高考数学专题复习练习第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入 课下练兵场

高考数学专题复习练习第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入 课下练兵场

第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 复数的基本概念 ‎1、3‎ ‎4、6、7‎ 复数的代数运算 ‎2、8‎ ‎5‎ 复数的几何意义 ‎9‎ ‎11‎ ‎10、12‎ 一、选择题 ‎1.复数z＝(a2－‎2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则 (　　)‎ A.a≠2或a≠1　 B.a≠2且a≠‎1 C.a＝2或a＝0 D.a＝0‎ 解析：由题意知a2－‎2a＝0，∴a＝2或a＝0.‎ 答案：C ‎2.(2009·安徽高考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是 (　　)‎ A.－15　　　　　　　B.－‎3 C.3 D.15‎ 解析：＝＝＝－1＋3i ‎＝a＋bi，‎ ‎∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－1×3＝－3.‎ 答案：B ‎3.(2010·株州模拟)若＋(1＋i)2＝a＋bi(a，b∈R)，则a－b＝ (　　)‎ A.2 B.－‎2 ‎ C.2＋2 D.2－2‎ 解析：＋(1＋i)2＝1－i－2＋2i ‎＝－1＋(2－1)i＝a＋bi，‎ 则a＝－1，b＝2－1，故a－b＝－2.‎ 答案：B ‎4.若复数z＝cosθ＋isinθ且z2＋2＝1，则sin2θ＝ (　　)‎ A. B. C. D.－ 解析：z2＋2＝(cosθ＋isinθ)2＋(cosθ－isinθ)2＝2cos2θ＝1⇒cos2θ＝，所以sin2θ＝＝.‎ 答案：B ‎5.若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为 (　　)‎ A.2kπ－(k∈Z)　　 　B.2kπ＋(k∈Z) C.2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)‎ 解析:由题意，得 ‎ ‎∴θ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 答案：B ‎6.若M＝{x|x＝in，n∈Z}，N＝{x|＞－1}(其中i为虚数单位)，则M∩(∁RN)＝ (　　)‎ A.{－1,1}　　　　　　B.{－1} C.{－1,0} D.{1}‎ 解析：依题意M＝{1，－1，i，－i}，‎ N＝{x|x＞0或x＜－1}，‎ 所以∁RN＝{x|－1≤x≤0}，故M∩(∁RN)＝{－1}.‎ 答案：B 二、填空题 ‎7.设z1是复数，z2＝z1－i1，(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为　　　.‎ 解析：设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x＋yi－i(x－yi)‎ ‎＝(x－y)＋(y－x)i，故有x－y＝－1，y－x＝1.‎ 答案：1‎ ‎8.已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部最大值为　　　　，虚部最大值为　　　　.‎ 解析：z1·z2＝(cosθsinθ＋1)＋i(cosθ－sinθ).‎ 实部为cosθsinθ＋1＝1＋sin2θ≤，‎ 所以实部的最大值为.‎ ‎ 虚部为cosθ－sinθ＝sin(－θ)≤，‎ 所以虚部的最大值为.‎ 答案：　 ‎9.已知a∈R，则复数z＝(a2－‎2a＋4)－(a2－‎2a＋2)i所对应的点在第　　　　象限，复数z对应点的轨迹是　　　　.‎ 解析：由a2－‎2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，‎ ‎－(a2－‎2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，‎ 得z的实部为正数，z的虚部为负数.‎ ‎∴复数z的对应点在第四象限.‎ 设z＝x＋yi(x、y∈R)，则 消去a2－‎2a得y＝－x＋2(x≥3)，∴复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋2(x≥3).‎ 答案：四　一条射线 三、解答题 ‎10.实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋‎5m＋6)＋(m2－‎2m－15)i ‎(1)与复数2－12i相等；‎ ‎(2)与复数12＋16i互为共轭；‎ ‎(3)对应的点在x轴上方.‎ 解：(1)根据复数相等的充要条件得 解之得m=-1.‎ ‎(2)根据共轭复数的定义得 解之得m=1.‎ ‎(3)根据复数z对应点在x轴上方可得 m2－‎2m－15＞0，‎ 解之得m＜－3或m＞5.‎ ‎11.若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝，求z1.‎ 解：设z1＝a＋bi，则z2＝－a＋bi，‎ ‎∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝，‎ ‎∴‎ 解得 则z1＝1－i或z1＝－1＋i.‎ ‎12.已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.‎ ‎ (1)求实数a，b的值；‎ ‎ (2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.‎ ‎ 解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，‎ ‎ ∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，‎ ‎ ∴‎ ‎  (2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|－3－3i|＝2|z|，‎ ‎   得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，‎ ‎   即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，‎ ‎ ∴z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示，‎ ‎  如图，当z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，‎ ‎ ∵|OO1|＝，‎ ‎  半径r＝2，‎ ‎ ∴当z＝1－i时，‎ ‎  |z|有最小值且|z|min＝.‎