高考数学模拟试卷 (12)

高考数学模拟试卷 (12)

- 1 - 高三数学考试卷（理科） 第Ⅰ卷（共 60 分）(12) 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 (2 ) 3i z i   ，则| |z  （ ） A． 5 B．5 C． 10 D．10 2.设全集 { | 5 5}U x x    ，集合 2{ | 4 5 0}A x x x    ， { | 2 4}B x x    ，则 ( )UC A B  （ ） A． ( 5, 2]  B．[4,5) C． ( 5, 2)  D． (4,5) 3.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚 出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出； 十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出，如 7738 可用算筹表示为 . 纵式： 横式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1-9 这 9 个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则 2log 643 的运算结果可用算筹表示为 （ ） A． B． C． D． 4.若双曲线 2 2 5 y x m  （ 0m  ）的焦距等于离心率，则 m  （ ） A． 1 20 B． 1 10 C. 1 5 D． 1 4 5.设有下面四个命题 1 :p 若 1~ (3, )2X B ，则 3( 1) 4P X   ； 2 :p 若 1~ (3, )2X B ，则 7( 1) 8P X   ； 3 :p 若 2 61( )x x  的中间项为-20； 4 :p 2 61( )x x  的中间项为 320x . 其中真命题为（ ） - 2 - A． 1p ， 3p B． 1p ， 4p C. 2p ， 3p D． 2p ， 4p 6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（ ） A． 215 4 2   B． 215 4   C. 213 4 2   D． 213 4   7.已知 (mod )N n m 表示 N 除以 m 余 n ，例如 7 1(mod6) ，13 3(mod5) ，则如图所示 的程序框图的功能是（ ） A．求被 5 除余 1 且被 7 除余 3 的最小正整数 B．求被 7 除余 1 且被 5 除余 3 的最小正整数 C. 求被 5 除余 1 且被 7 除余 3 的最小正奇数 D．求被 7 除余 1 且被 5 除余 3 的最小正奇数 8.若 (0, )  ，且 3sin 2cos 2   ，则 tan( )2 3    （ ） A． 3 9  B． 3 5  C. 3 6 D． 3 9.设 x ，y 满足约束条件 , 1, 2 0, y a x y x y        若 z x y  的最大值为 6，则 y x a 的最大值为（ ） - 3 - A． 2 3 B．2 C.4 D．5 10.若函数 ( ) sin(2 )3f x x   与 ( ) cos( )4g x x   都在区间 ( , )a b （ 0 a b    ）上单调 递减，则 b a 的最大值为（ ） A． 6  B． 3  C. 2  D． 5 12  11.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 3BE EA  ，以 E 为球心，| |EC  为半径的球与棱 1 1A D ， 1DD 分别交于 F ，G 两点，则二面角 A FG E  的正切值为（ ） A． 2 2 2  B． 2 1 2  C. 3 1 2  D． 5 2 2  12.设函数 2 |12 4 | 1, 1 ( ) ( 2) , 1 x x f x x x a x        ，若存在互不相等的 4 个实数 1x ， 2x ， 3x ， 4x ，使得 31 2 4 1 2 3 4 ( )( ) ( ) ( ) 7f xf x f x f x x x x x     ，则 a 的取值范围为（ ） A． (6,12) B．[6,12] C.(6,18) D．[6,18] 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.在 ABC 中， 4AB  ， 6AC  ，且16cos 1A  ，则 BC  ． 14.现有 8 本杂志，其中有 3 本是完全相同的文学杂志，还有 5 本是互不相同的数学杂志，从 这 8 本里选取 3 本，则不同选法的种数为 ． 15.在平行四边形 ABCD 中，| | | |AB AD AB AD      ， 2DE EC  ，CF FB  ，且 7AE AF    ，则平行四边形 ABCD 的面积的最大值为 ． 16. P 为椭圆 :C 2 2 12 x y  上一动点， 1F ， 2F 分别为左、右焦点，延长 1F P 至点Q ，使得 1| | | |PQ PF ，记动点Q 的轨迹为  ，设点 B 为椭圆C 短轴上一顶点，直线 2BF 与  交于 M 、 N 两点，则| |MN  ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必考题：共 60 分. - 4 - 17. 已知数列{ }na n 是等比数列，且 1 9a  ， 2 36a  . （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）求数列 2{ }na n 的前 n 项和 nS . 18. 如图，在三棱锥 P ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，PA AB AC  ，平面  平 面 PAB ，且 与棱 PC ， AC ， BC 分别交于 1P ， 1A ， 1B 三点. （1）过 A 作直线l ，使得l BC ， 1 1l P A ，请写出作法并加以证明； （2）若 将三棱锥 P ABC 19. “某大型水果超市每天以 10 元/千克的价格从水果基地购进若干 A 水果，然后以 15 元/ 千克的价格出管，若有剩余，则将剩余的水果以 8 元/千克的价格退回水果基地，为了确定进 货数量，该超市记录了 A 水果最近 50 天的日需求量（单位：千克)，整理得下表： 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数 5 10 8 8 7 7 5 以 50 天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率. （1）若该超市一天购进 A 水果 150 千克，记超市当天 A 水果获得的利润为 X (单位：元)， 求 X 的分布列及其数学期望； （2）若该超市计划一天购进 A 水果 150 千克或 160 千克，请以当天 A 水果获得的利润的期望 值为决策依据，在 150 千克与 160 千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水 果以 7 元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个? 20. 已知直线l 经过抛物线 2 4y x 的焦点且与此抛物线交于 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 两点， | | 8AB  ，直线l 与抛物线 2 4y x  交于 M ， N 两点在 y 轴的两侧. （1）证明： 1 2y y 为定值； - 5 - （2）求直线l 的斜率的取值范围； （3）已知函数 4 3 2( ) 4 8 5 4f x x x x x    在 0x x （ 01 2x  ）处取得最小值 m ，求线 段 MN 的中点 P 到点 (2,0)D 的距离的最小值（用 m 表示）. 21.已知函数 ( ) 1 xf x x ae   . （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）设 1x ， 2x 是 ( )f x 的两个零点，证明： 1 2 4x x  . （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为 2 cos , 1 sin x r y r       （ 为参数， 0r  ），曲线 N 的 参数方程为 2 5 ,5 51 5 x t y t      （t 为参数，且 0t  ）. （1）以曲线 N 上的点与原点O 连线的斜率 k 为参数，写出曲线 N 的参数方程； （2）若曲线 M 与 N 的两个交点为 A ，B ，直线OA 与直线OB 的斜率之积为 4 3 ，求 r 的值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | | | 1|f x x a x    . （1）当 2a  时，求不等式 0 ( ) 1f x  的解集； （2）若 (0, )x   ， 2( ) 3f x a  ，求 a 的取值范围. - 6 - 试卷答案(12) 一、选择题 1-5:CADAD 6-10:BDBCB 11、12：BC 二、填空题 13.7 14.26 15. 7 3 2 16. 2 6 三、解答题 17.解：（1）设等比数列{ }na n 的公比为 q ，则 2 1 2 6 2 23 11 aq a     . 从而 1(3 1) 2n na n     ， 故 2( 2 )n na n  . （2）∵ 2( 2 )n na n  ，∴ 2 12 4n n na n n    . 记 2 3 +12 2 2 2n nT n      ， 则 3 4 1 +22 2 2 2 + ( 1) 2 2n n nT n n        ， ∴ 2 3 1 22 2 2 2n n nT n        2 2 22 4 2 (1 ) 2 4n n nn n         ， ∴ 2( 1) 2 4n nT n    ， 故 1 1 24 4 4 8( 1) 21 4 3 n n n n nS T n          18.解：（1）作法：取 BC 的中点 H ，连接 AH ，则直线 AH 即为要求作的直线l . 证明如下：∵ PA AB ， PA AC ，且 AB AC A ，∴ PA  平面 ABC . ∵平面  平面 PAB ，且  平面 1 1PAC P A ，平面 PAB  平面 PAC PA ， ∴ 1 1P A PA ， ∴ 1 1P A  平面 ABC ，∴ 1 1P A AH . 又 AB AC ， H 为 BC 的中点，则 AH BC ，从而直线 AH 即为要求作的直线l . （2）∵ 将三棱锥 P ABC 分成体积之比为 8：19 的两部分， - 7 - ∴四面体 1 1 1P A B C 的体积与三棱锥 P ABC 的体积之比为 8:27， 又平面  平面 PAB ，∴ 1 1 1 2 3 AC B C PC AC BC PC    . 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，设 3AB  ， 则 1(0,1,0)A ， 1(2,1,0)B ， (0,0,3)P ， 1(0,1,2)P ， (1,2,0)D ， 1 1 (2,0,0)A B  ， 1 (0,1, 3)PA   ， 1 (1,1, 2)PD   ， 设平面 1 1PA B 的法向量为 ( , , )n x y z ， 则 1 1 1 0 0 n A B n PA      ，即 0 3 0 x y z     ， 令 1z  ，得 (0,3,1)n  . 则 1 1 15cos , 306 10 PD n    . 故直线 1PD 与平面 1 1PA B 所成角的正弦值为 15 30 . 19.解：（1）若 A 水果日需求量为 140 千克， 则 140 (15 10) (150 140) (10 8) 680X         元， 且 5( 680) 0.150P X    . 若 A 水果日需求量不小于 150 千克， - 8 - 则 150 (15 10) 750X     元，且 ( 750) 1 0.1 0.9P X     . 故 X 的分布列为 X 680 750 P 0.1 0.9 ( ) 680 0.1 750 0.9 743E X      元. （2）设该超市一天购进 A 水果 160 千克，当天的利润为Y （单位：元）， 则Y 的可能取值为140 5 20 2   ，150 5 10 2   ，160 5 ，即 660,730,800， Y 的分布列为 Y 660 730 800 P 0.1 0.2 0.7 ( ) 660 0.1 730 0.2 800 0.7 772E Y        元. 因为 772 743 ，所以该超市应购进 160 千克. 若剩余的水果以 7 元/千克的价格退回水果基地，同理可得 X ，Y 的分布列分别为 X 670 750 P 0.1 0.9 Y 640 720 800 P 0.1 0.2 0.7 因为 670 0.1 750 0.9 640 0.1 720 0.2 800 0.7         ， 所以该超市还是应购进 1610 千克. 20.（1）证明：由题意可得，直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为 ( 1)y k x  （ 0k  ）， 联立 2 4 , ( 1), y x y k x      得 2 4 4 0ky y k   ，则 2 4 4 0ky y k   ，则 1 2 4 4ky y k    为定值. （2）解：由（1）知， 1 2 4y y k   ， 1 2 1 2 2 42 2y yx x k k      ， 则 1 2 1 2 2 4| | 2 4 8y yAB x x p k k         ，即 2 1k  . 联立 2 ( 1), 4, y k x y x      得 2 4 0x kx k    ， - 9 - ∵ M ，N 两点在 y 轴的两侧，∴ 2 24( 4) 4 16 0k k k k        ， 4 0k   ，即 4k  . 由 2 1k  及 4k  可得 1k   或1 4k  ， 故直线l 的斜率的取值范围为 ( , 1) (1,4)   . （3）解：设 ( , )P x y ， 3 3( , )M x y ， 4 4( , )N x y ，则 3 4 2 2 x x kx   ， 2k x ， ∵ ( 1)y k x  ，∴ 22 ( 1) 2 2y x x x x    . 又 ( , 1) (1,4)k     ，∴ 1 1( , ) ( ,2)2 2 2 kx      ， 故点 P 的轨迹方程为 22 2y x x  （ 1 2x   或 1 22 x  ）. 21.（1）解： '( ) 1 xf x ae  ， 当 0a  时， '( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 R 上单调递增. 当 0a  时， '( ) 0f x  ，得 1ln( )x a   ，则 ( )f x 的单调递增区间为 1( ,ln( ))a   . 令 '( ) 0f x  ，得 1ln( )x a   ，得 ( )f x 的单调递减区间为 1(ln( ), )a   . （2）证明：由 ( ) 0f x  得 1 x xa e  ，设 1( ) x xg x e  ，则 2'( ) x xg x e  ， 由 '( ) 0g x  得 2x  ；由 '( ) 0g x  ，得 2x  . 故 min 2 1( ) (2) 0g x g e     . 当 1x  时， ( ) 0g x  ；当 1x  时， ( ) 0g x  . 不妨设 1 2x x ，则 1 (1,2)x  ， 2 (2, )x   . 1 2 4x x  等价于 2 14x x  ，∵ 14 2x  ，且 ( )g x 在 (2, ) 上单调递增， ∴要证 1 2 4x x  ，只需证 2 1( ) (4 )g x g x  ，即 1 1 1 1 4 1 3 x x x x e e    ， 即证 12 4 1 1( 3) 1 0xe x x     . 设 2 4( ) ( 3) 1xh x e x x    ， (1,2)x ， 则 2 4'( ) (2 5) 1xh x e x   ， 令 ( ) '( )m x h x ，则 2 4'( ) 4 ( 2)xm x e x  ，∵ (1,2)x ，∴ '( ) 0m x  ， - 10 - ∴ ( )m x 在 (1,2) 上单调递减，即 '( )h x 在 (1,2) 上单调递减， ∴ '( ) '(2) 0h x h  ，∴ ( )h x 在 (1,2) 上单调递增， ∴ ( ) (2) 0h x h  ，∴ 12 4 1 12 ( 3) 1 0x x x     ， 从而 1 2 4x x  得证. 22.解：（1）将 2 5 ,5 51 5 x t y t      消去参数t ，得 2 2 0x y   （ 0x  ）. 由 2 2 0, , x y y kx      得 2 2 1 2 2 1 x k ky k       . 故曲线 N 的参数方程为 2 2 1 2 2 1 x k ky k       （ k 为参数，且 1 2k  ）. （2）曲线 M 的普通方程为 2 2 2( 2) ( 1)x y r    ， 将 2 2 1 2 2 1 x k ky k       代入 2 2 2( 2) ( 1)x y r    并整理得 2 2 2 2(16 ) (4 32) 17 0r k r k r      ， 因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为 4 3 ，所以 2 2 17 4 16 4 3 r r   ， 解得 2 1r  ，又 0r  ，所以 1r  . 故将 1r  代入 2 2 2 2(16 ) (4 32) 17 0r k r k r      ，得 212 28 16 0k k   ， 0  ， 故 1r  . 23.解：（1）当 2a  时，因为 ( ) | 2 | | 1| | ( 2) ( 1) | 1f x x x x x         ， 所以 ( ) 1f x  的解集为 R . 由 ( ) 0f x  ，得| 2 | | 1|x x   ，则 2 2| 2 | | 1|x x   ，即 2 24 4 2 1x x x x     ， - 11 - 解得 3 2x  ，故不等式 0 ( ) 1f x  的解集为 3( , )2  . （2）当 0a ， (0, )x  时， 1 , 1( ) | 1| 2 1,0 1 a xf x x a x x a x            ， 则 2 max( ) (1) 1 3f x f a a     ，又 0a  ，所以 1 17 2a   . 当 0 1a  ， [1, )x  时， 2( ) 1 0 3f x a a     ，故 0 1a  不合题意. 当 0a  ， (0, )x  时， ( ) | | | 1| | ( ) ( 1) | | 1| 1f x x a x x a x a a            ， 当且仅当 0 1x  时等号成立，则 2 3 1a a   ，又 1a  ，所以 2a  . 综上， a 的取值范围为 1 17( , ] [2, )2    .