2020年中考数学专题复习：《几何最值问题》典型例题

2020年中考数学专题复习：《几何最值问题》典型例题

1 初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个 定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例 轴 对 称 最 值 图形 lP B A NM l B A A P B l 原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系 特征 A，B 为定点，l 为定直 线，P 为直线 l 上的一 个动点，求 AP+BP 的 最小值 A，B 为定点，l 为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求 AM+BN 的最小值 A，B 为定点，l 为定直线， P 为直线 l 上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定 直线 l 的对称点 先平移 AM 或 BN 使 M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线 l 的对称点 作其中一个定点关于定 直线 l 的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理 两点之间线段最短 特征 在△ABC 中，M，N 两点分别是边 AB，BC 上的动点，将△BMN 沿 MN 翻折， B 点的对应点为 B'，连接 AB'，求 AB'的最小值． 转化 转化成求 AB'+B'N+NC 的最小值 二、典型题型 1．如图：点 P 是∠AOB 内一定点，点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则 △ PMN 的周长的最小值为 ． 【分析】作 P 关于 OA，OB 的对称点 C，D．连接 OC，OD．则当 M，N 是 CD 与 OA，OB 的交点时，△ PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长．根据对称的性质可以证得：△ COD 是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作 P 关于 OA，OB 的对称点 C，D．连接 OC，OD．则当 M，N 是 CD 与 OA，OB 的交点时， △ PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长． ∵PC 关于 OA 对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD 2 ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD． ∴△COD 是等腰直角三角形． 则 CD= 2 OC= ×3 =6． 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△ PMN 周长最小的条件是解题的关键． 2．如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= ． 【分析】因为 AB，PN 的长度都是固定的，所以求出 PA+NB 的长度就行了．问题就是 PA+NB 什么时候最 短． 把 B 点向左平移 2 个单位到 B′点；作 B′关于 x 轴的对称点 B″，连接 AB″，交 x 轴于 P，从而确定 N 点位置， 此时 PA+NB 最短． 设直线 AB″的解析式为 y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得 a 的值． 【解答】解：将 N 点向左平移 2 单位与 P 重合，点 B 向左平移 2 单位到 B′（2，﹣1）， 作 B′关于 x 轴的对称点 B″，根据作法知点 B″（2，1）， 设直线 AB″的解析式为 y=kx+b， 则 12 3 kb kb     ，解得 k=4，b=﹣7． ∴y=4x﹣7．当 y=0 时，x= 7 4 ，即 P（ ，0）， a= ． 故答案填： ． 【题后思考】考查关于 X 轴的对称点，两点之间线段最短等知识． 3 3．如图，A、B 两点在直线的两侧，点 A 到直线的距离 AM=4，点 B 到直线的距离 BN=1，且 MN=4，P 为 直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为 ． D P B′ N B M A 【分析】作点 B 于直线 l 的对称点 B′，则 PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当 A，B′、P 在一条直线上时， |PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得 PN 和 PM 的值然后根据勾股定理求得 PA、PB′的值， 进而求得|PA﹣PB|的最大值． 【解答】解：作点 B 于直线 l 的对称点 B′，连 AB′并延长交直线 l 于 P． ∴B′N=BN=1， 过 D 点作 B′D⊥AM， 利用勾股定理求出 AB′=5 ∴|PA﹣PB|的最大值=5． 【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键． 4．动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A′处， 折痕为 PQ，当点 A′在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动．若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边 上移动，则点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为 ． 【分析】本题关键在于找到两个极端，即 BA′取最大或最小值时，点 P 或 Q 的位置．经实验不难发现，分 别求出点 P 与 B 重合时，BA′取最大值 3 和当点 Q 与 D 重合时，BA′的最小值 1．所以可求点 A′在 BC 边上 移动的最大距离为 2． 【解答】解：当点 P 与 B 重合时，BA′取最大值是 3， 当点 Q 与 D 重合时（如图），由勾股定理得 A′C=4，此时 BA′取最小值为 1． 则点 A′在 BC 边上移动的最大距离为 3﹣1=2． 故答案为：2 【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺 乏动手操作习惯，单凭想象造成错误． 5．如图，直角梯形纸片 ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点 E、F 分别在线段 AB、AD 上，将△ AEF 沿 EF 翻折，点 A 的落点记为 P．当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ． 4 【分析】如图，经分析、探究，只有当直径 EF 最大，且点 A 落在 BD 上时，PD 最小；根据勾股定理求出 BD 的长度，问题即可解决． 【解答】解：如图， ∵当点 P 落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°， ∴四边形 PFAE 是以 EF 为直径的圆内接四边形， ∴只有当直径 EF 最大，且点 A 落在 BD 上时，PD 最小， 此时 E 与点 B 重合； 由题意得：PE=AB=8， 由勾股定理得： BD2=82+62=80， ∴BD= 45， ∴PD= 4 5 8 ． 【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为 核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动． 6．如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之 在 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离 为 ． 【分析】取 AB 的中点 E，连接 OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE= AB， 利用勾股定理列式求出 DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得 OD 过点 E 时最大． 【解答】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 OD、OE、DE， ∵∠MON=90°，AB=2 ∴OE=AE= 1 2 AB=1， ∵BC=1，四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC=1， ∴DE= 2 ， 根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE， 5 ∴当 OD 过点 E 是最大，最大值为 2 +1． 故答案为： +1． 【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关 系，勾股定理，确定出 OD 过 AB 的中点时值最大是解题的关键． 7．如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作等腰直角△ ACD 和等腰直角△ BCE，那么 DE 长的最小值是 ． 【分析】设 AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出 CD= 2 2 x，CD′= （4﹣x），根据勾股 定理然后用配方法即可求解． 【解答】解：设 AC=x，BC=4﹣x， ∵△ABC，△ BCD′均为等腰直角三角形， ∴CD= x，CD′= （4﹣x）， ∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°， ∴∠DCE=90°， ∴DE2=CD2+CE2= 1 2 x2+ （4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4， ∵根据二次函数的最值， ∴当 x 取 2 时，DE 取最小值，最小值为：4． 故答案为：2． 【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最 值． 8．如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为 ． 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点 P 关于 BD 的对称点 P′，连接 P′Q 与 BD 的交点即为所求的 点 K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知 P′Q⊥CD 时 PK+QK 的最小值， 然后求解即可． 【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°， ∴点 P′到 CD 的距离为 2× 3 2 = 3 ， ∴PK+QK 的最小值为 ． 6 故答案为： 3 ． 【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定 最短路线的方法是解题的关键． 9．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上的任意一点（可与 B、C 重合），分别过 B、C、 D 作射线 AP 的垂线，垂足分别为 B′、C′、D′，则 BB′+CC′+DD′的取值范围是 ． 【分析】首先连接 AC，DP．由正方形 ABCD 的边长为 1，即可得：S△ ADP= 1 2 S 正方形 ABCD= ， S△ ABP+S△ ACP=S△ ABC= S 正方形 ABCD= ，继而可得 AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由 1≤AP≤ 2 ，即可求得 答案． 【解答】解：连接 AC，DP． ∵四边形 ABCD 是正方形，正方形 ABCD 的边长为 1， ∴AB=CD，S 正方形 ABCD=1， ∵S△ ADP= S 正方形 ABCD= ，S△ ABP+S△ ACP=S△ ABC= S 正方形 ABCD= ， ∴S△ ADP+S△ ABP+S△ ACP=1， ∴ AP•BB′+ AP•CC′+ AP•DD′= AP•（BB′+CC′+DD′）=1， 则 BB′+CC′+DD′= 2 AP ， ∵1≤AP≤ ， ∴当 P 与 B 重合时，有最大值 2； 当 P 与 C 重合时，有最小值 ． ∴ ≤BB′+CC′+DD′≤2． 故答案为： ≤BB′+CC′+DD′≤2． 【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接 AC， DP，根据题意得到 S△ ADP+S△ ABP+S△ ACP=1，继而得到 BB′+CC′+DD′= ． 7 10．如图，菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1，P、E、F 分别是边 CD、⊙A 和⊙B 上的动点，则 PE+PF 的最小值是 ． 【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出 P 与 D 重合时 PE+PF 的最小值，进而求出即可． 【解答】解：由题意可得出：当 P 与 D 重合时，E 点在 AD 上，F 在 BD 上，此时 PE+PF 最小， 连接 BD， ∵菱形 ABCD 中，∠A=60°， ∴AB=AD，则△ ABD 是等边三角形， ∴BD=AB=AD=3， ∵⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1， ∴PE=1，DF=2， ∴PE+PF 的最小值是 3． 故答案为：3． 【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出 P 点位置是解题关键．