2020年中考数学专题复习：二次函数知识点梳理

2020年中考数学专题复习：二次函数知识点梳理

九年级二次函数知识点梳理 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 函数的传统定义： 设在某变化过程中有两个变量 x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值与它对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 叫做自变量。 我们将自变量 x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量 x 对应的 y 的值叫做函数值，函数 值的集合叫做函数的值域。 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 2y ax bx c   （ abc， ， 是常数， 0a  ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 0a  ，而 bc， 可以为零．二次函数的定义域是全 体实数． 2. 二次函数 2y ax bx c   的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ abc， ， 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 2y ax 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c的性质：上加下减。 3.  2y a x h的性质：左加右减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a  向上  00， y 轴 0x  时， y 随 x 的增大而增大； 0x  时， y 随 x 的 增大而减小； 0x  时， y 有最小值 0 ． 0a  向下  00， y 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的 增大而增大； 时， 有最大值 ． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上  0 c， 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的 增大而减小； 时， 有最小值 c ． 向下  0 c， 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的 增大而增大； 时， 有最大值 c ． 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 4.  2y a x h k   的性质： 三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ cbxaxy  2 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， 变成 mcbxaxy  2 （或 mcbxaxy  2 ） ⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 cmxbmxay  )()( 2 （或 cmxbmxay  )()( 2 ） 四、二次函数  2y a x h k   与 2y ax bx c   的比较 从解析式上看， 与 2y ax bx c   是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即 2 24 24 b ac by a x aa    ，其中 24 24 b ac bhkaa   ， ． 五、二次函数 2y ax bx c   图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2y ax bx c   化为顶点式 2()y a x h k   ，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与 y 轴的交点  0 c， 、以及  0 c， 关于对称轴对称的点  2hc， 、与 x 轴的交点  1 0x ， ， 2 0x ， （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点. 六、二次函数 2y ax bx c   的性质 0a  向上  0h， X=h xh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随 x 的 增大而减小； xh 时， y 有最小值 0 ． 0a  向下  0h， X=h xh 时， 随 的增大而减小； xh 时， 随 的 增大而增大； xh 时， 有最大值 ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上  hk， X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的 增大而减小； 时， 有最小值 k ． 向下  hk， X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的 增大而增大； 时， 有最大值 k ． 1. 当 0a  时，抛物线开口向上，对称轴为 2 bx a ，顶点坐标为 24 24 b ac b aa  ， ． 当 2 bx a 时， y 随 x 的增大而减小；当 2 bx a 时， y 随 x 的增大而增大；当 2 bx a 时， y 有最小值 24 4 ac b a  ． 2. 当 0a  时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 ． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2y ax bx c   （ a ， b ， c 为常数， 0a  ）； 2. 顶点式： 2()y a x h k   （ a ， h ， k 为常数， 0a  ）； 3. 两根式： 12( )( )y a x x x x   （ 0a  ， 1x ， 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与 x 轴有交点，即 2 40b ac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析 式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 2y ax bx c   中， a 作为二次项系数，显然 0a  ． ⑴ 当 0a  时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 0a  时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 0a  的前提下， 当 0b  时， 02 b a，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 当 0b  时， 02 b a，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 0b  时， 02 b a，即抛物线对称轴在 轴的右侧． ⑵ 在 0a  的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 时， 02 b a，即抛物线的对称轴在 轴右侧； 当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 时， 02 b a，即抛物线对称轴在 轴的左侧． 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴 a bx 2 在 y 轴左边则 0ab ，在 轴的右侧则 0ab ，概括的说 就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 c ⑴ 当 0c  时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 0c  时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 0c  时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置． 总之，只要 abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称 2y ax bx c   关于 x 轴对称后，得到的解析式是 2y ax bx c    ；  2y a x h k   关于 x 轴对称后，得到的解析式是  2y a x h k    ； 2. 关于 y 轴对称 2y ax bx c   关于 y 轴对称后，得到的解析式是 2y ax bx c   ； 关于 y 轴对称后，得到的解析式是  2y a x h k   ； 3. 关于原点对称 2y ax bx c   关于原点对称后，得到的解析式是 2y ax bx c    ； 关于原点对称后，得到的解析式是  2y a x h k    ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°） 2y ax bx c   关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 by ax bx c a     ； 关于顶点对称后，得到的解析式是  2y a x h k    ． 5. 关于点  mn， 对称  2y a x h k   关于点  mn， 对称后，得到的解析式是  222y a x h m n k      根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求 抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）： 一元二次方程 2 0ax bx c   是二次函数 2y ax bx c   当函数值 0y  时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数： ① 当 2 40b ac    时，图象与 x 轴交于两点    1200A x B x， ， ， 12()xx ，其中的 12xx， 是一 元二次方程  2 00ax bx c a    的两根．这两点间的距离 2 21 4b acAB x x a    . ② 当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当 0 时，图象与 x 轴没有交点. 1' 当 0a  时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 0y  ； 2' 当 0a  时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 0y  ． 2. 抛物线 2y ax bx c   的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， )c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 2y ax bx c   中 a ，b ，c 的符号，或由二次函数中 a ，b ，c 的 符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一 个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2 ( 0)ax bx c a   本身就是所含字母 x 的二次函 数；下面以 0a  时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 十一、函数的应用 二次函数应用    刹车距离 何时获得最大利润 最大面积是多少 0 抛物线与 x 轴有两 个交点 二次三项式的值可正、可 零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与 x 轴只有 一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与 x 轴无交 点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.