高中数学讲义微专题84 古典概型

高中数学讲义微专题84 古典概型

微专题 84 古典概型 一、基础知识： 1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如：在扔 骰子的试验中，向上的点数 1 点，2 点，……，6 点分别构成一个基本事件 2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事 件空间，用 表示。 3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为 （1）基本事件两两互斥 （2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设 为“出现 点”，事件 为“点数大于 3”，则事件 （3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得： 因为 ，所以 4、等可能事件：如果一项试验由 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相 等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。 5、等可能事件的概率：如果一项试验由 个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基 本事件的概率为 证明：设基本事件为 ，可知 所以可得 6、古典概型的适用条件： （1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等 当满足这两个条件时，事件 发生的概率就可以用事件 所包含的基本事件个数 占基 本事件空间的总数 的比例进行表示，即 7、运用古典概型解题的步骤：  1 2, , , nA A A iA i A 4 5 6A A A A            1 2 1 2n nP P A A A P A P A P A          1P        1 2 1nP A P A P A    n n 1 n 1 2, , , nA A A      1 2 nP A P A P A        1 2 1nP A P A P A       1 iP A n A A  n A  n        n AP A n  ① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具 体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种 排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② 可通过计数原理（排列，组合）进行计算 ③ 要保证 中所含的基本事件，均在 之中，即 事件应在 所包含的基本事件中选择符 合条件的 二、典型例题： 例 1：从 这 6 个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为 ________ 思路：事件 为“6 个自然数中取三个”，所以 ，事件 为“一个数是另外 两个数的和”，不妨设 ，则可根据 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况： ，所以 。进而计算出 答案： 例 2：从集合 中随机选取一个数记为 ，从集合 中随机选取一个数 记为 ，则直线 不经过第三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 思路：设 为“ 的所有组合”，则 ，设事件 为“直线 不经 过第三象限”，则要求 ，所以 ，从而 答案：A 例 3：袋中共有 7 个大小相同的球，其中 3 个红球，2 个白球，2 个黑球。若从袋中任取三个 球，则所取 3 个球中至少有两个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 思路：设 为“袋中任取三球”，则 ，设事件 为“至少两个红球”，所以    ,n A n  A  A  1 6    3 6 20n C   A a b c  a            3,2,1 , 4,3,1 , 5,4,1 , 5,3,2 , 6,5,1 , 6,4,2   6n A        3 10 n AP A n  3 10  1,1,2A   k  2,1,2B   b y kx b  2 9 1 3 4 9 5 9  ,k b   3 3 9n     A y kx b  0, 0k b    1 2 2n A          2 9 n AP A n  4 35 13 35 18 35 22 35    3 7 35n C   A ，从而 答案：B 例 4：设函数 ，若 是从 三个数中任取一个， 是从 五个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ） A. B. C. D. 思路：设事件 为“ 从所给数中任取一个”，则 ，所求事件为事件 ， 要计算 所包含的基本事件个数，则需要确定 的关系，从恒成立的不等式入手， 恒成立，只需 ，而 ，当 时， ，所以当 时， ，所以 ，得到关系后即可选出符合条件的 ： 共 8 个，当 时， ，所以 符合条件，综上 可得 ，所以 答案：A 例 5：某人射击 10 次击中目标 3 次，则其中恰有两次连续命中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 思路：考虑设 为“10 次射击任意击中三次”，则 ，设事件 为“恰有两 次连续命中”，则将命中分为两次连续和一次单独的，因为连续与单独的命中不相邻，联想到 插空法，所以 （剩下七个位置出现八个空，插入连续与单独的，共有 种，然后要区分连续与单独的顺序，所以为 ），从而 答案：A   2 1 3 3 4 3 13n A C C C         13 35 n AP A n     11 xf x ax xx   a 0,1,2 b 1,2,3,4,5  f x b 3 5 7 15 2 5 1 2  ,a b   3 4 12n     A A ,a b  f x b  minf x b     11 11 1 xf x ax a x ax x        0a     1 11 1 2 1 1 2 11 1a x a a x a a ax x               1 11 11a x xx a        2 min 2 1 1f x a a a      2 1a b   ,a b          1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 ,      2,3 , 2,4 , 2,5 0a    11 11f x x    0,1   9n A        3 5 n AP A n  7 15 1 2 3 8 3 10    3 10 120n C   A   2 2 8 2 56n A C A  2 8C 2 2 8 2C A       7 15 n AP A n  例 6：已知甲袋装有 6 个球，1 个球标 0,2 个球标 1，3 个球标 2；乙袋装有 7 个球，4 个球标 0,1 个球标 1,2 个球标 2，现从甲袋中取一个球，乙袋中取两个球，则取出的三个球上标有的 数码乘积为 4 的概率是____________ 思路：设 为“两个袋中取出三个球”，则 ，事件 为“三个球标记数 码乘积为 4”，因为 ，所以三个球中有两个 2 号球，1 个 1 号球，可根据 1 号球的 来源分类讨论，当 1 号球在甲袋时，有 种，当 1 号球在乙袋时，则乙袋一个 1 号 球，一个二号球，共有有 种，即 种。则 答案： 例 7：四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点，在其中任取 4 个点，则这四个点不共面的概率 为（ ） A. B. C. D. 思路：设 为“10 个点中取 4 个点”，则 ，设事件 为“4 个点不共面”， 若正面寻找不共面的情况较为复杂，所以考虑问题的对立面，即 为“4 个点共面”，由图可 得四点共面有以下几种情况：（1）四个点在四面体的面上，则面 上 6 个点中任意 4 个点均共面，则 ；（2）由平 行线所产生的共面（非已知面），则有 3 对，即 ；（3）由一 条棱上的三点与对棱的中点，即 ，所以共面的情况 ，所以 ，所以 答案：D 例 8：袋子里有 3 颗白球，4 颗黑球，5 颗红球，由甲，乙，丙三人依次各抽取一个球，抽取 后不放回，若每颗球被抽到的机会均等，则甲，乙，丙三人所得之球颜色互异的概率是（ ） A. B. C. D. 思路：事件 为“不放回地抽取 3 个球”，则 ，基本事件为甲，乙，丙拿球的各    1 2 6 7 126n C C    A 4 2 2 1   1 2 2 2 2C C  2 1 3 2 6C C    8n A        8 4 126 63 n AP A n   4 63 5 7 7 10 24 35 47 70    4 10 210n C   A A 4 1 64 60N C   2 3N  2 6N    60 3 6 69n A           210 69 141n A n n A            47 70 n AP A n  1 4 1 3 2 7 3 11    3 12n A  种情况，且将这些球均视为不同元素。设所求事件“甲，乙，丙三人所得之球颜色互异”为 事件 ，则先要从白球黑球红球中各取一个（ ），再分给三个人（三个元素全排 列），所以 ，从而 答案：D 例 9：甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才所想的数字， 把乙猜的数字记为 ，其中 ，若 或 ，就称甲乙“心有灵犀” 现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A. B. C. D. 思路：设 为“甲想乙猜的所有情况”，则 ，设事件 为“甲乙‘心有灵 犀’”，可对甲想的数进行分类讨论：当 时， 可取的值为 或 ；当 时， ，所以事件 包含的基本事件数 ，所以 答案：C 例 10：将 1,2,3,4 四个数字随机填入右方 的方格中，每个方格中恰填一数字，但数字可 重复使用，试问时间“A 方格的数字大于 B 方格的数字，且 C 方格的数字大于 D 方格的数字” 的概率为（ ） A. B. C. D. 思路：事件 为“4 个数字填入方框中“，则 。设事件 E 为所求事件，可进 行分类讨论，若 A 填入 2，则 B 填入 1，若 A 填入 3，则 B 可填入 1,2；若 A 填入 4，则 B 可填 入 1,2,3；所以 A,B 两格的填法共有 6 种；同理 C,D 的填法也有 6 种，且 A,B 的填法与 C,D 的 填法相互独立，所以 ，从而 答案：B A 1 1 1 3 4 5C C C    1 1 1 3 3 4 5 3n A C C C A      1 1 1 3 3 4 5 3 3 12 3 11 C C C AP A A     a b  , 1,2,3,4,5,6a b a b 1a b  7 36 1 4 11 36 5 12    6 6 36n     A 1,2,3,4,5a  b a 1a  6a  6b  A   2 5 1 11n A           11 36 n AP A n  2 2 1 16 9 64 25 64 9 256    44 256n      6 6 36n P        36 9( ) 256 64 n EP E n  