2020届高三数学第一次模拟考试试题 新版 新人教版

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2020届高三数学第一次模拟考试试题 新版 新人教版

‎2019高三数学第一次模拟考试试题 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)‎ ‎1.已知集合A={1,2,5},B={2,a},若A∪B={1,2,3,5},则a=   .‎ ‎2.抛物线y2=4x的焦点坐标为   .‎ ‎3.不等式<0的解是   .‎ ‎4.若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),则z=   .‎ ‎5.在代数式(x﹣)7的展开式中,一次项的系数是   .(用数字作答)‎ ‎6.若函数y=2sin(ωx﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω=   .‎ ‎7.(5分)若函数f(x)=xa的反函数的图象经过点(,),则a=   .‎ ‎8.(5分)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm3,则该几何体的侧面积为   cm2.‎ ‎9.(5分)已知函数y=f(x)是奇函数,当x<0 时,f(x)=2x﹣ax,且f(2)=2,则a=   .‎ ‎10.(5分)若无穷等比数列{an}的各项和为Sn,首项 a1=1,公比为a﹣,且 Sn=a,则a=   .‎ ‎11.(5分)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成 4人志愿者服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有   种不同的选法.(用数字作答)‎ ‎12.(5分)在ABC中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点D,E.若•=6,||=2,则AC=   .‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)‎ ‎13.(5分)展开式为ad﹣bc的行列式是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎14.(5分)设a,b∈R,若a>b,则(  )‎ A.< B.lga>lgb C.sin a>sin b D.2a>2b ‎15.(5分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(  )‎ - 9 -‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎16.(5分)直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,b∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是(  )‎ A.a2+b2≥1 B.|ab|≥1 C.|a+b|≥1 D.|a﹣b|≥2‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)‎ ‎17.(14分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1C与底面ABCD所成的角为60°,‎ ‎(1)求四棱锥A1﹣ABCD的体积;‎ ‎(2)求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小.‎ ‎18.(14分)已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及该函数取得最大值时x的值;‎ ‎(2)在△ABC 中,a,b,c分别是角 A,B,C所对的边,若a=,b=,且f()=,求边c的值.‎ ‎19.(14分)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2017 年起,在今后的若干年内,每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年,f (n)为第 1 年至此后第 n (n∈N*)年的累计利润(注:含第 n 年,累计利润=累计净收入﹣累计投入,单位:千万元),且当 f (n)为正值时,认为该项目赢利.‎ ‎(1)试求 f (n)的表达式;‎ ‎(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.‎ - 9 -‎ ‎20.(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+y2=1 (a>0,a≠1)的两个焦点分别是F1,F2,直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆交于A,B两点.‎ ‎(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,求a的值;‎ ‎(2)若k=1,且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,求a与m满足的关系;‎ ‎(3)若a=2,且kOA•kOB=﹣,求证:△OAB的面积为定值.‎ ‎21.(18分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成 立,则称函数f(x)在其定义域 D上是“k﹣利普希兹条件函数”.‎ ‎(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;‎ ‎(2)判断函数f(x)=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;‎ ‎(3)若y=f(x)(x∈R )是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1.‎ ‎ ‎ - 9 -‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)‎ ‎17.解:(1)∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,‎ ‎∴AA1⊥平面ABCD,AC==2,‎ ‎∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角,‎ ‎∵A1C与底面ABCD所成的角为60°,‎ ‎∴∠A1CA=60°,∴AA1=AC•tan60°=2•=2,‎ ‎∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4,‎ ‎∴四棱锥A1﹣ABCD的体积:‎ V===.‎ ‎(2)∵BD∥B1D1,‎ ‎∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角(或所成角的补角).‎ ‎∵BD=,A1D=A1B==2,‎ ‎∴cos∠A1BD===.‎ ‎∴∠A1BD=arccos.‎ ‎∴异面直线A1B与 B1D1所成角是arccos.‎ - 9 -‎ ‎ ‎ ‎18.解:f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)‎ ‎(1)当2x+=时,即x=(k∈Z),f(x)取得最大值为2;‎ ‎(2)由f()=,即2sin(A+)=‎ 可得sin(A+)=‎ ‎∵0<A<π ‎∴<A<‎ ‎∴A=或 ‎∴A=或 当A=时,cosA==‎ ‎∵a=,b=,‎ 解得:c=4‎ 当A=时,cosA==0‎ ‎∵a=,b=,‎ 解得:c=2.‎ ‎ ‎ ‎19.解:(1)由题意知,第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8+2(n﹣1)=2n+6(千万元),‎ - 9 -‎ 第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为+×+×+…+×‎ ‎=(千万元).‎ ‎∴f(n)=﹣(2n+6)=﹣2n﹣7(千万元).‎ ‎(2)方法一:∵f(n+1)﹣f(n)=[﹣2(n+1)﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4],‎ ‎∴当n≤3时,f(n+1)﹣f(n)<0,故当n≤4时,f(n)递减;‎ 当n≥4时,f(n+1)﹣f(n)>0,故当n≥4时,f(n)递增.‎ 又f(1)=﹣<0,f(7)=≈5×﹣21=﹣<0,f(8)=﹣23≈25﹣23=2>0.‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利.‎ 答:该项目将从2023年开始并持续赢利;‎ 方法二:设f(x)=﹣2x﹣7(x≥1),则f′(x)=,‎ 令f'(x)=0,得=≈=5,∴x≈4.‎ 从而当x∈[1,4)时,f'(x)<0,f(x)递减;‎ 当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增.‎ 又f(1)=﹣<0,f(7)=≈5×﹣21=﹣<0,f(8)=﹣23≈25﹣23=2>0.‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利.‎ 答:该项目将从2023年开始并持续赢利.‎ ‎ ‎ ‎20.解:(1)∵M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,‎ ‎∴△MF1F2为等腰直角三角形,‎ ‎∴OF1=OM,‎ 当a>1时,=1,解得a=,‎ - 9 -‎ 当0<a<1时,=a,解得a=,‎ ‎(2)当k=1时,y=x+m,设A(x1,y1),(x2,y2),‎ 由,即(1+a2)x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0,‎ ‎∴x1+x2=﹣,x1x2=,‎ ‎∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=,‎ ‎∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,‎ ‎∴•=0,‎ ‎∴x1x2+y1y2=0,‎ ‎∴+=0,‎ ‎∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0‎ ‎∴m2(a2+1)=2a2,‎ ‎(3)证明:当a=2时,x2+4y2=4,‎ 设A(x1,y1),(x2,y2),‎ ‎∵kOA•kOB=﹣,‎ ‎∴•=﹣,‎ ‎∴x1x2=﹣4y1y2,‎ 由,整理得,(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2‎ ‎=++m2=,‎ - 9 -‎ ‎∴=﹣4×,‎ ‎∴2m2﹣4k2=1,‎ ‎∴|AB|=•=•‎ ‎=2•=‎ ‎∵O到直线y=kx+m的距离d==,‎ ‎∴S△OAB=|AB|d==•==1‎ ‎ ‎ ‎21.解:(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立,‎ ‎ 不妨设x1>x2,则k≥=恒成立.‎ ‎∵1≤x2<x1≤4,∴<<,‎ ‎∴k的最小值为 .‎ ‎(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),‎ 令x1=,x2=,则f()﹣f()=log2﹣log2=﹣1﹣(﹣2)=1,‎ 而2|x1﹣x2|=,∴f(x1)﹣f(x2)>2|x1﹣x2|,‎ ‎∴函数f(x)=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”.‎ 证明:(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期[0,2]内f(a)=M,f(b)=m,‎ 则|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b)≤|a﹣b|.‎ 若|a﹣b|≤1,显然有|f(x1)﹣f(x2)|≤|a﹣b|≤1.‎ 若|a﹣b|>1,不妨设a>b,则0<b+2﹣a<1,‎ ‎∴|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b+2)≤|a﹣b﹣2|<1.‎ - 9 -‎ 综上,|f(x1)﹣f(x2)|≤1.‎ - 9 -‎
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