2020年中考数学专题复习:《几何最值问题》典型例题

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2020年中考数学专题复习:《几何最值问题》典型例题

1 初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短; 直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短; 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值) 是解决几何最值问题的理论依据,根据不同特征转化是解决最值问题的关键.通过转化减少变量,向三个 定理靠拢进而解决问题;直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段. 几何最值问题中的基本模型举例 轴 对 称 最 值 图形 lP B A NM l B A A P B l 原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系 特征 A,B 为定点,l 为定直 线,P 为直线 l 上的一 个动点,求 AP+BP 的 最小值 A,B 为定点,l 为定直线, MN为直线l上的一条动线 段,求 AM+BN 的最小值 A,B 为定点,l 为定直线, P 为直线 l 上的一个动 点,求|AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定 直线 l 的对称点 先平移 AM 或 BN 使 M,N 重合,然后作其中一个定 点关于定直线 l 的对称点 作其中一个定点关于定 直线 l 的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理 两点之间线段最短 特征 在△ABC 中,M,N 两点分别是边 AB,BC 上的动点,将△BMN 沿 MN 翻折, B 点的对应点为 B',连接 AB',求 AB'的最小值. 转化 转化成求 AB'+B'N+NC 的最小值 二、典型题型 1.如图:点 P 是∠AOB 内一定点,点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动,若∠AOB=45°,OP=32,则 △ PMN 的周长的最小值为 . 【分析】作 P 关于 OA,OB 的对称点 C,D.连接 OC,OD.则当 M,N 是 CD 与 OA,OB 的交点时,△ PMN 的周长最短,最短的值是 CD 的长.根据对称的性质可以证得:△ COD 是等腰直角三角形,据此即可求解. 【解答】解:作 P 关于 OA,OB 的对称点 C,D.连接 OC,OD.则当 M,N 是 CD 与 OA,OB 的交点时, △ PMN 的周长最短,最短的值是 CD 的长. ∵PC 关于 OA 对称, ∴∠COP=2∠AOP,OC=OP 同理,∠DOP=2∠BOP,OP=OD 2 ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°,OC=OD. ∴△COD 是等腰直角三角形. 则 CD= 2 OC= ×3 =6. 【题后思考】本题考查了对称的性质,正确作出图形,理解△ PMN 周长最小的条件是解题的关键. 2.如图,当四边形 PABN 的周长最小时,a= . 【分析】因为 AB,PN 的长度都是固定的,所以求出 PA+NB 的长度就行了.问题就是 PA+NB 什么时候最 短. 把 B 点向左平移 2 个单位到 B′点;作 B′关于 x 轴的对称点 B″,连接 AB″,交 x 轴于 P,从而确定 N 点位置, 此时 PA+NB 最短. 设直线 AB″的解析式为 y=kx+b,待定系数法求直线解析式.即可求得 a 的值. 【解答】解:将 N 点向左平移 2 单位与 P 重合,点 B 向左平移 2 单位到 B′(2,﹣1), 作 B′关于 x 轴的对称点 B″,根据作法知点 B″(2,1), 设直线 AB″的解析式为 y=kx+b, 则 12 3 kb kb     ,解得 k=4,b=﹣7. ∴y=4x﹣7.当 y=0 时,x= 7 4 ,即 P( ,0), a= . 故答案填: . 【题后思考】考查关于 X 轴的对称点,两点之间线段最短等知识. 3 3.如图,A、B 两点在直线的两侧,点 A 到直线的距离 AM=4,点 B 到直线的距离 BN=1,且 MN=4,P 为 直线上的动点,|PA﹣PB|的最大值为 . D P B′ N B M A 【分析】作点 B 于直线 l 的对称点 B′,则 PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|,则当 A,B′、P 在一条直线上时, |PA﹣PB|的值最大.根据平行线分线段定理即可求得 PN 和 PM 的值然后根据勾股定理求得 PA、PB′的值, 进而求得|PA﹣PB|的最大值. 【解答】解:作点 B 于直线 l 的对称点 B′,连 AB′并延长交直线 l 于 P. ∴B′N=BN=1, 过 D 点作 B′D⊥AM, 利用勾股定理求出 AB′=5 ∴|PA﹣PB|的最大值=5. 【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换,勾股定理等,熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键. 4.动手操作:在矩形纸片 ABCD 中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的 A′处, 折痕为 PQ,当点 A′在 BC 边上移动时,折痕的端点 P、Q 也随之移动.若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边 上移动,则点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为 . 【分析】本题关键在于找到两个极端,即 BA′取最大或最小值时,点 P 或 Q 的位置.经实验不难发现,分 别求出点 P 与 B 重合时,BA′取最大值 3 和当点 Q 与 D 重合时,BA′的最小值 1.所以可求点 A′在 BC 边上 移动的最大距离为 2. 【解答】解:当点 P 与 B 重合时,BA′取最大值是 3, 当点 Q 与 D 重合时(如图),由勾股定理得 A′C=4,此时 BA′取最小值为 1. 则点 A′在 BC 边上移动的最大距离为 3﹣1=2. 故答案为:2 【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识,难度稍大,学生主要缺 乏动手操作习惯,单凭想象造成错误. 5.如图,直角梯形纸片 ABCD,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点 E、F 分别在线段 AB、AD 上,将△ AEF 沿 EF 翻折,点 A 的落点记为 P.当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时,PD 的最小值等于 . 4 【分析】如图,经分析、探究,只有当直径 EF 最大,且点 A 落在 BD 上时,PD 最小;根据勾股定理求出 BD 的长度,问题即可解决. 【解答】解:如图, ∵当点 P 落在梯形的内部时,∠P=∠A=90°, ∴四边形 PFAE 是以 EF 为直径的圆内接四边形, ∴只有当直径 EF 最大,且点 A 落在 BD 上时,PD 最小, 此时 E 与点 B 重合; 由题意得:PE=AB=8, 由勾股定理得: BD2=82+62=80, ∴BD= 45, ∴PD= 4 5 8 . 【题后思考】该命题以直角梯形为载体,以翻折变换为方法,以考查全等三角形的判定及其性质的应用为 核心构造而成;解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间,动中求静,以静制动. 6.如图,∠MON=90°,矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM,ON 上,当 B 在边 ON 上运动时,A 随之 在 OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中 AB=2,BC=1,运动过程中,点 D 到点 O 的最大距离 为 . 【分析】取 AB 的中点 E,连接 OD、OE、DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE= AB, 利用勾股定理列式求出 DE,然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得 OD 过点 E 时最大. 【解答】解:如图,取 AB 的中点 E,连接 OD、OE、DE, ∵∠MON=90°,AB=2 ∴OE=AE= 1 2 AB=1, ∵BC=1,四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC=1, ∴DE= 2 , 根据三角形的三边关系,OD<OE+DE, 5 ∴当 OD 过点 E 是最大,最大值为 2 +1. 故答案为: +1. 【题后思考】本题考查了矩形的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,三角形的三边关 系,勾股定理,确定出 OD 过 AB 的中点时值最大是解题的关键. 7.如图,线段 AB 的长为 4,C 为 AB 上一动点,分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作等腰直角△ ACD 和等腰直角△ BCE,那么 DE 长的最小值是 . 【分析】设 AC=x,BC=4﹣x,根据等腰直角三角形性质,得出 CD= 2 2 x,CD′= (4﹣x),根据勾股 定理然后用配方法即可求解. 【解答】解:设 AC=x,BC=4﹣x, ∵△ABC,△ BCD′均为等腰直角三角形, ∴CD= x,CD′= (4﹣x), ∵∠ACD=45°,∠BCD′=45°, ∴∠DCE=90°, ∴DE2=CD2+CE2= 1 2 x2+ (4﹣x)2=x2﹣4x+8=(x﹣2)2+4, ∵根据二次函数的最值, ∴当 x 取 2 时,DE 取最小值,最小值为:4. 故答案为:2. 【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形,难度不大,关键是掌握用配方法求二次函数最 值. 8.如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120°,点 P,Q,K 分别为线段 BC,CD,BD 上的任意一点,则 PK+QK 的最小值为 . 【分析】根据轴对称确定最短路线问题,作点 P 关于 BD 的对称点 P′,连接 P′Q 与 BD 的交点即为所求的 点 K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知 P′Q⊥CD 时 PK+QK 的最小值, 然后求解即可. 【解答】解:如图,∵AB=2,∠A=120°, ∴点 P′到 CD 的距离为 2× 3 2 = 3 , ∴PK+QK 的最小值为 . 6 故答案为: 3 . 【题后思考】本题考查了菱形的性质,轴对称确定最短路线问题,熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定 最短路线的方法是解题的关键. 9.如图所示,正方形 ABCD 的边长为 1,点 P 为边 BC 上的任意一点(可与 B、C 重合),分别过 B、C、 D 作射线 AP 的垂线,垂足分别为 B′、C′、D′,则 BB′+CC′+DD′的取值范围是 . 【分析】首先连接 AC,DP.由正方形 ABCD 的边长为 1,即可得:S△ ADP= 1 2 S 正方形 ABCD= , S△ ABP+S△ ACP=S△ ABC= S 正方形 ABCD= ,继而可得 AP•(BB′+CC′+DD′)=1,又由 1≤AP≤ 2 ,即可求得 答案. 【解答】解:连接 AC,DP. ∵四边形 ABCD 是正方形,正方形 ABCD 的边长为 1, ∴AB=CD,S 正方形 ABCD=1, ∵S△ ADP= S 正方形 ABCD= ,S△ ABP+S△ ACP=S△ ABC= S 正方形 ABCD= , ∴S△ ADP+S△ ABP+S△ ACP=1, ∴ AP•BB′+ AP•CC′+ AP•DD′= AP•(BB′+CC′+DD′)=1, 则 BB′+CC′+DD′= 2 AP , ∵1≤AP≤ , ∴当 P 与 B 重合时,有最大值 2; 当 P 与 C 重合时,有最小值 . ∴ ≤BB′+CC′+DD′≤2. 故答案为: ≤BB′+CC′+DD′≤2. 【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题.此题难度较大,解题的关键是连接 AC, DP,根据题意得到 S△ ADP+S△ ABP+S△ ACP=1,继而得到 BB′+CC′+DD′= . 7 10.如图,菱形 ABCD 中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1,P、E、F 分别是边 CD、⊙A 和⊙B 上的动点,则 PE+PF 的最小值是 . 【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出 P 与 D 重合时 PE+PF 的最小值,进而求出即可. 【解答】解:由题意可得出:当 P 与 D 重合时,E 点在 AD 上,F 在 BD 上,此时 PE+PF 最小, 连接 BD, ∵菱形 ABCD 中,∠A=60°, ∴AB=AD,则△ ABD 是等边三角形, ∴BD=AB=AD=3, ∵⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1, ∴PE=1,DF=2, ∴PE+PF 的最小值是 3. 故答案为:3. 【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识,根据题意得出 P 点位置是解题关键.
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