陕西省咸阳市武功县2020届高三下学期第三次质量检测数学（文）试题

陕西省咸阳市武功县2020届高三下学期第三次质量检测数学（文）试题

武功县2020届高三第三次质量检测 文科数学试题 注意事项：‎ ‎1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题卡上.第Ⅱ卷为非选题，用‎0.5mm黑色签字笔将答案答在答题纸上，考试结束后，只收答题纸.‎ ‎2.答第Ⅰ卷、第Ⅱ卷时，先将答题纸首有关项目填写清楚.‎ ‎3.全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 集合，， ‎ 则.‎ 故答案为C.‎ ‎2.已知复数满足,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】由，‎ 得．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3.已知，那么“”是“共线”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出共线时的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论.‎ ‎【详解】，当共线时得，‎ 所以“”是“共线”的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基础题.‎ ‎4.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A. 7天 B. 8天 C. 9天 D. 10天 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设所需天数为n天，第一天3为尺，先由等比数列前n项和公式求出，在利用前n项和，便可求出天数n的最小值．‎ ‎【详解】设该女子所需天数至少为n天，第一天织布尺，‎ 由题意得： ，‎ 解得 ，‎ ‎ ，‎ 解得，，‎ 所以要织布的总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前n项和，直接两次利用等比数列前n项和公式便可得到答案．‎ ‎5.设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.‎ ‎【详解】长方体的长、宽、高分别为，‎ 则其对角线长为，‎ 又长方体的顶点都在一个球面上，‎ 所求的球半径，‎ 所以表面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，属于基础题.‎ ‎6.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（ ）‎ A. 70 B. ‎75 ‎C. 66 D. 68‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解.‎ ‎【详解】依题意该班历史平均数估计为 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎7.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，结合条件可得所求结果．‎ ‎【详解】由题意得，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“‎1”‎的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．‎ ‎8.圆上的点到直线的距离最大值是（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得圆心到直线的距离为，再结合圆的性质，即可得到最大距离为，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，圆，可得圆心坐标，半径为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以圆上的点到直线的距离最大值是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎9.在区间上随机取一个，则的值介于与之间的概率为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解正弦不等式在区间上的解集，结合几何概型的概率计算公式即可容易求得.‎ ‎【详解】因为， ‎ 所以满足题意的概率 .‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型长度型问题的概率计算，涉及正弦不等式的求解，属综合基础题.‎ ‎10.设是直线，，是两个不同的平面( )‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】由是直线，，是两个不同的平面，可知：‎ A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，错误；‎ B选项中，若，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知，正确；‎ C选项中，若，，由面面垂直、线面垂直的性质可知或，错误；‎ D选项中，若，，则，可能平行也可能相交，错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题.‎ ‎11.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，‎ 故选B.‎ 考点：函数的图象.‎ ‎12.已为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 可得，转化为求的最小值，数形结合即可求解.‎ ‎【详解】抛物线准线方程为，‎ 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，‎ 由抛物线的定义可得，‎ ‎，‎ 当且仅当三点共线时等号成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：‎ 目标函数，可整理为，与直线平行.‎ 数形结合可知，当且仅当目标函数过点时取得最大值.‎ 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，涉及数形结合，属基础题.‎ ‎14.在等差数列中，，则该数列前20项的和为_____.‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件结合等差数列的性质可得，求出，即可求解.‎ ‎【详解】在等差数列中，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：300.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和，利用等差数列的性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15.计算_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分数指数幂和对数的运算法则即可求解.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂和对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题.‎ ‎16.已知函数的导函数为，且满足，则______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值，确定出函数的解析式，把代入解析式，即可求出的值 ‎【详解】解：求导得：，令，得，解得：‎ ‎∴，，故答案为-2．‎ ‎【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎（一）必考题（共60分）‎ ‎17.已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值及的最小正周期；‎ ‎（2）在坐标系上作出在上图像，要求标出关键点的坐标.‎ ‎【答案】（1），；（2）图像和关键点坐标见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据两角和公式对函数进行化简整理得═‎ ‎，再根据最大值确定值，结合正弦函数的性质求得函数的最小正周期；‎ ‎（2）依据图表，分别求得0，，，，，时的函数值，进而描点画出图象．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∵的最大值为，即，‎ ‎∴，最小正周期 ‎（2）因为，‎ 故可得其图像上关键点的坐标分别为：‎ ‎，，，，，‎ 其图像如下所示：‎ ‎.‎ ‎【点睛】作函数图象的方法 ‎（1）作三角函数图象的基本方法就是把看作一个整体，利用五点法画图，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图像；‎ ‎（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用来确定平移单位．‎ ‎18.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查，若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.‎ ‎（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；‎ ‎（2）求抽取的6所学校中的2所学校均为小学的概率.‎ ‎【答案】（1）抽取的小学有3所，中学有2所，大学有1所.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样每个个体抽取的概率相等，即可求出各层的抽取的个数；‎ ‎（2）将抽取的6所学校按所在组进行编号，列出从6所学校任取2所学校的所有情况，确定出2所学校均为小学的抽取个数，按照古典概型概率公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）因为共有学校（所）‎ 所以抽取学校的比例是 所以抽取的小学有3所，中学有2所，大学有1所.‎ ‎（2）设抽取的小学为，中学为，‎ 大学为，则基本事件有：，，‎ ‎，共15种.‎ 其中是2所小学的事件有：，共3种.‎ 所以抽取6所学校中的2所学校均为小学的概率.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，古典概型的概率的计算方法，属于基础题.‎ ‎19.已知椭圆的两焦点为、，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点在椭圆上，且，求的值 ‎【答案】（1）+；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点坐标以及离心率，即可求得方程，求解方程，即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）根据椭圆定义，结合已知条件，利用余弦定理解三角形即可.‎ ‎【详解】（1）设椭圆方程为 ‎ 由题设知,‎ ‎∴, ‎ ‎∴所求椭圆方程为+.‎ ‎（2）由椭圆定义知，又 ‎∴，，又 由余弦定理.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.如图，四边形是边长为2的正方形，为等腰三角形，，平面平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知可证平面，得到，再由长度关系，得到，进而有平面，即可证明结论；‎ ‎（2）取中点，连接，根据已知可证平面，利用，即可求解 ‎【详解】（1）四边形是正方形，.‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，平面，而平面.‎ ‎∴.又，‎ 而，平面，‎ 平面，而平面，‎ 平面平面.‎ ‎（2）如图，取中点，连接.‎ 是等腰三角形，.‎ 又平面平面，‎ 平面平面，平面 平面，即是三棱锥的高.‎ 又 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直、求椎体的体积，空间垂直关系的相互转化是解题的关键，属于中档题.‎ ‎21.设实数，函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）求在上的极大值与极小值.‎ ‎【答案】（1）单调区间有；（2）当时，的极大值是，极小值是；当时，无极值；当时，的极大值是，极小值是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，求出，求解，即可得出结论；‎ ‎（2）求出，进而得到的根，按照根的大小对分类讨论，求出单调区间，即可求解.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，，所以在上单调递减.‎ 所以的单调区间有；‎ ‎（2）‎ 或，‎ 当时，‎ 所以在上单调递增，所以在上无极值.‎ 当时，随的变化变化如下：‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 所以的极大值是，‎ 极小值是；‎ 当时，随的变化变化如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 所以的极小值是，‎ 极大值是.‎ 综上，当时，的极大值是，‎ 极小值是；‎ 当时，无极值；‎ 当时，的极大值是，‎ 极小值是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）‎ ‎22.在极坐标系中,过曲线外的一点(其中，为锐角)作平行于的直线与曲线分别交于．‎ ‎(Ⅰ) 写出曲线和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为 轴的正半轴建系)；‎ ‎（Ⅱ）若成等比数列,求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 曲线L和直线的普通方程分别为，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程.‎ ‎（Ⅱ）写出直线的参数方程,代入曲线L 的普通方程得 ,利用韦达定理以及题设条件化简得到的值．‎ ‎【详解】(Ⅰ)由两边同乘以得到 ‎ 所以曲线L的普通方程为 由，为锐角，得 ‎ 所以 的直角坐标为，即 ‎ 因为直线平行于直线，所以直线的斜率为1‎ 即直线的方程为 所以曲线L和直线的普通方程分别为， ‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程为 (为参数),代入得到 ‎ ,则有 ‎ 因为 ,所以 ‎ 即 解得 ‎【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题．‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）若函数的定义域为，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）令，在同一坐标系中作出函数和的图象，结合图象可得，求得不等式的解集，即可求解；‎ ‎（2）由题意转化为，由（1）求得，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，令，‎ 在同一坐标系中作出函数和的图象，如图所示，‎ 结合图象可得，不等式的解集为，‎ 函数的定义域为.‎ ‎（2）由题设知，当时，恒有，即，‎ 又由（1）知，∴，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理转化，正确作出函数图象，结合函数点的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎