- 2021-06-10 发布 |
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文档介绍
高考数学专题复习练习:5-3 专项基础训练
A组 专项基础训练 (时间:40分钟) 1.(2016·安徽皖江名校联考)在△ABC中,已知向量=(2,2),||=2,·=-4,则△ABC的面积为( ) A.4 B.5 C.2 D.3 【解析】 ∵=(2,2),∴||==2. ∵·=||·||cos A=2×2cos A=-4, ∴cos A=-,∵0<A<π,∴sin A=, ∴S△ABC=||·||sin A=2. 【答案】 C 2.(2017·安徽江淮十校第一次联考)在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,=2,=3,则·的值为( ) A.- B.- C. D. 【解析】 由已知得·=(+)·=-2+·+·+2.① 因为△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,所以①式=-×22+0+0+×22=-.故选A. 【答案】 A 3.已知向量a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),若a与b的夹角为60°,则直线xcos α-ysin α+=0与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=的位置关系是( ) A.相交 B.相交且过圆心 C.相切 D.相离 【解析】 ∵a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β), ∴|a|=2,|b|=3. ∴a·b=6cos αcos β+6sin αsin β=6cos(α-β). 而a·b=|a||b|cos 60°=3, ∴6cos(α-β)=3⇒cos(α-β)=. 则圆心(cos β,-sin β)到直线xcos α-ysin α+=0的距离d===1>=r,∴相离. 【答案】 D 4.(2016·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 因为(-)·(+-2)=0, 即·(+)=0,∵-=, ∴(-)·(+)=0,即||=||, 所以△ABC是等腰三角形,故选C. 【答案】 C 5.(2015·辽阳一模)在△ABC中,如图,若|+|=|-|,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则·等于( ) A. B. C. D. 【解析】 若|+|=|-|,则2+2+2·=2+2-2·,即有·=0.E,F为BC边的三等分点,则·=(+)·(+)=·=·=2+2+·=×(1+4)+0=.故选B. 【答案】 B 6.(2016·合肥联考)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影为________. 【解析】 ∵|a+b|2=a2+b2+2a·b=1+4+2×1×2×=7,∴|a+b|=,cos〈a+b,a〉===.∴a+b在a上的投影为|a+b|·cos〈a+b,a〉=×=2. 【答案】 2 7.(2015·潍坊模拟)如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,〈,〉=60°,则||=________. 【解析】 因为〈,〉=60°,所以·=||·||cos 60°=1×3×=,又=(+),所以2=(+)2=(2+2·+2), 所以2=(1+3+9)=,所以||=. 【答案】 8.在△ABC中,若·=·=·,则点O是△ABC的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”). 【解析】 ∵·=·, ∴·(-)=0, ∴·=0, ∴OB⊥CA,即OB为△ABC底边CA上的高所在直线. 同理·=0,·=0,故O是△ABC的垂心. 【答案】 垂心 9.(2017·上海静安区一模)如图,已知O为坐标原点,向量=(3cos x,3sin x),=(3cos x,sin x),=(,0),x∈. (1)求证:(-)⊥; (2)若△ABC是等腰三角形,求x的值. 【解析】 (1)证明 ∵-=(0,2sin x), ∴(-)·=0×+2sin x×0=0, ∴(-)⊥. (2)若△ABC是等腰三角形,则AB=BC, ∴(2sin x)2=(3cos x-)2+sin2x, 整理得2cos2x-cos x=0, 解得cos x=0,或cos x=. ∵x∈,∴cos x=,x=. 10.(2015·德州一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-. (1)求sin A的值; (2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影. 【解析】 (1)由m·n=-,得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-, 所以cos A=-. 因为0<A<π, 所以sin A===. (2)由正弦定理,得=, 则sin B===, 因为a>b,所以A>B,则B=. 由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×, 解得c=1, 故向量在方向上的投影为 ||cos B=ccos B=1×=. B组 专项能力提升 (时间:20分钟) 11.(2015·湖南)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 由A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,所以AC为圆直径,故+=2=(-4,0),设B(x,y),则x2+y2=1且x∈[-1,1],=(x-2,y),所以++=(x-6,y).故|++|=,所以x=-1时有最大值=7,故选B. 【答案】 B 12.(2016·山东)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( ) A.4 B.-4 C. D.- 【解析】 方法一 ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,∴tm·n+n2=0.∵4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=,∴t|m||n|×+n2=0,∴×|n|2t+n2=0.∵|n|≠0,∴t=-4.故选B. 方法二 ∵4|m|=3|n|,∴设|m|=3k,|n|=4k(k>0). ∵n⊥(tm+n)=0, ∴tm·n+n2=0,∴12k2t×+16k2=0,解得t=-4.故选B. 【答案】 B 13.(2016·北京)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 若|a|=|b|,则(a+b)·(a-b)=0,不一定有|a+b|=|a-b|,故充分条件不成立;若|a+b|=|a-b|,则a·b=0,不一定有|a|=|b|,因此必要条件也不成立.故选D. 【答案】 D 14.(2016·江苏)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是________. 【解析】 设=a,=b,则·=(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4,·=(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2=,|b|2=.则·=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=. 【答案】 15.(2016·宣城模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若·=·=1. (1)判断△ABC的形状; (2)求边长c的值; (3)若|+|=2,求△ABC的面积. 【解析】 (1)由·=·=1, 得bc·cos A=ac·cos B,由正弦定理, 即sin Bcos A=sin Acos B, ∴sin(A-B)=0, ∴A=B,即△ABC是等腰三角形. (2)由·=1,得bc·cos A=1, 又bc·=1,则b2+c2-a2=2, 又a=b,∴c2=2,即c=. (3)由|+|=2,得2+b2+2=8, ∴b=2,又c=, ∴cos A=,sin A=, ∴S△ABC=bc·sin A=×2××=.查看更多