2020届湖北名师联盟高三上学期第一次模拟考试数字（文）试题（解析版）

2020届湖北名师联盟高三上学期第一次模拟考试数字（文）试题（解析版）

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2020届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷 文科 数 学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知函数，那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知，则下列不等式不成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．直线与圆相交于、两点，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．对任意，函数的导数都存在，若恒成立，且，‎ 则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知函数：①；②；③；④．从中 任取两个函数，则这两个函数的奇偶性相同的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数且的图像可能为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．设为双曲线的右焦点，过的右顶点作轴的垂线与的渐近线相交于，两点，为坐标原点，四边形为菱形，圆与在第一象限的交点是，且，则双曲线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．己知从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为，第二行为，，第三行为，，，第四行为，，，，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知数列为等差数列，其前项和为，，则 ．‎ ‎14．已知长方体各个顶点都在球面上，，，过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 ．‎ ‎15．已知，，则 ．‎ ‎16．设函数的两个零点分别为，，且在区间上恰有两个正整数，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）函数部分图象如图所示：‎ ‎（1）求的最小正周期及解析式；‎ ‎（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎18．（12分）如图，三棱锥中，是正三角形，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，求点到平面的距离．‎ ‎19．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为元，每个蛋糕的售价为元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图．天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．‎ ‎（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？‎ ‎（2）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕．‎ ‎①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；‎ ‎②求当天的利润不低于元的概率；‎ ‎（3）若蛋糕店计划一天制作个或个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作个还是个生日蛋糕？‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，离心率 ‎，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于，两点．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）直线绕点旋转后，与曲线，分别交于，两点，求．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎2020届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷 文科数学答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】因为，所以．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】由题得抛物线的标准方程为．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】∵，∴．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】取，，，‎ 对于A选项，，A选项成立．‎ 对于B选项，，B选项不成立．‎ 对于C选项，，，，C选项成立．‎ 对于D选项，，，，D选项成立．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】若，则直线，圆心到直线的距离，‎ 可得，‎ 但是，若，由对称性可知直线或均满足要求，‎ 因此“”是“”充分不必要条件．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】令，则，‎ 所以为上单调递增函数，‎ 因为，所以，即．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】①中函数是非奇非偶函数，②中函数是偶函数，‎ ‎③中函数是奇函数，④中函数是偶函数，‎ 从上述个函数中任取两个函数，有中取法：①②、①③、①④、②③、②④、③④，其中②④的奇偶性相同，均为偶函数，∴所求概率为．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】是奇函数，是偶函数，故是奇函数，排除A、B；‎ 当时，，排除C，故选D．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】双曲线的渐近线为，过的右顶点作轴的垂线，‎ 易知这条直线与渐近线的交点为，，∴，‎ 又为坐标原点，四边形为菱形，即，得，，，，即双曲线，排除A、C．‎ ‎∵圆与在第一象限的交点是，且，‎ ‎∴联立，得点，‎ ‎∴，得，‎ 由可知，∴双曲线方程，故选D．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】由图表可知：数表为从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，‎ 第组个奇数，第组个奇数，…，第组个奇数，则前组共个奇数．‎ 设在第组中，又是从开始的连续奇数的第个奇数，‎ 则有，解得，即在第组中，则前组共个数．‎ 又第组中的奇数从右到左，从小到大，‎ 则为第组从右到左的第个数，‎ 即为第组从左到右的第个数，即，，‎ 故．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】易知球的半径为，‎ 取中点，则当截面与垂直时，截面面积最小，‎ 此时球心到截面的距离为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】因为，两边同时平方得，‎ 即，等式左边上下同时除以，‎ 得，解方程可得，，‎ 当时，由二倍角公式得；‎ 当时，由二倍角公式得，‎ 所以．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】，‎ 依题意可得函数与函数图象两个交点的横坐标为，，‎ 作出函数的图象，其中部分如图所示，‎ 在区间上的一个正整数必为，观察图象的趋势易知另一个正整数为，‎ 故．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，‎ 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为．‎ ‎【解析】（1）由图可得，，所以，所以，‎ 当时，，可得，‎ 因为，所以，所以的解析式为．‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 当，即时，有最大值，最大值为；‎ 当，即时，有最小值，最小值为．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）取中点，连，．‎ ‎∵是正三角形，∴．‎ 在中，，∴，∴平面，∴．‎ ‎（2）正中，，‎ 中，，∴，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由（1）证得：平面，‎ 又为中点，∴，‎ 设到平面的距离为，‎ ‎，‎ ‎∴，∴．‎ ‎19．【答案】（1）见解析；（2），；（3）．‎ ‎【解析】（1）当时，；‎ 当时，．‎ ‎（2）①由（1）得当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：‎ ‎．‎ ‎②设“当天利润不低于”为事件，‎ 由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”，‎ ‎∴，‎ 所以当天的利润不低于元的概率为．‎ ‎（3）若一天制作个蛋糕，‎ 则平均利润为；‎ 若一天制作个蛋糕，‎ 则平均利润为，‎ ‎∵，∴蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意得，解得，‎ ‎∵，，∴，，‎ 故椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，‎ 故；‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 联立方程得，化简得，‎ 设，，，，‎ ‎，‎ 点到直线的距离，‎ ‎∵是线段的中点，∴点到直线的距离为，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 综上，面积的最大值为．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）不存在，见解析．‎ ‎【解析】（1）依题意在上恒成立，‎ 即，在上恒成立，‎ 令，则当时，，‎ 所以，即实数的取值范围是．‎ ‎（2）依题意，所以，所以．‎ 不等式在时恒成立．‎ 即，即在时恒成立，‎ 令，则．‎ 因为，所以．‎ 当时，，所以函数在上单调递增，‎ 若，解得，与不符，应舍去；‎ 当时，由，得；由，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，．‎ 问题转化为恒成立时，求的最大值．‎ 令，则．‎ 当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在单调递减，‎ 当时，．‎ 因为，所以，即恒成立．‎ 所以不存在整数使恒成立．‎ 综上所述，不存在满足条件的整数．‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为，‎ 曲线是以为圆心， 为半径的圆，其极坐标方程为．‎ ‎（2）由，得，‎ 即直线的斜率为，从而，，‎ 由已知，设，，‎ 将代入，得，‎ 同理，将代入，得，‎ 所以．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，无解；‎ 当时，由，得，解得；‎ 当时，由，解得．‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）由，得，‎ 设，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ ‎∴，故实数的范围是．‎