如图所示的直观图（阴影），其平面图形的面积为（ ）‎ A. 3 B. C. 6 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在原平面图形中满足，且，再代入面积公式即可．‎ ‎【详解】由斜二测画法的概念可知，在原平面图形中满足，为直角三角形且，所以．选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用斜二测画法求原平面图形的面积，属基础题．‎ ‎4.下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减是（　　）‎ A. B. y=ln（-x） C. y=x3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数是减函数,但不是奇函数,故不满足条件. ‎ 函数. y=ln（-x）不是奇函数,在（0，+∞）上单调递减,故不满足条件.‎ 函数y=x3是奇函数,且在（0，+∞）上单调递增,故不满足条件.‎ 函数是奇函数,且在（0，+∞）上单调递减,故满足条件.‎ ‎5.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周 ，所得的几何体包括（   ）‎ A. 一个圆柱、两个圆锥 B. 两个圆台、一个圆柱 C. 两个圆柱、一个圆台 D. 一个圆台、两个圆锥 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，根据旋转体的定义，可直接得出结果.‎ ‎【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：‎ 矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；‎ 因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查旋转几何体的定义，熟记定义即可，属于常考题型.‎ ‎6.若集合中只有一个元素，则实数的值为（ ）‎ A. 0或1 B. ‎1 ‎C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对k分类讨论，满足题意，时，，综合即得解.‎ ‎【详解】当时，，满足意义；‎ 当时，由题得.‎ 综合得0或1.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查元素与集合，意在考查学生对这些知识理解掌握水平.‎ ‎7.已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数以及对数函数的性质判断即可．‎ ‎【详解】a＝21.2＞2＞b＝（）﹣0.8＝20.8＞1＞c＝ln2，‎ 故a＞b＞c，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数以及对数函数的单调性问题，是一道基础题，解题关键是选择好中间量．‎ ‎8.若三点在同一条直线上，则实数的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由三点在同一直线上,则可得,由斜率计算公式可知 ,解得.故本题选.‎ ‎9.已知，则 A. 3 B. ‎9 ‎C. –3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求出，从而可得结果.‎ ‎【详解】令 那么 所以 即3，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题.‎ ‎10.以为圆心且与直线相切的圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 圆心到直线的距离为：.‎ 即圆的半径为.‎ 圆的方程为.‎ 故选B.‎ ‎11.己知是两相异平面，，是两相异直线，则下列错误的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若 ，,则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 选项A，由线面垂直的性质及判定可得，故A正确．‎ 选项B，由可得，又，所以，故B正确．‎ 选项C，由线面垂直的性质可得正确．‎ 选项D，由条件可得可能平行、相交或异面，故D不正确．‎ 综上选D．‎ ‎12.直线ax＋y＋m＝0与直线x＋by＋2＝0平行，则(　　)‎ A. ab＝1，bm≠2‎ B. a＝0，b＝0，m≠2‎ C. a＝1，b＝－1，m≠2‎ D. a＝1，b＝1，m≠2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 直线ax＋y＋m＝0与直线x＋by＋2＝0平行，‎ 易知 所以，解得.‎ 故选A.‎ 二、填空题 ‎13.lg20+lg5=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎【详解】原式 故答案为2．‎ ‎【点睛】熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题．‎ ‎14.如果棱长为的正方体的八个顶角都在同一个球面上，那么球的表面积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设球半径为，则，‎ ‎∴，‎ 球的表面积．‎ 故填.‎ ‎15.设函数有两个不同零点，则实数的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，由，得函数有两个不同的零点，当时，函数还有一个零点，令，得，‎ ‎，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎16.已知一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ‎，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 由题意，一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，且体积为，（如图所示）‎ ‎ 设该正三棱柱的高为，则，解得，‎ ‎ 所以该正三棱柱的左视图的矩形的长为，宽为，所以其面积为.‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查了几何体题的三视图问题，其中解答中涉及在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.‎ 三、解答题 ‎17.三角形ABC的三个顶点A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：‎ ‎（1）BC边所在直线的方程；‎ ‎（2）BC边上高线AD所在直线的方程．‎ ‎【答案】（1）x+2y-4=0 （2）2x-y+6=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可； ‎ ‎（2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可．‎ ‎【详解】（1）BC边所在直线的方程为：‎ ‎=，‎ 即x+2y-4=0；‎ ‎（2）∵BC斜率K1=-，‎ ‎∴BC边上的高AD的斜率K=2，‎ ‎∴BC边上的高线AD所在直线的方程为：y=2（x+3），‎ 即2x-y+6=0．‎ ‎【点睛】此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题．‎ ‎18.若直线与圆有如下关系：①相交；②相切；③相离．试分别求实数的取值范围．‎ ‎【答案】①；②或；③或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线方程与圆的方程，当时，圆与直线有两个公共点 联立直线方程与圆的方程，当时，圆与直线有一个公共点 联立直线方程与圆的方程，当时，圆与直线没有公共点 ‎【详解】(代数法)由方程组，消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.‎ Δ＝(‎8a)2－4×25(a2－900)＝－‎36a2＋90000.‎ ‎①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－‎36a2＋90000＞0，－50＜a＜50；‎ ‎②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；‎ ‎③当直线和圆相离时，Δ＜0，即a＜－50或a＞50.‎ ‎【点睛】这是一道考查直线与圆的位置关系的题目，解题的关键是联立直线方程和圆的方程，然后利用判别式判定解的个数，继而确定直线与圆的位置关系 ‎19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且AD=2PD=2．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PCD；‎ ‎（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；‎ ‎（3）求四棱锥P-ABCD的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）见解析（3） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面MEN∥平面PCD，再由面面平行的性质证明MN∥平面PCD； ‎ ‎（2）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PBD； ‎ ‎（3）利用锥体的体积公式计算即可．‎ ‎【详解】（1）证明：取AD的中点E，连接ME、NE，‎ ‎∵M、N是PA、BC的中点，‎ ‎∴在△PAD和正方形ABCD中，ME∥PD，NE∥CD；‎ 又∵ME∩NE=E，PD∩CD=D，‎ ‎∴平面MEN∥平面PCD，‎ 又MN⊂平面MNE，‎ ‎∴MN∥平面PCD； ‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 又∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC，‎ 且PD∩BD=D，‎ ‎∴AC⊥平面PBD，‎ ‎∴平面PAC⊥平面PBD；‎ ‎（3）∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴PD是四棱锥P-ABCD的高，且PD=1，‎ ‎∴正方形ABCD的面积为S=4，‎ ‎∴四棱锥P-ABCD的体积为 VP-ABCD=×S四边形ABCD×PD=×4×1=．‎ ‎【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了锥体体积计算问题，是中档题．‎ ‎20.已知圆过，两点，且圆心在直线上. ‎ ‎(1)求圆的方程； ‎ ‎(2)若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，结合题意可得关于a、b、r的方程组，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，分斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合即可得答案．‎ ‎【详解】（Ⅰ）根据题意，设圆C的圆心为（a，b），半径为r，‎ 则圆C方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，‎ 又由圆C过A（﹣2，2），B（2，6）两点，且圆心C在直线3x+y＝0上，‎ 则有，解可得a＝﹣2，b＝6，r2＝16，‎ 则圆C的方程为（x+2）2+（y﹣6）2＝16；‎ ‎（2）根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则|MN|＝4，设D是线段MN的中点，‎ 则有CD⊥MN，则|MD|＝2，|MC|＝4．‎ 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2．‎ 当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x＝0，满足题意，‎ 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y﹣5＝kx，‎ 即kx﹣y+5＝0．由点C到直线MN的距离公式：2，‎ 解可得k，此时直线l的方程为3x﹣4y+20＝0．‎ 故所求直线l的方程为x＝0或3x﹣4y+20＝0．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．‎ ‎21.如图，在多面体中，平面与平面垂直，是正方形，在直角梯形中，，，且，为线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析: (1)取中点,利用三角形中位线及已知条件,可证四边形为平行四边形,再利用线线平行得到线面平行;(2)由梯形中各边的数量关系,利用勾股定理,可得,又由已知条件可得,则由线面垂直的判定定理可得结论;(3)三棱锥也就是三棱锥,易求,可得.‎ 试题解析：（1）取中点,连接,‎ 三角形中,,‎ 则四边形为平行四边形,‎ 则,‎ 又,,则; ‎ ‎(2)在梯形中,,可得三角形为直角三角形,‎ 其中;‎ 又平面与平面垂直,是正方形,则 ,‎ 所以,‎ 又,‎ 则 ;‎ ‎（3）.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的零点；‎ ‎（Ⅱ）若函数对任意实数都有成立，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间上的最小值为，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1和3 （Ⅱ） （Ⅲ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）代入a的值，令即可求得函数的零点.‎ ‎（Ⅱ）根据可知函数的对称轴为，进而求得a的值，即可得到解析式.‎ ‎（Ⅲ）讨论对称轴与区间位置关系，结合单调性和最小值，即可求得a的值..‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时， ，‎ 由可得或，所以函数的零点为1和3． ‎ ‎（Ⅱ）由于对任意实数恒成立，‎ 所以函数图像的对称轴为，即，解得．‎ 故函数的解析式为． ‎ ‎（Ⅲ）由题意得函数图像对称轴为．‎ 当，即时， 在上单调递减，‎ 所以，解得．符合题意． ‎ 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，解得，与矛盾，舍去． ‎ ‎ 当，即时， 在上单调递增，‎ 所以，解得．符合题意．‎ 所以或．‎ ‎【点睛】本题考察函数零点的求法；学会根据函数等式分析函数对称轴，继而利用对称轴求参数值；根据二次函数区间上的最值求参数