2020届高三数学4月月考试题 理

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2020届高三数学4月月考试题 理

安徽省蚌埠市第二中学2019届高三数学4月月考试题 理 ‎(试卷分值:150分 考试时间:120分钟)‎ 注意事项:‎ 第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置、第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡的相应位置上,否则不予计分.‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合题目要求的.)‎ ‎1.若复数满足(为虚数单位),则复数的模=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知全集,设函数的定义域为集合,函数的值域为集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.命题“”的否定是( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎4.在展开式中,二项式系数的最大值为,含项的系数为,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知平面直角坐标系内的两个向量,,且平面内的任一向量都可以唯一地表示成(,为实数),则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ - 12 -‎ ‎6.世界最大单口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用,它被誉为“中国天眼”,从选址到启用历经22年,FAST选址从开始一万多个地方逐一审查.为了加快 选址工作进度,将初选地方分配给工作人员.若分配给某个研究员8个地方,其中有三个地方是贵州省的,问:某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究,则这个月他能到贵州省的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数,若,的图象恒在直线的上方,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图程序框图是为了求出的常用对数值,那么在空白判断框中,应该填 入( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面 积为( )‎ A. B.4 C. 3 D.‎ ‎10.在长方体中,,点在线段 - 12 -‎ 上运动,当异面直线与所成的角最大时,则三棱锥的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知点是抛物线上的一点,若以其焦点为圆心,以为半径的圆交抛物线的准线于、两点,若且满足,当的面积为时,则实数的值为( )‎ A. B. C. D.4 ‎ ‎12.已知函数的图象在点处的切线为,若直线也为函数的图象的切线,则必须满足 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13.已知,那么的取值范围是  .‎ ‎14.若实数满足不等式组,则的最大值为  .‎ ‎15.已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点M作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,且斜率分别为,若点A,B关于原点对称,则的值为 . ‎ ‎16.在中,角的对边分别为,设的面积为,若,则 的最大值为___________. ‎ 三、解答题(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22、23题为选作题,考生根据要求作答.)‎ ‎(一)必考题:(每小题12分,共60分.)‎ - 12 -‎ ‎ 17.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.‎ ‎(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;‎ ‎ (2)证明: .‎ ‎18. 四棱台被过点的平面截去一部分后得到如图所示的几何体,其下底面四边形是边长为2的菱形,,平面,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若与底面所成角的正切值为2,求二面角 的余弦值.‎ ‎19. 某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中 至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下: ‎ 售出水量(单位:箱)‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收入(单位:元)‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ 学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名, 获一等奖学金500元;综合考核21-50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.‎ ‎(1)若与成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?‎ ‎(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为,不获得奖学金的概率均为,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两 - 12 -‎ 名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望.‎ ‎ 附:回归方程,其中.‎ ‎20.已知椭圆: 的左顶点为,上顶点为,直线与直线垂直,垂足为点,且点是线段的中点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)如图,若直线:与椭圆交于, 两点,点 在椭圆上,且四边形 为平行四边形,求证:四边形的面积为定值.‎ ‎21.已知函数(是常数),‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)当时,函数有零点,求的取值范围.‎ ‎(二)选做题(共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.)‎ ‎22.【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的普通方程和直线的倾斜角;‎ ‎(2)设点和交于两点,求.‎ ‎23. 【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知函数的最大值为4.‎ ‎(1)求实数的值;‎ - 12 -‎ ‎(2)若求的最小值.‎ - 12 -‎ ‎4月月考答案 一、选择题:‎ ACDBB DCAAB CD ‎ 二、填空题:‎ ‎13、0<a<或a>1 14、11 15、 16、‎ 三、解答题:‎ ‎17. (1)由an+1=3an+1得,所以,‎ 所以{}是等比数列,首项为,公比为3,‎ 所以,‎ 因此{an}的通项公式为 (n∈N*).‎ ‎(2)由(1)知:,所以,‎ 因为当n≥1时,3n-1≥2·3n-1,所以 于是 所以.‎ ‎18. (Ⅰ)∵平面,∴.‎ 在菱形中,,又,∴平面,‎ ‎∵平面,∴平面平面.‎ ‎(Ⅱ)∵平面 ‎∴与底面所成角为,∴,∴‎ 设,交于点,以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.‎ - 12 -‎ 则,,,.‎ ‎,‎ 同理,,,.‎ 设平面的法向量,‎ ‎∴则,‎ 设平面的法向量,‎ 则,‎ 设二面角为,.‎ ‎19.解:(1),经计算,所以线性回归方程为,‎ ‎ 当时,的估计值为206元;‎ ‎ (2)的可能取值为0,300,500,600,800,1000;‎ ‎ ;;‎ ‎ ;‎ ‎ ;;;‎ ‎0‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎800‎ ‎1000‎ 所以的数学期望.‎ ‎20、(1)由题意知,椭圆的左顶点,上顶点,直线的斜率,‎ 得,‎ - 12 -‎ 因为点是线段的中点,∴点的坐标是,‎ 由点在直线上,∴,且,‎ 解得, ,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设, , ,将代入消去并整理得 ,则, , ,‎ ‎∵四边形为平行四边形,∴ ,‎ 得,将点坐标代入椭圆方程得,‎ 点到直线的距离为, ,‎ ‎∴平行四边形的面积为 ‎ ‎ ‎ .‎ 故平行四边形的面积为定值.‎ ‎21,(1)根据题意可得,当a=0时,,函数在上是单调递增的,在上是单调递减的. 当a≠0时,,因为>0,‎ 令,解得x=0或.‎ - 12 -‎ ‎①当a>0时,函数在,上有,即,函数单调递减;函数在上有,即,函数单调递增;‎ ‎②当a<0时,函数在,上有,即,函数单调递增;函数在上有,即,函数单调递减; ‎ 综上所述,当a=0时,函数的单调递增区间,递减区间为;‎ 当a>0时,函数的单调递减区间为,,递增区间为;‎ 当a<0时,函数的单调递增区间为,,递减区间为(2)①当a=0时,可得,,故a=0可以; ‎ ‎②当a>0时,函数的单调递减区间为,递增区间为,‎ ‎(I)若 , 解得;‎ 可知:时,是增函数,时,是减函数,‎ 由,∴在上;‎ 解得,所以;‎ - 12 -‎ ‎ ‎ ‎(II)若 ,解得;‎ 函数在上递增,‎ 由,则,解得 由,即此时无解,所以;‎ ‎③当a<0时,函数在上递增,类似上面时,此时无解.‎ 综上所述,‎ ‎22、(1)由消去参数,得 即的普通方程为 由,得①‎ 将代入①得 所以直线的斜率角为.‎ ‎(2)由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数)‎ 即(为参数),代入并化简得 - 12 -‎ 设两点对应的参数分别为.‎ 则,所以 所以.‎ ‎23、(1)由,‎ 当且仅当且当时取等号,此时取最大值,即;‎ ‎(2)由(1)及可知,∴,‎ 则,(当且仅当,即时,取“=”)‎ ‎∴的最小值为4.‎ - 12 -‎
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