数学理卷·2017届山西省太原市第五中学高三第一次模拟考试（2017

数学理卷·2017届山西省太原市第五中学高三第一次模拟考试（2017

太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测 高 三 数 学(理)‎ 出题人、校对人：廉海栋 史天保 李小丽（2017年4月5日）‎ 一、 选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）‎ ‎1. 设集合，则A∩B=‎ ‎ A．（﹣∞，3） B．[2，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，2） ‎ ‎2.已知复数（i是虚数单位），则的共轭复数是 A．1-3i B．1+3i C．-1+3i D．-1-3i ‎3. ∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=,a =1，c=2，则∆ABC的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎4.某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩X服从正态分布X～N（100，σ2），‎ P（X＞120）=a，P（80≤X≤100）=b，则的最小值为 A. 8 B. 9 C. 16 D. 18‎ ‎5.函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是 A、f（x）=x+sinx B、f（x）=xcosx C、f（x）=‎ D、f（x）=‎ ‎6.若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的最大值为 A.6 B. C. D. -1‎ ‎7.‎ ‎ 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )种 A. 18 B. 24 C. 36 D. 48‎ ‎8. 若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是 A. k＜6？‎ ‎ B. k＜7？‎ C. k＜8？‎ D. k＜9？‎ ‎9. E为正四面体D﹣ABC棱AD的中点，平面α过点A，且α∥平面ECB，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m、n所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|﹣|BN|=12，则a=‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎11. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A． B． C． D．4‎ ‎12. 已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（   ）‎ A. 0＜a≤5 B. a＜5 C. 0＜a＜5 D. a≥5‎ 一、 填空题（每小题5分,共20分）‎ ‎13. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 __ .‎ ‎14. 已知且则=___________.‎ ‎15. 在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=．据此类比：将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= .‎ ‎16. 已知函数f(x)=，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1 ， x2 ， x3 ， …，xn ， 且x1＜x2＜x3＜…＜xn ， 则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn= .‎ 三．解答题 ‎17. （本小题满分12分）已知数列满足，，其中为的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求，及数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，且的前项和为，‎ ‎ 求证：当时，.‎ ‎18. （本小题满分12分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：‎ A组 B组 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？‎ ‎（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为，试求的分布列与数学期望.‎ 参考公式：，其中为样本容量.‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19. （本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1，E是AC的中点．‎ ‎（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；‎ ‎（2）若AC=BC，AB=2BB1，求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．‎ ‎20. （本小题满分12分）已知椭圆的方程是，左、右焦点分别是、，在椭圆上有一动点，‎ 过、作一个平行四边形，使顶点、、、都在椭圆上，如图所示.‎ ‎(Ⅰ) 判断四边形能否为菱形，并说明理由.‎ ‎(Ⅱ) 当四边形的面积取到最大值时，判断四边形的形状，并求出其最大值.‎ ‎21. （本小题满分12分）设函数．‎ ‎（1）若函数有且只有一个零点，求实数的值；‎ ‎（2）设函数（其中为自然对数的底数），若对任意给定的，均存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线,曲线以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线C1交于N点，与曲线C2交于O,P两点，且|PN|最大值为.‎ ‎（1）将曲线C1与曲线C2化成极坐标方程，并求r的值；‎ ‎（2）射线与曲线C1交于Q点，与曲线C2交于O,M两点，求四边形MPNQ面积的最大值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=|x-a|，a<0.‎ ‎（1）若a= -2，求不等式f(x)+f(2x)>2的解集；‎ ‎（2）若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空，求的取值范围．‎ ‎4.5高三校一模（理）答案 选择题 DACDB ABCAA BA 填空题：‎ ‎13. 14. - 15. 16. 445‎ ‎17.解：（Ⅰ）数列满足，则，即，‎ ‎，即数列为以1为首项，以为公比的等比数列，所以.‎ ‎（Ⅱ）在数列中，，的前项和，‎ ‎.‎ 而当时，，‎ 即.‎ ‎18．‎ 解：（1）由列联表可得-----2分 没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关------------------4分 ‎（2）由题意得所抽取的5位女性中，“A组”3人，“B组”2人。-------------6分 ‎19．‎ 证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F．‎ ‎∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1，‎ 又A1B1∥AB，∴四边形A1FBB1是平行四边形，‎ ‎∴A1F∥BB1，∵E，F分别AC，AB的中点，∴EF∥BC，‎ 又EF⊂平面A1EF，A1F⊂平面A1EF，EF∩A1F=F，BC⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B，‎ ‎∴平面A1EF∥平面BB1C1C．‎ 又A1E⊂平面A1EF，∴A1E∥平面BB1C1C． ‎ 解：（2）连结CF，则CF⊥AB，‎ 以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），‎ ‎∴E（，﹣，0），=（0，﹣1，1），=（，﹣，0），‎ 设平面A1BE的一个法向量为=（x，y，z），‎ ‎，取y=1，得=（，1，1），‎ 平面ABA1的法向量=（1，0，0），设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ，‎ ‎，则cosθ=．‎ ‎∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为，‎ ‎　‎ ‎20．解：（Ⅰ）因为，如图，直线不能平行于轴，所以令直线的方程 为，，‎ O 联立方程，，‎ 得，…………3分 ‎∴，.……4分 若是菱形，则，‎ 即，‎ 于是有，………………5分 又，‎ 所以有，‎ 得到 ，显然这个方程没有实数解，故不能是菱形. ………6分 ‎（Ⅱ）由题，而，又 ，‎ 即，……………………………8分 由（Ⅱ）知，.‎ 所以,‎ ‎∵函数，，在时，，………………11分 ‎∴的最大值为6，此时，也就是时，‎ 这时直线轴，可以判断是矩形. …………………………………12分 ‎21. 【答案】（1）2；（2） 试题解析：解：（1）由于，则由题意，有且只有一个零点，‎ 令，则，‎ 若，当直线与曲线有且只有一个交点时，直线为曲线在处的切线，则，即，‎ 综上，实数的值为2.‎ ‎（2）由可知，‎ 令可得， ‎ 即在上单调递增，在上单调递减，‎ 从而在上的值域为；‎ 则原题意等价于：对任意，方程在区间上有两个不等实根.‎ ，由于在上不单调，则，且在上单调递减，在上单调递增，‎ 则函数的最小值为，‎ 记，则，‎ 从而函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为，即；‎ 另一方面，由；‎ 综上，实数的取值范围为.‎