数学理卷·2018届陕西省榆林市高考模拟第一次测试(2018

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数学理卷·2018届陕西省榆林市高考模拟第一次测试(2018

榆林市2018届高考模拟第一次测试 数学(理科)试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,集合,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若向量,满足,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设是等差数列的前项和,已知,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.按下面的流程图进行计算.若输出的,则输出的正实数值的个数最多为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设分别是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段的中点在轴上,若,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知曲线,则下列说法正确的是( )‎ A.把上各点横坐标伸长到原来的倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线 B.把上各点横坐标伸长到原来的倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线 C. 把向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线 D.把向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线 ‎7.《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍 ‎,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何. 刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网络纸中粗线部分为其三视图,设网络纸上每个小正方形的边长为丈),那么该刍甍的体积为( )‎ A.立方丈 B.立方丈 C. 立方丈 D.立方丈 ‎8.曲线上一动点处的切线斜率的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上,若,则球的直径为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设满足约束条件,若目标函数的取值范围恰好是函数的一个单调递增区间,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知是双曲线的左右两个焦点,过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,若点在以线段为直径的圆外,则该双曲线离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.对于函数和,设,若存在,使得,则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.若角的终边经过点,则的值是 .‎ ‎14.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了”.丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 .‎ ‎15.设是不同的直线,是不同的平面,则下列命题正确的是 .‎ ①若,则或.‎ ②若,则或.‎ ③若,则或与相交.‎ ④若,则或.‎ ‎16.在平面直角坐标系中,已知点是函数的图象上的动点,该图象在处的切线交轴于点,过点作的垂线交轴于点,设线段的中点的纵坐标为,则的最大值是 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 在中,角所对的边分别为,已知.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,求的面积的最大值.‎ ‎18. 数列满足.‎ ‎(1)证明:数列是等差数列;‎ ‎(2)若,求.‎ ‎19. 在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,平面 ‎,且是的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值的大小.‎ ‎20. 已知抛物线的准线与轴交于点,过点做圆的两条切线,切点为.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若直线是讲过定点的一条直线,且与抛物线交于两点,过定点作的垂线与抛物线交于两点,求四边形面积的最小值.‎ ‎21. 已知函数,记.‎ ‎(1)求证:在区间内有且仅有一个实数;‎ ‎(2)用表示中的最小值,设函数,若方程在区间内有两个不相等的实根,记在内的实根为.求证:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且过点,曲线的参考方程为(为参数).‎ ‎(1)求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值;‎ ‎(2)过点与直线平行的直线与曲线交于两点,求的值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 设,且.求证:‎ ‎(1);‎ ‎(2)与不可能同时成立.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DCCBD 6-10:BBCAC 11、12:DD 二、填空题 ‎13. 14.丙 15.② 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由及正弦定理可得,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ 又因为,所以.故.‎ ‎(2)由余弦定理及(1)得,,‎ 由基本不等式得:,当且仅当时等号成立,‎ 所以,‎ 所以.‎ 所以的面积的最大值为.‎ ‎18.解:(1)由已知可得,即,‎ 所以是以为首项,为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)得,所以,‎ ‎,‎ ‎19.解:(1)解法一:取的中点,连接.‎ 在中,是的中点,是的中点,‎ 所以,又因为,‎ 所以且.‎ 所以四边形为平行四边形,所以,‎ 又因为平面平面,故平面.‎ 解法二:因为平面,‎ 故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由已知可得,‎ 设平面的一个法向量是.‎ 由得 令,则.‎ 又因为,所以,又平面,‎ 故平面.‎ ‎(2)由(1)可知平面的一个法向量是.‎ 易得平面的一个法向量是 所以,又二面角为锐角,‎ 故二面角的余弦值大小为.‎ ‎20.解:(1)由已知得 设与轴交于点,由圆的对称性可知,.‎ 于是,所以,‎ 所以,所以.故抛物线的方程为.‎ ‎(2)设直线的方程为,设,‎ 联立得,则.‎ 设,同理得,‎ 则四边形的面积 令,则 是关于的增函数,‎ 故,当且仅当时取得最小值.‎ ‎21.证明:(1),定义域为,,当 时,在上单调递增,又,而在上连续,根据零点存在定理可得:在区间有且仅有一个实根.‎ ‎(2)当时,,而,故此时有,由(1)知,在上单调递增,有为在内的实根,所以,故当时,,即;‎ 当时,,即.因而,‎ 当时,,因而在上递增;‎ 当时,,因而在上递减;‎ 若方程在有两不等实根,则满足 要证:,即证:,即证:,‎ 而在上递减,即证:,又因为,即证:,即证:‎ 记,由得:.‎ ‎,,则,当时,;当时,.‎ 故,所以当时,,‎ ‎,‎ 因此,‎ 即在递增.从而当时,,即,‎ 故得证.‎ ‎22.解:(1)由直线过点可得,故,‎ 则易得直线的直角坐标方程为.‎ 根据点到直线的距离方程可得曲线上的点到直线的距离,‎ ‎.‎ ‎(2)由(1)知直线的倾斜角为,‎ 则直线的参数方程为(为参数).‎ 又易知曲线的普通方程为.‎ 把直线的参数方程代入曲线的普通方程可得,‎ ‎,依据参数的几何意义可知.‎ ‎23.解:(1)由,得,‎ 由基本不等式及,有,即.‎ ‎(2)假设与同时成立,‎ 则且,则,‎ 即:,由(1)知因此①‎ 而,因此②,因此①②矛盾,‎ 因此假设不成立,原结论成立.‎
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