2021年中考数学专题复习 专题23 平行四边形（教师版含解析）

2021年中考数学专题复习 专题23 平行四边形（教师版含解析）

专题23平行四边形问题1.平行四边形定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，读作“平行四边形ABCD”。2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分。3.平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。4.平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah【例题1】(2020•温州)如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为(　　) A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝(180°﹣40°)÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．【对点练习】(2019•山东临沂)如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(　　)A．OM＝ACB．MB＝MOC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND【答案】A【解析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【例题2】(2020•凉山州)如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于　16　．【答案】16．【解析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出答案．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4， ∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×(AB+AD)＝2×8＝16；【对点练习】(2019•湖北武汉)如图所示，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为　　．【答案】21°．【解析】设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°。【例题3】(2020•扬州)如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点 E、F，连接AF、CE．(1)若OE=32，求EF的长；(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由．【答案】见解析。【分析】(1)判定△AOE≌△COF(ASA)，即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；(2)先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF=32，∴EF＝2OE＝3；(2)四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．【对点练习】(湖南省永州市)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．(1)求证：BE=CD．(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．【答案】见解析。【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD∥BE，∴∠DAE=∠AEB．又AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴BE=AB．又AB=CD，∴BE=CD．(2)∵BE=AB，BF⊥AE，∴AF=EF，∵AD∥BE，∴∠D=∠DCE，∠DAF=∠FEC，∴△ADF≌△ECF(AAS)．∴S平行四边形ABCD=S△ABE．∵BE=AB，∠BEA=60°，∴△ABE为等边三角形．∴S△ABE=AE·BF=×4×4sin60°=×4×4×=． ∴S平行四边形ABCD=．一、选择题1．(2020•衡阳)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　　)A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD【答案】C【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形.2．(2020•临沂)如图所示，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则(　　)A．S1+S2＞S2B．S1+S2＜S2C．S1+S2=S2D．S1+S2的大小与P点位置有关【答案】C【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．【解析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，S1=AD⋅PE2，S2=BC⋅PF2，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2=S23．(2020•陕西)如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为(　　) A．52B．32C．3D．2【答案】D【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．【解析】∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF=12BC＝4，∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，∴F是AG的中点，∴EF是梯形ABCG的中位线，∴CG＝2EF﹣AB＝3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝24.(2019▪广西池河)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是(　　)A．∠B＝∠FB．∠B＝∠BCFC．AC＝CFD．AD＝CF【答案】B． 【解析】利用三角形中位线定理得到DEAC，结合平行四边形的判定定理进行选择．∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DEAC．A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．二、填空题5．(2020•武汉)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　　．【答案】26°．【解析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°6．(2020•天津)如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为　　．【答案】32．【解析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝3，AB＝CF＝2，∴CD＝2，BC＝3，∴BF＝BC+CF＝5，∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，延长CG交BE于点H， ∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，∠CDG=∠HEGDG=EG∠DGC=∠EGH，∴△DCG≌△EHG(ASA)，∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝2，BE＝5，∴HE＝2，BH＝3，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，∴△CBH是等边三角形，∴CH＝BC＝3，∴CG=12CH=327．(2019湖南娄底)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是　． 【答案】9．【解析】∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，∴OE=CD，∵△BCD的周长为18，∴BD+DC+B=18，∴△DEO的周长是DE+OE+DO=(BC+DC+BD)=×18=98.(2019河南省)如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数是_________.【答案】110°【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识．思路：首先利用平行四边形的性质求出∠BAE的度数，再由∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20° ∵BE⊥AB∴∠ABE=90°∵∠2是△ABE的外角∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110，故答案为110°.9.(2019浙江金华)如图,已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是.【答案】80°【解析】延长DE交AB于F，根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定∠AED的度数．延长DE交AB于F，因为AB∥CD，BC∥DE，所以四边形BCDF为平行四边形，因为∠C＝120°，所以∠BFD＝120°，所以∠AFD＝60°，又∠A＝20°，所以∠AED＝60°+20°＝80°，故答案为80°.三、解答题10．(2020•广元)已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．(1)求证：△AOE≌△COF；(2)若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积． 【答案】见解析。【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；(2)由于AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据△AOE的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积．【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)；(2)∵AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，∴AO：AC＝1：2，∵∠EAO＝∠DAC，∴△AEO∽△ADC，∵△AOE的面积为2，∴△ADC的面积为8，∴平行四边形ABCD的面积为16． 11．(2020•青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．【答案】见解析。【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；(2)根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)；(2)当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．12．(2020•重庆)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE． (1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；(2)求证：AE＝CF．【答案】见解析。【分析】(1)利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．(2)证明△AEO≌△CFO(AAS)可得结论．【解答】(1)解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°，(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF．13．(2020•岳阳)如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE．求证：四边形BEDF是平行四边形．【答案】见解析。【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE=13BC，FD=13AD，∴BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．14．(2020•淮安)如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．(1)求证：△AOF≌△COE；(2)连接AE、CF，则四边形AECF　　(填“是”或“不是”)平行四边形． 【答案】见解析。【分析】(1)由ASA证明△AOF≌△COE即可；(2)由全等三角形的性质得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，∠OAF=∠OCEAO=CO∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE(ASA)(2)解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由(1)得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．15.(2020•陕西)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 【答案】见解析。【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE．