中考数学专题复习练习:二次函数经典例题与习题

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中考数学专题复习练习:二次函数经典例题与习题

例 1如图,苗圃的形状是直角梯形ABCD,AB∥DC,BC⊥CD.其中AB,AD是已有的墙,∠BAD=135°,另外两边BC与CD的长度之和为30米,如果梯形的高BC为变量x(米),梯形面积为y(米2),则y与x的关系式是______.‎ 解:作AE⊥CD于点E,则有因为∠BAD=135°,则∠ADC=45°.‎ 例2 化工厂在一月份生产某种产品200吨,三月份生产y吨,则y与月平均增长率x(自变量)的关系是______.‎ 解:一月份为 200吨,二月份为 200x+200=200(x+1),三月份为 200(x+1)x+200(x+1)=200(x+1)(x+1)= 200(x+1)2.‎ 所以y=200(x+1)2.即y=200x2+400x+200.‎ 例 3已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).‎ ‎(1)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;‎ ‎(2)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.‎ 分析:因为y=ax2中只有一个待定系数a,所以有一个条件就可求出a,从而求出此抛物线的函数式.‎ 解:(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a=-2,所求函数式为y=-2x2,‎ ‎  因为-4≠-2(-1)2,所以点B(-1,-4)不在此抛物线上; ‎ ‎   ‎ 典型例题四 例 若是二次函数,求的值.‎ ‎ 解:因为是二次函数,‎ ‎ 所以 ‎ 所以是二次函数,则值为2.‎ 说明:此题根据二次函数的定义,只要满足且即可.解题时不要忽略隐含条件.‎ 典型例题五 例 已知函数是关于的二次函数,求:‎ ‎(1)满足条件的值;‎ ‎(2)为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当为何值时,随增大而减小.‎ 分析:根据二次函数的定义,确定的值.‎ 解:(1)根据题意 ‎ 所以当或时,已知函数为二次函数.‎ ‎(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以且,解得.‎ 因为最低点为抛物线顶点.‎ 所以最低点坐标是(0,0). 当时,随增大而减小.‎ 说明:此题不但考查二次函数的定义,还考查二次函数的性质,比上题增加一些难度.当时,二次函数有最高点;当时,二次函数有最低点.‎ 典型例题六 例 底面是正方形且边长为,高为的长方体体积为.‎ ‎(1)求与之间的函数关系式;‎ ‎(2)画出图像;‎ ‎(3)根据图像,求出为何值时,.‎ 解:(1)与函数关系式为();‎ ‎(2)列表 a ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.5‎ ‎2‎ ‎4.5‎ 图像如图13-19‎ ‎(3)根据图像得当时,.‎ 说明:在实际问题中应注意自变量的取值范围要符合题意要求,所以正方形边长的取值范围.‎ 典型例题七 例 如图所示,在矩形中,,,,且,是方程的两个根.是上的一动点,动点在或其延长线上,,以为一边的正方形为,点从点开始沿射线方向运动,设,正方形与矩形重叠部分的面积为.‎ ‎(1)求和;‎ ‎(2)分别求出和时,与之间的函数关系式;‎ ‎(3)在同一坐标系画出(2)中函数的图像.‎ 分析:(1) 因为,是方程的两个根,解方程即可得. 因为点是上的一个动点,,当点从沿着方面运动时,正方形与矩形重叠部分不断发生变化,可借助于(2)中的图分析.‎ 解:(1)因为,()是方程 的两个根,故解得 ‎,‎ ‎ (2)因为点是上的一个动点,,当点从沿着方面运动时,正方形与矩形重叠部分不断发生变化,可借助于下图分析:‎ 当时,重叠部分的正方形的边长从0到最大边长2,不断发生变化,则可得;‎ 当时,重叠部分的正方形立即转化为矩形,而重叠部分的矩形面积即.‎ 由此可见,当数发生一定的变化时,对应的几何图形也发生了“质”的变化,当点在上沿方向运动时,点一离开点,重叠部分的正方形边长就不为0;点与中点重合时,正方形面积最大;点沿方向运动一旦离开中点时,重叠部分的图形由正方形就立即转化为矩形了;点与点重合时,重叠部分面积为0.‎ ‎(3)根据,,画出图像如下图所示.‎ 说明:本题是一道综合性较强的题目,分析第二小题时,要借助于上面的图形分析,使问题迎刃而解.‎ 典型例题八 例 函数与直线交于点,求:‎ ‎(1)和的值;‎ ‎(2)求抛物线的解析式,并求顶点坐标和对称轴;‎ ‎(3)取何值时,二次函数中随的增大而增大;‎ ‎(4)求抛物线与直线的两交点及顶点所构成的三角形的面积。‎ 分析:两曲线的交点坐标,一定同时满足两曲线的解析式,代入求得.‎ 解:(1)将,代入,解得.‎ ‎ 所以交点坐标是,再将,代入,解得,所以,.‎ ‎(2)抛物线的解析式为,顶点坐标为,对称轴为直线(即轴);‎ ‎(3)当时,随的增大而增大;‎ ‎(4)设直线与抛物线相交于,两点.‎ 由 解得,‎ 所以,(为中边中点),‎ 所以 说明:因为轴上的点中横坐标都等于0,所以用直线表示轴.同理,用直线表示轴.‎ 典型例题九 例 如图所示,直线过和两点,它与二次函数的图像在第一象限内相交于点,若的面积为,求二次函数的解析式.‎ 分析:确定二次函数的解析式,只需根据已知条件求出的值.要求,需要知道二次函数上的一个点的坐标,只有点. 再利用三角形的面积为,去求点的坐标.‎ ‎ ‎ 解:设为.‎ ‎ 因为过 和,‎ ‎ 所以 即 ‎ 所以直线的解析式为 ‎ 因为 即,‎ ‎ 所以.‎ ‎ 因为点在上,所以,‎ ‎ 解得 .‎ ‎ 又因为点在抛物线上,‎ ‎ 所以,解得,‎ ‎ 所以二次函数的解析式.‎ 说明:求二次函数的解析式,只需根据题目的已知条件,求出的值即可.‎ 典型例题十 例 下列解析式中,哪些是二次函数式?‎ ‎  ‎ 分析:必须是整式才能谈“次数”.其中(1),(2)是分式,(5)是无理式,所以都不是二次函数.(6)是四次函数,(4)展开整理后是 y=3x,是一次函数,所以只有(3) ‎ 填空题 ‎1.填空:已知二次函数 y=-x2; ①    ;②‎ y=15x2;③       y=-4x2;④‎ ‎ ;  ⑤   y=4x2.⑥‎ ‎(1)其中开口向上的有_______(填题号);‎ ‎(2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号);‎ ‎(3)当自变量由小到大变化时,函数值先逐渐变大,然后渐变小的有________(填题号).‎ ‎2.函数当时,函数解析式为________,其图像是_____,对称轴是______,顶点坐标是______。‎ ‎3.函数的图像是一条关于_______对称的曲线,这条曲线叫_________。‎ ‎4.函数的图像是开口向_______,对称轴是________,顶点坐标是_______,图像有最______点,其坐标为________,当____0时,随增大而增大,当____0时,随增大而减小。‎ ‎5.函数的图像开口向_______,对称轴是______,顶点坐标是______,图像有最____点,其坐标为_______,当______时,随增大而增大,当______时,随增大而减小。‎ ‎6.已知函数,当=______时,它的图像是开口向上的抛物线,当=______时,它的图像是开口向下的抛物线。‎ ‎7.当=_______时,是二次函数,它的图像开口向______。‎ ‎8.若二次函数的图像开口方向向上,则应满足的条件是_______。‎ ‎9.如果的图像上的点在第一、二象限内和原点,则______。‎ ‎10.设函数,当等于______时,它的图像是一条直线;当等于______时,它的图像是抛物线。‎ ‎11.已知二次函数的图像经过点,则这个二次函数为________。‎ ‎12.在函数中,若,则______。‎ ‎13.二次函数的图像过点,那么的值是_______。‎ ‎14.已知点在抛物线上,则值是_______,此抛物线经过点,,中的_______。‎ ‎15.函数的图像必经过_____点。‎ ‎16.把图中图像号填在它解析式后面:‎ 的图像为______,的图像为_______。的图像为_______,的图像为_______。‎ 答案:‎ ‎1.略 2.,抛物线,轴,() 3.轴,抛物线 4.上,轴,(),低,(),, 5.下,轴,(),高,(),, 6.1, 7.,下 8. 9. 10.0,或 11. 12. 13.或 14.1,, 15.原 16.③,①,④,② .‎ 解答题 ‎1.下列各函数中,哪是正比例函数?哪是一次函数?哪是二次函数?‎ ‎  ‎ ‎ 答: 其中是正比例函数的有______(填题号);‎ ‎     其中是一次函数的有______(填题号);‎ ‎          其中是二次函数的有______(填题号).‎ ‎2.正方形边长是3,若边长增加x,则面积增加y,求y与x之间的函数关系.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   3.m是什么值时,函数是关于x的二次函数?‎ ‎4.已知函数y=ax2+bx+c.‎ ‎  (1) 当a,b,c是怎样的数时,它是正比例函数?‎ ‎  (2) 当a,b,c是怎样的数时,它是一次函数?‎ ‎  (3) 当a,b,c是怎样的数时,它是二次函数?‎ ‎5. 已知函数y=ax2的图象过点.求此图象上纵坐标为时的点的坐标 .‎ ‎6.画出函数的图像,并回答下列问题:‎ ‎(1)图像在第几象限?‎ ‎(2)随的变化,如何变化?‎ ‎(3)函数图像与交点坐标是什么?‎ ‎7.已知抛物线经过点,求抛物线解析式。‎ ‎8.求直线与抛物线的交点坐标。‎ ‎9.已知抛物线和一次函数的图像都经过,直线与轴,轴正半轴分别交于,两点,且.求二次函数及一次函数的解析式。‎ ‎10.设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和,且直线与轴的交战的横坐标为,求证:.‎ ‎11.如图13-28,已知抛物线上的点,与轴上的点,构成平行四边形,与轴交于点,求常数的值及所在直线的方程。‎ 答案:‎ ‎1. 略 2. 3. m=1 4. 略 5. .‎ ‎6.图像略.(1)第三象限;(2)当增大时增大;(3)(),()‎ ‎7.[提示:抛物线经过点,所以.‎ 所以所求抛物线解析式为。]‎ ‎8.(),()[提示:解方程组得或 所以直线与抛物线的交点为()和().]‎ ‎9.;或 ‎[提示;因为函数经过点,所以,‎ 所以,所以二次函数解析式为;‎ 而函数经过点,则 因为直线与轴,轴正半轴交于,,‎ 所以,,因为,.‎ 所以,又因为,所以.‎ 由 解得 ‎ 所以一次函数解析式为或.]‎ ‎10.[提示:由题意 由(2)-(1)得,由(4)-(3)得.‎ 因为,是方程的两个根,‎ 所以,.‎ 所以.由题意得,‎ 直线与轴的交点横坐标为,‎ 所以,得.即,‎ 从而,命题得证。]‎ ‎11.,[提示:因为平行四边形,所以即平行于轴,又因为与轴交于,且关于轴对称,所以设,坐标分别为(‎ ‎)(),又因为,所以.‎ 所以.所以.所以如图所示位置中,,把代入,解得.设所在直线解析式为,因为,,所以解得 所以所在直线方程为.]‎ ‎1、 已知a≠0,b<0,一次函数是y=ax+b,二次函数是y=ax2,则下面图中,可以成立的是(  )‎ ‎2、填空:已知二次函数 y=-x2; ①    ;②‎ ‎  y=15x2;③       y=-4x2;④‎ ‎  ;  ⑤   y=4x2.⑥‎ ‎   (1)其中开口向上的有_______(填题号);‎ ‎  (2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号);‎ ‎   (3)当自变量由小到大变化时,函数值先逐渐变大,然后渐变小的有________(填题号).‎ 答案与提示:‎ ‎1、C 2、略 ‎ ‎1、正方形边长是3,若边长增加x,则面积增加y,求y与x之间的函数关系.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   2、m是什么值时,函数是关于x的二次函数?‎ ‎3、已知函数y=ax2+bx+c.‎ ‎  (1) 当a,b,c是怎样的数时,它是正比例函数?‎ ‎  (2) 当a,b,c是怎样的数时,它是一次函数?‎ ‎  (3) 当a,b,c是怎样的数时,它是二次函数?‎ ‎4.已知函数y=ax2的图象过点.求此图象上纵坐标为时的点的坐标 .‎ 答案与提示:‎ ‎1、 2、m=1 3、略 4、.‎
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