数学文卷·2019届湖南师大附中高二上学期期中考试(2017-11)

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文档介绍

数学文卷·2019届湖南师大附中高二上学期期中考试(2017-11)

湖南师大附中2017-2018学年度高二第一学期期中考试 数学(文科)‎ 时量:120分钟   满分:150分 得分:______________‎ 第Ⅰ卷(共100分)‎ 一、选择题(本大题共9个小题,每小题5分,共45分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设集合A=,B=,则A∪B=‎ A.(-4,3) B.(4,2] C.(-∞,2] D.(-∞,3)‎ ‎2.对于任意实数a,b,c,d,下列命题:‎ ‎①如果a>b,c≠0,那么ac>bc; ②如果a>b,那么ac2>bc2;‎ ‎③如果ac2>bc2,那么a>b; ④如果a>b,那么<.‎ 其中真命题为 A.① B.② C.③ D.④‎ ‎3.已知等差数列中,a1+a4+a7=π,那么cos(a3+a5)=‎ A. B.- C. D.- ‎4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,则f=‎ A.1 B. C.-1 D.- ‎5.若x,y满足约束条件,则的最大值为 A. B.1‎ C.2 D.3‎ ‎6.设a=()1.4,b=3,c=ln,则a,b,c的大小关系是 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c ‎7.执行如图所示的流程图,则输出的S的值为 A.(425-1)‎ B.(426-1)‎ C.250-1‎ D.251-1‎ ‎8.已知函数f(x)=,则f+f的值是 A.- B.- C.2 D. ‎9.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 A. 1-π B. π C. 1-π D. π 第Ⅰ卷 选择题答题卡 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 得 分 答 案 二、填空题(本大题共2个小题,每小题5分,共10分,请把答案的最简形式填写在题中的横线上)‎ ‎10.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是________(cm3).‎ ‎11.设sin=,则sin 2θ等于________.‎ 三、解答题(本大题共4小题,共45分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎12.(本小题满分10分)‎ 已知函数f(x)=x2+(a-3)x+4,其中a为实数. 命题p:f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,命题q:x0∈R,f(x0)≤0.‎ ‎(Ⅰ)判断“a<2”是“綈p为真命题”的什么条件,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若“p∧(綈q)”为真命题,求a的取值范围.‎ ‎13. (本小题满分11分)‎ 为推行“新课堂”教学法,某老师在甲、乙两个班分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式进行教学实验.为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图(如下图所示),记成绩不低于70分者为“成绩优良”. ‎ ‎(Ⅰ)分别计算甲、乙两班20个样本中,分数前十的平均分,并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳; ‎ ‎(Ⅱ)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下的学生中任意选取2人,求这2人来自不同班级的概率.‎ ‎14.(本小题满分12分)‎ 如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD 沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=3.‎ ‎(Ⅰ)求证:OD⊥面ABC;‎ ‎(Ⅱ)求点M到平面ABD的距离.‎ ‎15.(本小题满分12分)‎ 等差数列的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b2+a2=13.‎ ‎(Ⅰ)求an与bn; ‎ ‎(Ⅱ)若不等式++…+<对n∈N成立,求最小正整数m的值.‎ 第Ⅱ卷(共50分)‎ 一、选择题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设命题p:x∈R,x2-4x+2m≥0(其中m为常数),则“m≥1”是“命题p为真命题”的什么条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分且必要 D.既不充分也不必要 ‎2.函数y=f(x)是R上的增函数,函数y=f(x-2 017)的图象关于点(2 017,0)对称,若实数x,y满足不等式f(x2-6x)+f(y2-8y+24)<0,则x2+y2的取值范围是 A.(0,4) B.(4,6)‎ C.(16,36) D.(0,36)‎ ‎3.定义域为[a,b]的函数y=f(x)的图象的两个端点为A、B,M(x,y)是f(x)的图象上任意一点,其中x=λa+(1-λ)b,(λ∈[0,1]),向量=λ+(1-λ),若不等式≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若函数y=x-在[1,2] 上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为 A. B. C.[0,+∞) D.[1,+∞) ‎ 第Ⅱ卷 选择题答题卡 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 得 分 答 案 二、填空题(本大题共2个小题,每小题5分,共10分,请把答案的最简形式填写在题中的横线上)‎ ‎4.已知平面向量a,b,若=,=2,a与b的夹角θ=,且(a-mb)⊥a,则m=________.‎ ‎5.已知函数f=,若0<2ab,c≠0,那么ac>bc不成立;②如果a>b,那么ac2>bc2不成立;③如果ac2>bc2,那么a>b成立;④如果a>b,那么<不成立.故选C.‎ ‎3.B 【解析】∵等差数列中,a1+a4+a7=π,‎ ‎∴a1+a4+a7=3a4=π,‎ ‎∴a4=π,‎ ‎∴a3+a5=2a4=π,‎ ‎∴cos(a3+a5)=cosπ=-cos=-,故选B.‎ ‎4.A 【解析】由图知,A=2,且T=-=,‎ 则周期T=π,所以ω=2. 因为f=2,‎ 则sin=1,从而φ=.‎ 所以f(x)=2sin,故f=2sin=1,选A.‎ ‎5.D 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.故答案选D.‎ ‎6.D 【解析】c=ln<1,b=3>()>()1.4=a>1,从而b>a>c.选D.‎ ‎7.A 【解析】第1次循环:k=1,S=0,S=2,k=3,k≥50? 否;‎ 第2次循环:k=3,S=2,S=2+23,k=5,k≥50?否;‎ 第3次循环:k=5,S=2+23,S=2+23+25,k=7,k≥50?否;…‎ 第25次循环:k=49,S=2+23+…+249,k=51,,k≥50?是,‎ 故输出的S=2+23+…+249==(425-1) ,故选择A.‎ ‎8.B 【解析】∵f=log2=log2=log22-2=-2,‎ ‎∵=3x,‎ ‎∴f=3log3=,∴f+f=-,故答案为B.‎ ‎9.B 【解析】以A、B、C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC相交出三个扇形(如图所示),当P落在阴影部分时符合要求.∴P==.故选B.‎ 二、填空题 ‎10. 【解析】由三视图可知,该几何体为底面是边长为20 cm的正方形、高为20 cm的四棱锥,故所求的体积为V=×20×20×20=(cm3).‎ ‎11.- 【解析】由sin=得(sin θ+cos θ)=,两边平方得(1+sin 2θ)=,所以sin 2θ=-.‎ 三、解答题 ‎12.【解析】(Ⅰ)若綈p为真命题,则p为假命题,即f(x)在区间[1,+∞)上不是增函数,‎ 所以->1,即a<1. 所以綈p为真命题a<1.(3分)‎ 因为a<1a<2,所以“a<2”是“綈p为真命题”的必要不充分条件.(5分)‎ ‎(Ⅱ)若p为真命题,则-≤1,即a≥1.(6分)‎ 若綈q为真命题,则x∈R,x2+(a-3)x+4>0恒成立.‎ 所以Δ=(a-3)2-16<0,即-1<a<7.(8分)‎ 因为“p∧(綈q)”为真命题,则p和綈q都为真命题,所以,即1≤a<7.‎ 故a的取值范围是[1,7).(10分)‎ ‎13.【解析】(Ⅰ)甲班样本中成绩前十的平均分为 甲=(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9.(2分)‎ 乙班样本中成绩前十的平均分为 乙= (78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4.(2分)‎ 甲班样本成绩前十的平均分远低于乙班样本成绩前十的平均分,大致可以判断“新课堂”教学方式的教学效果更佳.(5分)‎ ‎(Ⅱ)样本中成绩60分以下的学生中甲班有4人,记为:a,b,c,d,乙班有2人,记为:1,2. (6分)‎ 则从a,b,c,d,1,2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下:ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12,一共有15个基本事件,(8分)‎ 设A表示“这2人来自不同班级”有如下:a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,一共有 ‎8个基本事件,(10分)‎ 所以 P(A)=.(11分) ‎ ‎14.【解析】(Ⅰ)由题意,OM=OD=3,‎ ‎∵DM=3,∴∠DOM=90°,OD⊥OM.(3分)‎ 又∵菱形ABCD,∴OD⊥AC.‎ ‎∵OM∩AC=O,∴OD⊥平面ABC.(6分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知OD=3为三棱锥D-ABM的高.‎ ‎△ABM的面积为S△ABM=BA×BM×sin 120°=×6×3×=,(8分)‎ 又 AB=AD=6,BD=3,所以S△ABD=×3×=.(10分) ‎ ‎∵VM-ABD=VD-MAB,S△ABD·d=S△AMB·OD,‎ ‎∴d==.(12分)‎ ‎15.【解析】(Ⅰ)设的公差为d,的公比为q,则d为正数,an=a1+(n-1)d,bn=qn-1.‎ ‎∵b2S2=64,b2+a2=13.‎ ‎∴,d2-4d+4=0,(2分)‎ 解得,(4分)‎ 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.(6分)‎ ‎(Ⅱ)∵Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),‎ ‎∴++…+=+++…+ ‎= ‎= ‎=-,(9分)‎ 而-<≤.(10分)‎ 解得m≥2 013.(11分)‎ ‎∴所求m的最小正整数是2 013.(12分)‎ 第Ⅱ卷(共50分)‎ 一、选择题 ‎1.B 【解析】若命题p为真,则对任意x∈R,x2-4x+2m≥0恒成立,所以Δ=16-8m≤0,即m≥2.‎ 因为m≥2m≥1,则“m≥1”是“命题p为真”的必要不充分条件,选B.‎ ‎2.C 【解析】因为函数y=f(x-2 017)的图象关于点(2 017,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即y=f(x)是R上的增函数且是奇函数.所以f(x2-6x)+f(y2-8y+24)<0等价于f(x2-6x)b>0).(1分)‎ 因为e=,所以=.据题意,点在椭圆上,则+=1,‎ 于是+=1b=1.(3分)‎ 因为a=c,a2-c2=b2=1,则c=1,a=.(4分)‎ 故椭圆的方程为+y2=1.(5分)‎ ‎(Ⅱ)由椭圆方程知,点F1(-1,0),F2(1,0).‎ 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,代入椭圆方程得y2=.‎ 不妨设点P、Q,则·=·=≠2.‎ 所以直线l的斜率存在.(7分)‎ 设直线l的方程为y=k(x+1),点P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 由,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.(8分)‎ 所以x1+x2=-,x1x2=.‎ 于是y1y2=k(x1+1)·k(x2+1)=k2[x1x2+(x1+x2)+1].‎ ‎=k2=-.(9分)‎ 又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),‎ ·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2‎ ‎=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=++1-=.(10分)‎ 由=2,得k2=1,所以k=±1.此时直线l与椭圆相交.(11分)‎ 故直线l的倾斜角是45°或135°.(12分)‎ ‎7.【解析】(Ⅰ)因为h(x)=f2(x)+g(x)-(x+5)=x2+(a-1)x+1,‎ 令h(x)=0,(1分)‎ 则x2+(a-1)x+1=0,∵x≠0,则1-a=x+.(2分)‎ 作函数y=1-a与y=x+(0-1时,两图象无公共点,‎ 则h(x)在区间[0,2]内无零点;‎ ‎② 当1-a=2时或1-a>时,即a<-或a=-1时,两图象仅有一个公共点,则h(x)在区间[0,2]内仅有一个零点;‎ ‎③ 当2<1-a≤时,即-≤a<-1时,两图象有两个公共点,‎ 则h(x)在区间[0,2]内有两个零点.(6分)‎ ‎(Ⅱ)当x∈[0,4]时,x2∈[0,16],则x2+9∈[9,25],所以f(x)的值域是[3,5];(7分)‎ 当x0∈[-2,2]时,设函数g(x0)的值域是M,依题意,[3,5] M,‎ ‎① 当a=0时,g(x0)=-3不合题意;(9分)‎ ‎② 当a>0时,M=[g(-2),g(2)]=[-2a-3,2a-3],‎ 由 ,得,解得a≥4;(11分)‎ ‎③ 当a<0时,M=[g(2),g(-2)]=[2a-3,-2a-3],‎ 由 ,得,解得a≤-4;‎ 综上得,实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞) .(13分)‎
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