人教新课标A版高一数学2-5-1等比数列前n项和公式的推导与应用

人教新课标A版高一数学2-5-1等比数列前n项和公式的推导与应用

2.5 等比数列的前 n 项和 2.5.1 等比数列前 n 项和公式的推导与应用 从容说课 师生将共同分析探究等比数列的前 n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为 最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的 目的. 等比数列前 n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据 等比数列的定义可得 qa a a a a a a a n n n n     1 2 2 3 2 1 1 ... , 再由分式性质，得 qaS aS nn n   1 ,整理得 )1(1 1   qq qaaS n n . 教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间. 教学重点 1.等比数列前 n 项和公式的推导; 2.等比数列前 n 项和公式的应用. 教学难点 等比数列前 n 项和公式的推导. 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题； 2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式； 3.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式，利用公式知三求一； 4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 二、过程与方法 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动. 三、情感态度与价值观 1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真 的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力； 2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法； 3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣. 教学过程 导入新课 师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，踊跃发言. 师 “请在第一个格子里放上 1 颗麦粒，第二个格子里放上 2 颗麦粒，第三个格子里放上 4 颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个格 子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求. 师 假定千粒麦子的质量为 40 g，按目前世界小麦年度产量约 60 亿吨计.你认为国王能不能 满足他的要求？ 生 各持己见.动笔，列式，计算. 生 能列出式子：麦粒的总数为 1+2+22+…+263=? 师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示： 1+2+22+…+2 63=? 师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项 是 1，公比是 2，求第 1 个格子到第 64 个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前 64 项的和. 现在我们来思考一下这个式子的计算方法： 记 S=1+2+22+23+…+2 63，式中有 64 项，后项与前项的比为公比 2，当每一项都乘以 2 后， 中间有 62 项是对应相等的，作差可以相互抵消. 课件展示： S=1+2+22+23+…+2 63,① 2S=2+22+23+…+263+264,② ②-①得 2S-S=2 64-1. 264-1 这个数很大，超过了 1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为 40 g，那么麦粒的总质量超过 了 7 000 亿吨.而目前世界年度小麦产量约 60 亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. 师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是 他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所 要探究的知识. 推进新课 ［合作探究］ 师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+qn=？ 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察. 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究. 师 若将上式左边的每一项乘以公比 q，就出现了什么样的结果呢？ 生 q+q2+…+qn+q n+1. 生 每一项就成了它后面相邻的一项. 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？ 师 生共同探索： 如果记 Sn=1+q+q2+…+qn, 那么 qSn=q+q2+…+qn+q n+1. 要想得到 Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn. 师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意 q 的取值. 生 如果 q≠1，则有 q qS n   1 1 . 师 当然，我们还要考虑一下如果 q＝1 问题是什么样的结果. 生 如果 q＝1，那么 Sn=n. 师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？ 课件展示： a1+a2+a3+…+an=？ ［教师精讲］ 师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就 是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”. 师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”. 如果记 Sn=a1+a2+a3+…+an, 那么 qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq, 要想得到 Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq. 师 再次提醒学生注意 q 的取值. 如果 q≠1，则有 q qaaS n n   1 1 . 师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程： 如果记 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1, 那么 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn, 要想得到 Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn. 如果 q≠1，则有 q qaS n n   1 )1(1 . 师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”. 形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn 四个；后者出现的 是 a1,q,Sn,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果 q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列 的公比 q≠1 时，我们才能用上述公式. 师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果 q＝1 问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流. 生 如果 q＝1，Sn=na1. 师 完全正确. 如果 q＝1，那么 Sn=nan.正确吗？怎么解释？ 生 正确.q＝1 时，等比数列的各项相等，它的前 n 项的和等于它的任一项的 n 倍. 师 对了，这就是认清了问题的本质. 师 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下： ［合作探究］ 思路一：根据等比数列的定义，我们有： qa a a a a a a a n n  13 4 2 3 1 2 ... , 再由合比定理，则得 qaaaa aaaa n n   1321 432 ... ... , 即 qaS aS nn n   1 , 从而就有(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略) 思路二：由 Sn=a1+a2+a3+…+an 得 Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an), 从而得(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略) 师 探究中我们们应该发现，Sn-S n-1 =an 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视. 在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？ 生 n＞1. 师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n＞1. 师 综合上面的探究过程，我们得出：        1,1 )1( ,1, 1 1 qq qa qna S n n 或者 1,1 ,1, 1 1        q q qaa qna n ［例题剖析］ 【例题 1】 求下列等比数列的前 8 项的和： (1) 2 1 , 4 1 , 8 1 ,…； (2)a1=27,a9= 243 1 ,q＜0. ［合作探究］ 师生共同分析： 由(1)所给条件，可得 2 1 1 a ， 2 1q ,求 n＝8 时的和，直接用公式即可. 由(2)所给条件，需要从 243 1 9 a 中获取求和的条件，才能进一步求 n＝8 时的和.而 a9=a1q8，所以由条件可得 q8= 1 9 a a = 27243 1  ，再由 q＜0，可得 3 1q ，将所得的值代 入公式就可以了. 生 写出解答： (1)因为 2 1 1 a , 2 1q ，所以当 n＝8 时， 256 255 2 11 )2 1(1[2 1 8 8    S . (2)由 a1=27, 243 1 9 a ，可得 27243 1 1 98  a aq ， 又由 q＜0，可得 3 1q , 于是当 n＝8 时， 81 1640 )3 1(1 )27243 11(27 1 8    S . 【例题 2】 某商场今年销售计算机 5 000 台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到 30 000 台(结果保留到个位)？ 师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知 Sn=30 000 求 n 的问题. 生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算. 解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组 成一个等比数列{an}，其中 a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000. 于是得到 300001.11 )1.11(5000   n , 整理得 1.1n=1.6, 两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6, 用计算器算得 1.1lg 6.1lgn ≈ 041.0 2.0 ≈5(年). 答：大约 5 年可以使总销售量达到 30 000 台. 练习： 教材第 66 页，练习第 1、2、3 题. 课堂小结 本节学习了如下内容： 1.等比数列前 n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”. 2.等比数列前 n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的 4 个量，一般需要知 道其中的 3 个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中 应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式. 在使用等比数列求和公式时，注意 q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考. 布置作业 课本第 69 页习题 2.5 A 组第 1、2、3 题. 板书设计 等比数列前 n 项和公式的推导与应用 等比数列的前 n 项和公式 情境问题的推导 一般情形的推导 例 1 练习：(学生板演) 例 2 练习：(学生板演)