江苏省百校大联考2020届高三上学期第一次考试数学试题 含解析

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江苏省百校大联考2020届高三上学期第一次考试数学试题 含解析

江苏省2020届“百校大联考”高三年级第一次考试 数学试卷 ‎2019.9‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)‎ ‎1.已知全集U=R,集合A=,集合B=,则A(∁UB)= .‎ 答案:(﹣1,0]‎ 考点:集合的运算 解析:因为全集U=R,集合B=,则∁UB=,又因为集合A=,所以A(∁UB)=(﹣1,0]‎ ‎2.已知复数,i为虚数单位,则z的虚部为 .‎ 答案:1‎ 考点:复数 解析:.‎ ‎3.函数:的定义域是 .‎ 答案:[0,1)‎ 考点:定义域 解析:,所以0≤x<1.‎ ‎4.执行如图所示的伪代码,其结果为 .‎ 答案:30‎ 考点:算法初步,伪代码 解析:3+2+3+4+5+6+7=30‎ ‎5.在甲、乙两个盒子中都各有大小相同的红、黄、白三个小球,现从甲、乙两个盒子中各取一个小球,则两个小球颜色相同的概率为 .‎ 答案:‎ 考点:古典概型 解析:从甲、乙两个盒子中各取一个小球共有9种情况,其中两个小球颜色相同共有3种情况,则两个小球颜色相同的概率为3÷9=.‎ ‎6.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图).若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取24人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 .‎ 答案:4‎ 考点:统计(分层抽样)‎ 解析:先求得a=0.030,24÷[(0.030+0.020+0.010)×10]×(0.010×10)=4‎ ‎7.已知圆过椭圆C:(a>0,b>0)的焦点与短轴端点,则椭圆C的标准方程为 .‎ 答案:‎ 考点:椭圆的标准方程 解析:由题意可得,,所以,‎ 所以椭圆C的标准方程为.‎ ‎8.如右图,在体积为12的三棱锥A—BCD中,点M在AB上,且AM=2MB,点N为 CD的中点,则三棱锥C—AMN的体积为 .‎ 答案:4‎ 考点:棱锥的体积 解析:由题意可得VC—AMN=VA—BCD=4.‎ ‎9.已知为等比数列,设数列的前n项和为且,,则的通项公式为 .‎ 答案:‎ 考点:等比数列 解析:因为,所以①,‎ ‎ 因为,所以②,‎ ‎ ①÷②得:,解得q=2,‎ ‎ 所以 ‎10.若为R上的奇函数,当时,,则的解集为 .‎ 答案:(,﹣3][0,3]‎ 考点:函数的奇偶性 解析:根据数形结合的方法得的解集为(,﹣3][0,3]‎ ‎11.若非零向量与满足,则与的夹角为 .‎ 答案:‎ 考点:平面向量的数量积 解析:由,得 ‎ cos<,>=,得与的夹角为.‎ ‎12.若,,,则 .‎ 答案:﹣1‎ 考点:三角恒等变换 解析:由,得,‎ ‎ 所以或 ‎ 得或 ‎ 因为,,则,所以.‎ ‎13.已知函数在区间R上有四个不同的零点,则实数m的取值范围为 .‎ 答案:[﹣1,2)‎ 考点:函数与方程 解析:首先=0最多两个零点,一个是﹣m﹣1,﹣m﹣2;而=0最多也是两个零点,由于原函数在R上有四个零点,则两个方程在各自的区间分别有两个零点,可得不等式组如下:,解得﹣1≤m<2.‎ ‎14.已知正实数x,y满足,则的最小值为 .‎ 答案:‎ 考点:函数与最值 解析:,令,‎ ‎ 设,,可知t=2时,取最小值为3,所以的最小值为.‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 已知函数,的图像上两个相邻的最高点之间的距离为2π且直线是函数图像的一条对称轴.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)若满足,求.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 在直三棱柱ABC—A1B1C1中,D是棱A1B1的中点.‎ ‎(1)证明:直线B1C∥平面AC1D;‎ ‎(2)若AC=AA1,A1B1⊥A1C1,证明:平面AC1D⊥平面A1B1C.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的离心率为,点A1分别为椭圆C与坐标轴的交点,且AB=.过x轴上定点E(1,0)的直线与椭圆C交于M,N两点,点Q为线段MN的中点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)求△QAB面积的最大值.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 某农场灌溉水渠长为1000米,横截面是等腰梯形,如图,在等腰梯形ABCD中,BC∥AD,AB=CD,其中渠底BC宽为1米,渠口AD宽为3米,渠深米.根据国家对农田建设补贴的政策,该农场计划在原水渠的基础上分别沿射线AD方向加宽、AB方向加深,若扩建后 的水渠横截面AB1C1D1仍是等腰梯形,且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为h米,若挖掘费用为每立方米ah2万元,水渠的内壁(渠底和梯形两腰,AB端也要重新铺设)铺设混凝土的费用为每平方米3a万元.‎ ‎(1)用h表示渠底B1C1的长度,并求出h的取值范围;‎ ‎(2)问渠深h为多少米时,建设费用最低?‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知数列的前项和为,,,且满足(n≥2).‎ ‎(1)证明:是等比数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,,若数列是等差数列,求实数的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设,记数列的前项和为 .若对任意的,,存在实数,使得,求实数的最大值.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)当a=1时,求在处的切线方程;‎ ‎(2)对于任意[1,),≥0 恒成立,求a的取值范围;‎ ‎(3)试讨论函数的极值点的个数.‎
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