2020年中考数学专题复习：因式分解掌握方法与技巧

2020年中考数学专题复习：因式分解掌握方法与技巧

因式分解 一、因式分解的技巧： 1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提 取公因式，再考虑其他方法。 2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。 （1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a2－b2＝（a ＋b）（a－b）］。 （2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、 配方法。 （3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。 a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。 b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。 3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后 再分解。 二. 因式分解的方法： （一）提公因式法 方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因 式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例 1. 分析：此多项式各项都有公因式 x，因此可提取公因式 x。 （二）应用公式法 方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两 项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。 例 2. 分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。 解： 例 3. 分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公 式分解。 解： （三）分组分解法 方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的 是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因 式的目的。下面介绍八种常见的思路： 1. 按公因式分组： 例 4. 分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第 1、2 项有公因式 m，第 3、 4 项有公因式 p，可将它们分别分为一组。 解： 2. 按系数特点分组： 例 5. 分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为 1：2，所以可考虑将 第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。 解： 3. 按字母次数特点分组： 例 6. 分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。 解： 4. 按公式特点分组： 例 7. 分析：此题可将第 2、3、4 项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上 运用平方差公式。 解： 5. 拆项分组： 例 8. 分析：为了便于运用乘法公式，可将-3 拆成-4＋1，再适当分组，达到因式分 解的目的。 解： 7. 换元分组： 例 9. 分析：观察代数式中的 x＋y，xy 可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。 解： ，则 （四）待定系数法 方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例 10. 分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解： 利用恒等式的性质可得： （五）十字相乘法： 方法介绍：对于 mx2＋px＋q 形式的多项式，如果 ab＝m，cd＝q 且 ac ＋bd＝p，则多项式可因式分解为：（ax＋d）（bx＋c）。 例 11. 分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分 解因式： 解： （六）巧用换元法： 方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次， 化繁为简的目的。 1. 取相同部分换元 例 12. 分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将 m2－ 5m 看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。 解： 三、分解因式： 1 、 234 352 xxx  2 、 26 33 xx  3 、 22 )2(4)2(25 xyyx  4、 22 414 yxyx  5、 xx 5 6、 13 x 7、 2ax abaxbxbx  2 8、 8118 24  xx 9 、 24 369 yx  10、 24)4)(3)(2)(1(  xxxx (1)(x＋p)2－(x＋q)2； ( 2)16(a－b)2－9(a＋b)2； 1.  21112 2 xx 2.  675 2 xx 3.  215 2 xx 4.  4256 2 xx 5.     4254 xx 6.      4255 2 xx 7.  3072 xx 8.  25309 2 xx 9.  6197 2 xx 10.  20920 2 xx 11.  93936 2 xx 12.  4359 24 xx 13.  4379 24 xx 14.         22 22021417 yyxx 15.  1232 22 yyxxyxy 16.  cabcbabca 3223 20920 17.         1212 33 xxxx 18.  baaba 24 23 19.  22221 baba 20      yzyzyx 22 21.       23 4 bayxyx 22.  123 aabba 23.         xxxx 2121 33 24.  3649 2222 yxyx 25.  22 822 baba 26.  222 2 zyzyx 27.  4224 2 bbaa 28.      221 yxxy 29.  acbcabcba 222222 30.    1444 2 baba 31.  222 2 zyzyx 32.  122 baaba 33.  222 cbacbcab 34.    baaxb 222 35.  12222 yxxyx 36.  122 22 yxyxyxy 37.  abxybayx 244 2222 38.  49142 xx 39.  169 2 xx 40.  121669 2 xx 41.  xx 12136 2 42.  22 16249 baba 43.  2 9 4 15 42 25 1 yxyx 44.  422 16249 yxyx 45.  4224 2 bbaa 46.      252102 2 baba 47.      22 94249 xxbaba 48.  aaa 5105 23 49. 812x 50.  4916 2x 51.  22 254 ba 52.  2241 yx 53.  2182 x 54.  xx 416 3 55.  222 4 baa 56.    23216 yx 57.      22 3412 xx 58.    2524 2yx