高考数学专题复习练习:8_5 直线、平面垂直的判定与性质

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高考数学专题复习练习:8_5 直线、平面垂直的判定与性质

‎1.直线与平面垂直 ‎(1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.直线和平面所成的角 ‎(1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°的角.‎ ‎(2)范围:[0,].‎ ‎3.平面与平面垂直 ‎(1)二面角的有关概念 ‎①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;‎ ‎②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.‎ ‎(2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.‎ ‎(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α ‎【知识拓展】‎ 重要结论:‎ ‎(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.‎ ‎(2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).‎ ‎(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.‎ ‎(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( × )‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × )‎ ‎(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.( √ )‎ ‎(4)若α⊥β,a⊥β⇒a∥α.( × )‎ ‎(5)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( √ )‎ ‎1.(教材改编)下列命题中不正确的是(  )‎ A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面β B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ 答案 A 解析 根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l可能平行平面β,也可能在平面β内.‎ ‎2.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则 ‎“α⊥β”是“a⊥b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若α⊥β,因为α∩β=m,b⊂β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α,又a⊂α,所以a⊥b;反过来,当a∥m时,因为b⊥m,且a,m共面,一定有b⊥a,但不能保证b⊥α,所以不能推出α⊥β.‎ ‎3.(2017·宝鸡质检)对于四面体ABCD,给出下列四个命题:‎ ‎①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;‎ ‎②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;‎ ‎③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;‎ ‎④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD.‎ 其中为真命题的是(  )‎ A.①② B.②③ C.②④ D.①④‎ 答案 D 解析 ‎ ‎①如图,取BC的中点M,连接AM,DM,由AB=AC⇒AM⊥BC,同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD,而AD⊂平面AMD,故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O,连接BO,CO,DO,由AB⊥CD⇒BO⊥CD,由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.‎ ‎4.(2016·济南模拟)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,G为MC的中点.则下列结论中不正确的是(  )‎ A.MC⊥AN B.GB∥平面AMN C.平面CMN⊥平面AMN D.平面DCM∥平面ABN 答案 C 解析 ‎ 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方体中(如图),‎ 取AN的中点H,连接HB,MH,GB,则MC∥HB,又HB⊥AN,所以MC⊥AN,所以A正确;由题意易得GB∥MH,又GB⊄平面AMN,‎ MH⊂平面AMN,所以GB∥平面AMN,所以B正确;因为AB∥CD,DM∥BN,且AB∩BN=B,CD∩DM=D,所以平面DCM∥平面ABN,所以D正确.‎ ‎5.(教材改编)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.‎ ‎(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.‎ ‎(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.‎ 答案 (1)外 (2)垂 解析 (1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,‎ 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,‎ 所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.‎ ‎(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于H,D,G.‎ ‎∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,‎ ‎∴PC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB,‎ 又AB⊥PO,PO∩PC=P,‎ ‎∴AB⊥平面PGC,‎ 又CG⊂平面PGC,‎ ‎∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB的高.‎ 同理可证BD,AH为△ABC底边上的高,‎ 即O为△ABC的垂心.‎ 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 (2016·全国甲卷改编)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.OD′=.‎ 证明:D′H⊥平面ABCD.‎ 证明 由已知得AC⊥BD,AD=CD.‎ 又由AE=CF得=,故AC∥EF.‎ 因此EF⊥HD,从而EF⊥D′H.‎ 由AB=5,AC=6得DO=BO==4.‎ 由EF∥AC得==.‎ 所以OH=1,D′H=DH=3.‎ 于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH.‎ 又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,且OH,EF⊂平面ABCD,‎ 所以D′H⊥平面ABCD.‎ 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质.‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎ (2015·江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.‎ 求证:(1)DE∥平面AA1C1C;‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 证明 (1)由题意知,E为B1C的中点,‎ 又D为AB1的中点,因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC,‎ 所以AC⊥CC1.‎ 又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,‎ BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1,‎ 所以BC1⊥AC.‎ 因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,‎ 因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B1AC,‎ 所以BC1⊥AB1.‎ 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.‎ ‎(1)求证:CE∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.‎ 证明 (1)方法一 ‎ 取PA的中点H,连接EH,DH.‎ 又E为PB的中点,‎ 所以EH綊AB.‎ 又CD綊AB,‎ 所以EH綊CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD.‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 方法二 ‎ 连接CF.‎ 因为F为AB的中点,‎ 所以AF=AB.‎ 又CD=AB,所以AF=CD.‎ 又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.‎ 因此CF∥AD,又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E、F分别为PB、AB的中点,所以EF∥PA.‎ 又因为AB⊥PA,‎ 所以EF⊥AB,同理可证AB⊥FG.‎ 又因为EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG.‎ 所以AB⊥平面EFG.‎ 又因为M,N分别为PD,PC的中点,‎ 所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,‎ 所以MN⊥平面EFG.‎ 又因为MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.‎ 引申探究 ‎1.在本例条件下,证明:平面EMN⊥平面PAC.‎ 证明 因为AB⊥PA,AB⊥AC,‎ 且PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC.‎ 又MN∥CD,CD∥AB,所以MN∥AB,‎ 所以MN⊥平面PAC.‎ 又MN⊂平面EMN,‎ 所以平面EMN⊥平面PAC.‎ ‎2.在本例条件下,证明:平面EFG∥平面PAC.‎ 证明 因为E,F,G分别为PB,AB,BC的中点,‎ 所以EF∥PA,FG∥AC,‎ 又EF⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,‎ 所以EF∥平面PAC.‎ 同理,FG∥平面PAC.‎ 又EF∩FG=F,‎ 所以平面EFG∥平面PAC.‎ 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义;‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).‎ ‎(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.‎ 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.‎ ‎ (2016·江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.‎ 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 证明 (1)由已知,DE为△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥AC,又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1,‎ ‎∴DE∥A1C1,‎ 又∵DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,‎ ‎∴DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,‎ ‎∴AA1⊥A1C1,‎ 又∵A1B1⊥A1C1,且A1B1∩AA1=A1,‎ ‎∴A1C1⊥平面ABB1A1,‎ ‎∵B1D⊂平面ABB1A1,‎ ‎∴A1C1⊥B1D,‎ 又∵A1F⊥B1D,且A1F∩A1C1=A1,‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F,‎ 又∵B1D⊂平面B1DE,‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 题型三 垂直关系中的探索性问题 例3 如图,在三棱台ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC.‎ ‎(1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证:DF∥a;‎ ‎(2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面DFG⊥平面CDE?若存在,请确定G点的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)证明 在三棱台ABC-DEF中,AC∥DF,AC⊂平面ACE,DF⊄平面ACE,∴DF∥平面 ACE.‎ 又∵DF⊂平面DEF,平面ACE∩平面DEF=a,‎ ‎∴DF∥a.‎ ‎(2)解 线段BE上存在点G,且BG=BE,使得平面DFG⊥平面CDE.‎ 证明如下:‎ 取CE的中点O,连接FO并延长交BE于点G,‎ 连接GD,GF,‎ ‎∵CF=EF,∴GF⊥CE.‎ 在三棱台ABC-DEF中,AB⊥BC⇒DE⊥EF.‎ 由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.‎ 又CF∩EF=F,∴DE⊥平面CBEF,∴DE⊥GF.‎ ⇒GF⊥平面CDE.‎ 又GF⊂平面DFG,∴平面DFG⊥平面CDE.‎ 此时,如平面图所示,延长CB,FG交于点H,‎ ‎∵O为CE的中点,EF=CF=2BC,‎ 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE,‎ ‎∴HB=BC=EF.‎ 由△HGB∽△FGE可知=,即BG=BE.‎ 思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.‎ ‎ (2016·北京东城区模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,M为棱AC的中点.AB=BC,AC=2,AA1=.‎ ‎(1)求证:B1C∥平面A1BM;‎ ‎(2)求证:AC1⊥平面A1BM;‎ ‎(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎(1)证明 连接AB1与A1B,两线交于点O,连接OM,‎ 在△B1AC中,∵M,O分别为AC,AB1中点,‎ ‎∴OM∥B1C,‎ 又∵OM⊂平面A1BM,B1C⊄平面A1BM,‎ ‎∴B1C∥平面A1BM.‎ ‎(2)证明 ∵侧棱AA1⊥底面ABC,BM⊂平面ABC,‎ ‎∴AA1⊥BM,‎ 又∵M为棱AC中点,AB=BC,∴BM⊥AC.‎ ‎∵AA1∩AC=A,∴BM⊥平面ACC1A1,‎ ‎∴BM⊥AC1.‎ ‎∵AC=2,∴AM=1.‎ 又∵AA1=,∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,‎ tan∠AC1C=tan∠A1MA=.‎ ‎∴∠AC1C=∠A1MA,‎ 即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°,‎ ‎∴A1M⊥AC1.‎ ‎∵BM∩A1M=M,∴AC1⊥平面A1BM.‎ ‎(3)解 当点N为BB1中点,即=时,‎ 平面AC1N⊥平面AA1C1C.‎ 证明如下:‎ 设AC1中点为D,连接DM,DN.‎ ‎∵D,M分别为AC1,AC中点,‎ ‎∴DM∥CC1,且DM=CC1.‎ 又∵N为BB1中点,∴DM∥BN,且DM=BN,‎ ‎∴四边形BNDM为平行四边形,‎ ‎∴BM∥DN,‎ ‎∵BM⊥平面ACC1A1,∴DN⊥平面ACC1A1.‎ 又∵DN⊂平面AC1N,∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.‎ ‎17.立体几何证明问题中的转化思想 典例 (12分)如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.‎ 求证:(1)AN∥平面A1MK;‎ ‎(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.‎ 思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理;‎ ‎(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等;‎ ‎(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.‎ 规范解答 证明 (1)如图所示,连接NK.‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,‎ ‎∵四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,‎ ‎∴AA1∥DD1,AA1=DD1,‎ C1D1∥CD,C1D1=CD.[2分]‎ ‎∵N,K分别为CD,C1D1的中点,‎ ‎∴DN∥D1K,DN=D1K,‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形,[3分]‎ ‎∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN,‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形,∴AN∥A1K.[4分]‎ ‎∵A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK,‎ ‎∴AN∥平面A1MK.[6分]‎ ‎(2)如图所示,连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB=C1D1.‎ ‎∵M,K分别为AB,C1D1的中点,‎ ‎∴BM∥C1K,BM=C1K,‎ ‎∴四边形BC1KM为平行四边形,∴MK∥BC1.[8分]‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,‎ BC1⊂平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB1C1C为正方形,∴BC1⊥B1C.[10分]‎ ‎∴MK⊥B1C.‎ ‎∵A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面A1B1C.‎ 又∵MK⊂平面A1MK,‎ ‎∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]‎ ‎1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则(  )‎ A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l D.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直 答案 D 解析 对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错误;‎ 对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错误;‎ 对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错误;易知D正确.‎ ‎2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(  )‎ A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,,则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β 答案 D 解析 A中,m与n可垂直、可异面、可平行;B中,m与n可平行、可异面;C中,若α∥β,仍然满足m⊥n,m⊂α,n⊂β,故C错误;故选D.‎ ‎3.(2016·包头模拟)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是(  )‎ A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1‎ C.AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1‎ D.A1C1∥平面AB1E 答案 C 解析 A不正确,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故不是异面直线;B不正确,由题意知,上底面ABC是一个正三角形,故不可能存在AC⊥平面ABB1A1;C正确,因为AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线;D不正确,因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1∥平面AB1E不正确,故选C.‎ ‎4.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:‎ ‎①BD⊥AC;‎ ‎②△BAC是等边三角形;‎ ‎③三棱锥D-ABC是正三棱锥;‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是(  )‎ A.①②④ B.①②③‎ C.②③④ D.①③④‎ 答案 B 解析 由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.故选B.‎ ‎5.如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(  )‎ A.①② B.①②③‎ C.① D.②③‎ 答案 B 解析 对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC,‎ 又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;‎ 对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA,‎ ‎∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,∴OM∥平面PAC;‎ 对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.‎ ‎6.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC和△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________;与AP垂直的直线有________.‎ 答案 AB、BC、AC AB 解析 ∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC;∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,∴与AP垂直的直线是AB.‎ ‎7.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为________.‎ 答案  解析 设B1F=x,‎ 因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,‎ 所以AB1⊥DF.‎ 由已知可得A1B1=,‎ 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,‎ 则DE=h.‎ 又2×=h,‎ 所以h=,DE=.‎ 在Rt△DB1E中,‎ B1E= =.‎ 由面积相等得× =x,‎ 得x=.‎ ‎8.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:‎ ‎①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ 答案 ①②③‎ 解析 由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC,且PA∩AC=A,‎ ‎∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.‎ ‎∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,‎ ‎∴AF⊥平面PBC,‎ ‎∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,‎ ‎∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.‎ 故①②③正确.‎ ‎9.(2016·保定模拟)如图,在直二面角α-MN-β中,等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α,一直角边AC⊂β,BC与β所成角的正弦值为,则AB与β所成的角是________.‎ 答案  解析 如图所示,作BH⊥MN于点H,连接AH,‎ 则BH⊥β,∠BCH为BC与β所成的角.‎ ‎∵sin∠BCH==,‎ 设BC=1,则BH=.‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形,∴AC=AB=,‎ ‎∴AB与β所成的角为∠BAH.‎ ‎∴sin∠BAH===,‎ ‎∴∠BAH=.‎ ‎10.(2016·全国乙卷)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,平面ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°.‎ ‎(1)证明:平面ABEF⊥EFDC;‎ ‎(2)求二面角EBCA的余弦值.‎ ‎(1)证明 由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,DF∩FE=F,‎ 所以AF⊥平面EFDC,‎ 又AF⊂平面ABEF,‎ 故平面ABEF⊥平面EFDC.‎ ‎(2)解 过D作DG⊥EF,垂足为G,‎ 由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角DAFE的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).‎ 由已知,AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,‎ 所以AB∥平面EFDC,‎ 又平面ABCD∩平面EFDC=CD,‎ 故AB∥CD,CD∥EF,‎ 由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,‎ 所以∠CEF为二面角CBEF的平面角,∠CEF=60°,‎ 从而可得C(-2,0,).‎ 所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0).‎ 设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则 即所以可取n=(3,0,-).‎ 设m是平面ABCD的法向量,则 同理可取m=(0,,4),则cos〈n,m〉==-.故二面角EBCA的余弦值为-.‎ ‎11.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60°,G为BC的中点.‎ ‎(1)求证:FG∥平面BED;‎ ‎(2)求证:平面BED⊥平面AED;‎ ‎(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明 如图,取BD的中点O,连接OE,OG.‎ 在△BCD中,因为G是BC的中点,‎ 所以OG∥DC且OG=DC=1.‎ 又因为EF∥AB,AB∥DC,‎ 所以EF∥OG且EF=OG,‎ 所以四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.‎ 又FG⊄平面BED,OE⊂平面BED,‎ 所以FG∥平面BED.‎ ‎(2)证明 在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,‎ 由余弦定理可得BD=,进而∠ADB=90°,‎ 即BD⊥AD.‎ 又因为平面AED⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ 平面AED∩平面ABCD=AD,‎ 所以BD⊥平面AED.‎ 又因为BD⊂平面BED,‎ 所以平面BED⊥平面AED.‎ ‎(3)解 因为EF∥AB,所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角.‎ 过点A作AH⊥DE于点H,连接BH.‎ 又平面BED∩平面AED=ED,‎ 由(2)知AH⊥平面BED,‎ 所以直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.‎ 在△ADE中,AD=1,DE=3,AE=,‎ 由余弦定理得cos∠ADE=,所以sin∠ADE=,‎ 因此,AH=AD·sin∠ADE=.‎ 在Rt△AHB中,sin∠ABH==.‎ 所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为.‎ ‎12.在直角梯形SBCD中,∠D=∠C=,BC=CD=2,SD=4,A为SD的中点,如图(1)所示,将△SAB沿AB折起,使SA⊥AD,点E在SD上,且SE=SD,如图(2)所示.‎ ‎(1)求证:SA⊥平面ABCD;‎ ‎(2)求二面角E-AC-D的正切值.‎ ‎(1)证明 由题意,知SA⊥AB,‎ 又SA⊥AD,AB∩AD=A,‎ 所以SA⊥平面ABCD.‎ ‎(2)解 在AD上取一点O,使AO=AD,‎ 连接EO,如图所示.‎ 又SE=SD,所以EO∥SA.‎ 所以EO⊥平面ABCD.‎ 过O作OH⊥AC交AC于H,连接EH,则AC⊥平面EOH,‎ 所以AC⊥EH,‎ 所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角.‎ 已知EO=SA=.‎ 在Rt△AHO中,∠HAO=45°,OH=AO·sin 45°=×=.‎ tan∠EHO==2,即二面角E-AC-D的正切值为2.‎
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