高考数学专题复习练习:7_1 不等关系与不等式

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高考数学专题复习练习:7_1 不等关系与不等式

‎                   ‎ ‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 (a,b∈R);‎ ‎(2)作商法 (a∈R,b>0).‎ ‎2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb,b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a+c>b+c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb+d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)‎ a,b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)‎ ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b,ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0,m>0,则 ‎①<;>(b-m>0).‎ ‎②>;<(b-m>0).‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a1,则a>b.( × )‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × )‎ ‎(4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( × )‎ ‎(5)a>b>0,c>d>0⇒>.( √ )‎ ‎(6)若ab>0,则a>b⇔<.( √ )‎ ‎1.设a B.> C.|a|>-b D.> 答案 B 解析 由题设得a不成立.‎ ‎2.(教材改编)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ->0⇒> ‎⇒a>b⇒a2>b2,‎ 但由a2-b2>0⇏->0.‎ ‎3.若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是(  )‎ A.a-b>0 B.a3+b3>0‎ C.a2-b2<0 D.a+b<0‎ 答案 D 解析 由a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|,‎ 当b≥0时,a+b<0成立,‎ 当b<0时,a+b<0成立,∴a+b<0.故选D.‎ ‎4.如果a∈R,且a2+a<0,则a,a2,-a,-a2的大小关系是________________.‎ 答案 a<-a2-1,∴-a21且2a<1,‎ ‎∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2+2a ‎=-22+<.‎ 即a<2ab<,‎ 又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,‎ 即a2+b2>,‎ a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1),‎ 又2b-1>0,b-1<0,∴a2+b2-b<0,‎ ‎∴a2+b2N C.M=N D.不确定 ‎(2)若a=,b=,c=,则(  )‎ A.a0,即M-N>0.‎ ‎∴M>N.‎ ‎(2)方法一 易知a,b,c都是正数,= ‎=log8164<1,‎ 所以a>b;‎ ==log6251 024>1,‎ 所以b>c.即ce时,函数f(x)单调递减.‎ 因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),‎ 即cB ‎(2)若a=1816,b=1618,则a与b的大小关系为________.‎ 答案 (1)B (2)a0,1618>0,‎ ‎∴1816<1618.即aac B.c(b-a)<0‎ C.cb20‎ ‎(2)若<<0,则下列不等式:‎ ‎①a+b|b|;③a0.‎ 由b>c得ab>ac一定成立.‎ ‎(2)因为<<0,所以b0,‎ 所以a+b0>b>-a,cbc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案 C 解析 方法一 ∵a>0>b,c0,‎ ‎∴ad0>b>-a,∴a>-b>0,‎ ‎∵c-d>0,‎ ‎∴a(-c)>(-b)(-d),‎ ‎∴ac+bd<0,∴+=<0,故②正确.‎ ‎∵c-d,‎ ‎∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),‎ ‎∴a-c>b-d,故③正确.‎ ‎∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),‎ 故④正确,故选C.‎ 方法二 取特殊值.‎ 题型三 不等式性质的应用 命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a>b>0,给出下列四个不等式:‎ ‎①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b.‎ 其中一定成立的不等式为(  )‎ A.①②③ B.①②④‎ C.①③④ D.②③④‎ 答案 A 解析 方法一 由a>b>0可得a2>b2,①成立;‎ 由a>b>0可得a>b-1,而函数f(x)=2x在R上是增函数,‎ ‎∴f(a)>f(b-1),即2a>2b-1,②成立;‎ ‎∵a>b>0,∴>,‎ ‎∴()2-(-)2‎ ‎=2-2b=2(-)>0,‎ ‎∴>-,③成立;‎ 若a=3,b=2,则a3+b3=35,2a2b=36,‎ a3+b3<2a2b,④不成立.‎ 故选A.‎ 方法二 令a=3,b=2,‎ 可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③>-均成立,而④a3+b3>2a2b不成立,故选A.‎ 命题点2 求代数式的取值范围 例4 已知-1 B.a2bn ‎(2)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:‎ ‎①>;②acloga(b-c).‎ 其中所有正确结论的序号是(  )‎ A.① B.①②‎ C.②③ D.①②③‎ 答案 (1)C (2)D 解析 (1)(特值法)取a=-2,b=-1,逐个检验,可知A,B,D项均不正确;‎ C项,<⇔|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)‎ ‎⇔|a||b|+|b|<|a||b|+|a|⇔|b|<|a|,‎ ‎∵ab>1知<,‎ 又c<0,∴>,①正确;‎ 构造函数y=xc,‎ ‎∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是减函数,‎ 又a>b>1,∴acb>1,c<0,∴a-c>b-c>1,‎ ‎∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正确.‎ ‎7.利用不等式变形求范围 典例 设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.‎ 错解展示 解析 由已知得 ‎①+②得3≤2a≤6,∴6≤4a≤12,‎ 又由①可得-2≤-a+b≤-1,③‎ ‎②+③得0≤2b≤3,∴-3≤-2b≤0,‎ 又f(-2)=4a-2b,∴3≤4a-2b≤12,‎ ‎∴f(-2)的取值范围是[3,12].‎ 答案 [3,12]‎ 现场纠错 解析 方法一 由 得 ‎∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).‎ 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,‎ ‎∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.‎ 方法二 由 确定的平面区域如图阴影部分所示,‎ 当f(-2)=4a-2b过点A(,)时,‎ 取得最小值4×-2×=5,‎ 当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,‎ 取得最大值4×3-2×1=10,‎ ‎∴5≤f(-2)≤10.‎ 答案 [5,10]‎ 纠错心得 在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.‎ ‎1.已知a>b,c>d,且c,d不为0,那么下列不等式成立的是(  )‎ A.ad>bc B.ac>bd C.a-c>b-d D.a+c>b+d 答案 D 解析 由不等式的同向可加性得a+c>b+d.‎ ‎2.(2016·包头模拟)若6y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是(  )‎ A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|‎ 答案 C 解析 ∵x>y>z且x+y+z=0,∴x>0,z<0,‎ 又y>z,∴xy>xz.‎ ‎4.设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“ab,则ac2>bc2‎ B.若>,则a>b C.若a3>b3且ab<0,则> D.若a2>b2且ab>0,则< 答案 C 解析 当c=0时,可知A不正确;‎ 当c<0时,可知B不正确;‎ 对于C,由a3>b3且ab<0,知a>0且b<0,‎ 所以>成立,C正确;‎ 当a<0且b<0时,可知D不正确.‎ ‎7.若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是(  )‎ A.a+>b+ B.> C.a->b- D.> 答案 A 解析 取a=2,b=1,排除B与D;另外,函数f(x)=x-是(0,+∞)上的增函数,但函数g(x)=x+在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当a>b>0时,f(a)>f(b)必定成立,即a->b-⇔a+>b+,但g(a)>g(b)未必成立,故选A.‎ ‎8.若a>b>0,则下列不等式一定不成立的是(  )‎ A.< B.log2a>log2b C.a2+b2≤2a+2b-2 D.b<<0(由a>b>0,a,b不能同时为1),‎ ‎∴a2+b2-2a-2b+2>0,∴a2+b2>2a+2b-2,‎ ‎∴C项一定不成立.‎ ‎9.若不等式(-2)na-3n-1-(-2)n<0对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 当n为奇数时,2n(1-a)<3n-1,1-a<×n恒成立,只需1-a<×1,∴a>.当n为偶数时,2n(a-1)<3n-1,a-1<×n恒成立,只需a-1<×2,∴a<.‎ 综上,0,bc-ad>0,则->0;‎ ‎②若ab>0,->0,则bc-ad>0;‎ ‎③若bc-ad>0,->0,则ab>0.‎ 其中正确的命题是________.‎ 答案 ①②③‎ 解析 ∵ab>0,bc-ad>0,‎ ‎∴-=>0,∴①正确;‎ ‎∵ab>0,又->0,即>0,‎ ‎∴bc-ad>0,∴②正确;‎ ‎∵bc-ad>0,又->0,即>0,‎ ‎∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确.‎ ‎11.已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是________.‎ 答案 a=b>c 解析 ∵a=log23+log2=log23,‎ b=log29-log2=log23,‎ ‎∴a=b,‎ 又a=log23>1,c=log32<1,‎ ‎∴a>c,故a=b>c.‎ ‎12.设a>b>c>0,x=,y=,z=,则x,y,z的大小关系是________.(用“>”连接)‎ 答案 z>y>x 解析 方法一 y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.‎ 同理,z>y,∴z>y>x.‎ 方法二 令a=3,b=2,c=1,则x=,y=,‎ z=,故z>y>x.‎ ‎*13.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.‎ 解 设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元/人,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,‎ 则y1=x+x·(n-1)‎ ‎=x+nx,‎ y2=nx.‎ 所以y1-y2=x+nx-nx ‎=x-nx ‎=x(1-).‎ 当n=5时,y1=y2;‎ 当n>5时,y1y2.‎ 因此当单位去的人数为5人时,两车队收费同等优惠;‎ 当单位去的人数多于5人时,甲车队收费更优惠;‎ 当单位去的人数少于5人时,乙车队收费更优惠.‎
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