开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试（一）数学（文）试题 Word版含解析

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- 1 - 开卷教育联盟 2020 届全国高三模拟考试（一） 数学（文科） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合  1,2,3,4,5,6U  ，  2,3,5A  ，  3,6B  ，则 U A B ð （ ） A.  3 B.  6 C.  1,3,4,6 D.  2,3,5,6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合补集和并集的定义进行求解即可. 【详解】因为  1,2,3,4,5,6U  ，  2,3,5A  ，所以  1,4,6U A ð ，又因为  3,6B  ， 所以有  U A B ð  1,3,4,6 . 故选：C 【点睛】本题考查了集合补集和并集的运算，考查了数学运算能力，属于基础题. 2. 设  21 4 3 iz i   ，则 z  （ ） A. 2 5 B. 10 7 C. 2 2 D. 14 2 25 【答案】A 【解析】 - 2 - 【分析】 根据复数模的运算公式和性质进行求解即可. 【详解】       22 2 2 2 22 11 ( 1 1 ) 2 4 3 | 4 3 | 54 3 iiz i i         . 故选：A 【点睛】本题考查了复数模的运算公式和性质，考查了数学运算能力. 3. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6），记正面向上的 点数为 a ，则函数   2 2f x x ax   有零点的概率是（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据零点定义，结合一元二次方程根的判别式，求出 a 的取值范围，最后古典概型计算公式进 行求解即可. 【详解】因为函数   2 2f x x ax   有零点，所以 2 2 0x ax   ，由 2 4 1 2 0a      得 2 2a  ，∴ 3,4,5,6a  ，∴ 4 2 6 3P   . 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型计算公式，考查了零点的定义，考查了一元二次方程根的判别 式，考查了数学运算能力. 4. 已知锐角 满足 1sin 6 3      ，则 cos  （ ） A. 2 6 1 6  B. 2 2 3 6  C. 2 6 1 6  D. 2 2 3 6  【答案】A 【解析】 - 3 - 【分析】 结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为 0, 2      ，所以 ,6 6 3          ， 所以 2 2 2cos 1 sin6 6 3                 ， 所以 cos cos 6 6            cos cos sin sin6 6 6 6                  2 2 3 1 1 2 6 1 3 2 3 2 6      . 故选：A 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式和同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力. 5. 执行下面的程序框图，若输出的结果是 16，则空白框中应填（ ） A. 1 n n ， S S n  B. 2 n n ， S S n  C. S S n  ， 1 n n D. S S n  ， 2 n n 【答案】D 【解析】 【分析】 根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可. 【详解】A：若空白处是 1 n n ，S S n  时， 1 4i   成立， 2, 0 2 2, 2 4n S i      成立， - 4 - 所以 3, 2 3 5, 3 4n S i      成立，所以 4, 4 5 9, 4 4n S i      成立，所以 5, 5 9 14, 5 4n S i      不成立，故 14S  ，不符合题意； B：若空白处是 2 n n ， S S n  时， 1 4i   成立， 3, 0 3 3, 2 4n S i      成立， 所以 5, 5 3 8, 3 4n S i      成立，所以 7, 8 7 15, 4 4n S i      成立，所以 9, 15 9 24, 5 4n S i      不成立，故 24S  ，不符合题意； C：若空白处是 S S n  ， 1 n n 时， 1 4i   成立， 1, 2, 2 4S n i    成立，所以 3, 3, 3 4S n i    成立，所以 6, 4, 4 4S n i    成立，所以 10, 5, 5 4S n i    不 成立，故 10S  ，不符合题意； D：若空白处是 S S n  ， 2 n n 时， 1 4i   成立， 1, 3, 2 4S n i    成立，所以 4, 5, 3 4S n i    成立，所以 9, 7, 4 4S n i    成立，所以 16, 9, 5 4S n i    不 成立，故 16S  ，符合题意. 故选：D 【点睛】根据程序框图的输出结果补全程序框图，考查了数学运算能力. 6. 如图为某几何体的三视图，其中侧视图与俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何 体的体积为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图在正方体中还原直观图为三棱锥 1 1A DCC ，根据本棱锥的体积公式进行求解即 - 5 - 可. 【详解】在正方体中还原直观图为三棱锥 1 1A DCC ， ∴ 1 1 1 11 1 13 3 2 6V Sh       . 故选：D 【点睛】本题考查了由三视图求空间几何体的体积，考查了三棱锥的体积公式，考查了空间 想象能力和数学运算能力. 7. 函数  sin x xy e e  的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，再根据 x xe e 的取值范围，结合正弦函数的性质进行判断即可. 【 详 解 】      ( ) sin ( ) sin sin ( ) ( )x x x x x xy f x e e f x e e e e f x f x                是 奇函数，故图象关于原点称，因此排除 B，D； 令 x xt e e  ，当 0x  时，函数 ( ) x xt x e e  是增函数，故 0t  ，当 0t  时，显然存在 - 6 - ( ,2 )t   时， sin 0y t  ，因此排除 C. 故选：A 【点睛】本题考查了识别函数图象，考查了函数的奇偶性，考查了正弦函数的性质，属于中 档题. 8. 魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细， 所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转 化过程，比如在正数 2 21 1   中的“…”代表无限次重复，设 2 21 1 x    ，则可利用方程 2 1x x   求得 x ，类似地可得正数 2 2 2 2   （ ） A. 2 B. 3 1 C. 5 1 D. 6 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题中所给的方程，换元，解方程进行求解即可. 【详解】设 2 2 2 2x     ，则 2 2x x  ，解得 3 1x   （负值舍去）. 故选：B 【点睛】本题考查了类比推理，考查了推理论证能力，考查了数学运算能力. 9. 为了得到函数 2sin 2 3y x      的图象，可以将函数 2sin 2 4y x      的图象（） A. 向左平移 7 24  B. 向右平移 7 24  C. 向左平移 7 12  D. 向右平移 7 12  【答案】B 【解析】 【分析】 利用 sin( )y A x   的图象变换规律，即可求解，得出结论． 【 详 解 】 由 题 意 ， 函 数 2sin(2 ) 2sin[2( )]3 6y x x     ， - 7 - 2sin(2 ) 2sin[2( )]4 8y x x     ， 又由 7( )8 6 24      ， 故把函数 2sin[2( )]8y x   的图象上所有的点，向右平移 7 24  个单位长度， 可得 72sin[2( ) ] 2sin(2 )24 4 3y x x       的图象， 故选 B． 【点睛】本题主要考查了三角函数 sin( )y A x   的图象变换规律，其中解答中熟记三角函 数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10. 已知双曲线C ：   2 2 1 0yx mm    的离心率为 2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 2y x  B. 3y x  C. 3y x  D. 3 3y x  【答案】C 【解析】 【分析】 根据双曲线的离心率公式，结合双曲线中 , ,a b c 的关系、渐近线方程进行求解即可. 【详解】由 2 2 2 2 2 2 2 1 21 c a b me a a      ，得 3m  ，所以 3b  ， 所以渐近线方程为 3by x xa     . 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线离心率公式，考查了数学运算能力. 11. 已知函数   2 2 1, 0 lg , 0 x x xf x x x       ，若    f x a a R  有四个不等实根，则所有实根 之积的取值范围是（ ） A.  ,1 B.  0,1 C.  0,1 D.  1, 【答案】B 【解析】 - 8 - 【分析】 在直角坐标系内画出函数  f x 的图象，利用数形结合，结合对数的运算性质和绝对值的性质 进行求解即可. 【详解】设四个根依次为  1 2 3 4 1 2 3 4, , ,x x x x x x x x   ， 则 12 1x    ， 21 0x   ， 1 2 2x x   ， 则由 3 4 3 4 3 4lg lg lg lg lg lgx x x x x x       3 4 3 4lg 0 1x x x x    ， ∴      2 1 2 3 4 1 2 2 2 22 1 1 0,1x x x x x x x x x         . 故选：B 【点睛】本题考查了已知方程根的个数求根的乘积的取值范围，考查了数形结合思想，考查 了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 12. 已知椭圆C 的左、右焦点为 1F ， 2F ，过 1F 的直线交C 于 A ，B 两点，若 1 12 3AF F B ， 且 2 2AF BF ，则椭圆C 的离心率为（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 5 5 D. 2 5 5 【答案】C 【解析】 【分析】 运用特殊值法进行求解. 不妨设 1 3AF  ，利用勾股定理、余弦定理，结合椭圆的定义和离 心率公式进行求解即可. 【详解】不妨设 1 3AF  ，则 1 2F B  ， 5AB  ， ∴ 2 2 3AF a  ， 2 2 2BF a  ， - 9 - ∴由 2 2 2 2 2AB AF BF  得    2 225 2 3 2 2 3a a a      或 1 2a   （舍）， ∴ 2 3AF  ，∴ 3cos 5A  ， 又由 2 2 2 1 2 1 2 1 22 cosF F AF AF AF AF A     得  2 2 2 3 3 52 3 3 2 3 3 5 5c c        ， ∴ 5 5 ce a   . 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的定义和离心率的计算，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算 能力. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知向量    1,2 , 1,3a b      ，且 a b a        ，则   ______. 【答案】 1 【解析】 【分析】 根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质、平面向量数量积的坐标 表示公式进行求解即可. 【详解】∵  1 ,2 3a b        ， ∴    1 1 2 3 2 0 1a ab                    . 故答案为； 1 - 10 - 【点睛】本题考查了平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性 质，考查了数学运算能力. 14. 已知函数         1 2 3 1, 1 log 1 , 1 x xf x x x       ，若   2f m  ，则  2f m  ______. 【答案】 2 3  或 1 【解析】 【分析】 根据 m 的不同取值，利用函数的解析式分类讨论进行求解即可. 【详解】   1 12 3 1 2m mf m       或  2 1 0log 1 2 m mm      或 3m  ， ∴ 2 2m    或 2 1m   ， ∴     22 2 3f m f     或    2 1 1f m f   . 故答案为： 2 3  或 1 【点睛】本题考查了已知分段函数的值求参数问题，考查了求分段函数值问题，考查了指数 运算和对数运算，考查了数学运算能力. 15. 设 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，若 2 cos cos 0a c B b C   ， 且 4ac  ，则 ABC 的面积为______. 【答案】 3 【解析】 【分析】 根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】由 2 cos cos 0a c B b C   得  2sin sin cos sin cos 0A C B B C   ， 即 2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C   ， 化简得 2sin cos sin 0A B A  ， ∵ A 为三角形的内角，∴sin 0A  ，∴ 1cos 2B   ， 3sin 2B  ，故 - 11 - 1 1 3sin 4 32 2 2S ac B     . 故答案为： 3 【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理的 应用，考查了数学运算能力. 16. 半径为 3 的球的内接正四棱锥的体积的最大值为______. 【答案】 64 3 【解析】 【分析】 设 1OO x ，利用勾股定理及四棱锥的体积公式求出四棱锥的体积表达式，利用导数进行求 解即可. 【详解】如图，设 1OO x ，则 2 2 1 3OC x  ， ∴  2 2 12 2 9ABCDS O C x  四边形 ， ∴   1 1 3 ABCDV V x S PO   四边形    2 3 22 29 3 2 6 183 3x x x x x          ， ∴     2' 2 4 6 2 1 3V x x x x x        ， 当 0 1x  时，    ' 0,V x V x 单调递增，当1 3x  时，    ' 0,V x V x 单调递减， 所以  max 641 3V V  . 故答案为； 64 3 【点睛】本题考查了球的内接正四棱锥的体积的最大值问题，考查了导数的应用，考查了推 理论证能力和数学运算能力. - 12 - 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 已知数列 na 满足 1 2 2n n na a    *,n  N R ,且 1 1a  . (1)证明数列 2 n n a    是等差数列; (2)求数列 na 的前 n 项和 nS . 【答案】(1)见解析；（2）  1 1 2n nS n   . 【解析】 试题分析：（1）对题设中的递推关系变形为 1 1 1 2 2 2 n n n n a a    ，从而得到一个新的等差数列 2 n n a    ， 其通项为 2 2 n n a n ，由此得 12n na n   .（2）利用错位相减法求 nS . 解析：(1)由  1 2 2n n na a n N      ,等式两端同时除以 12n 到 1 1 1 2 2 2 n n n n a a    ,即 1 1 1 2 2 2 n n n n a a    , (2) 1 1 1 2 2 a  ,∴数列 2 n n a    是首项为 1 2 ,公差为 1 2 的等差数列,  1 112 2 2 2 n n a nn     , 12n na n    ，∴数列 na 的前 n 项和: 0 1 2 11 2 2 2 3 2 ... 2n nS n          1 2 32 1 2 2 2 3 2 ... 2n nS n        ②﹣①,得:  0 1 2 12 2 2 ...2 2n n nS n       ，即  1 1 2n nS n   . 18. 如图，把边长为 4 的正 ABC 沿中位线 EF 折起使点 A 到 P 的位置. - 13 - （1）在棱 PB 上是否存在点 M ，使得 / /EM 平面 PFC ？若存在，确定 M 的位置，若不存 在，说明理由； （2）若 10PB  ，求四棱锥 P BCFE 的体积. 【答案】（1）存在， M 是 PB 的中点；（2）3 【解析】 【分析】 （1）取 PB 的中点 M ， PC 的中点 N ，连接 MN ， ME ， NF ，利用三角形中位线定理， 结合平行四边形的判定定理和性质定理、线面平行的判定定理进行推理论证即可； （2）取 BC 的中点G ， EF 的中点 H ,可知 A 、 H 、G 三点共线，连接 PG ，GH ， PH . 利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合勾股定理及逆定理、棱锥的体积公式进行求解即 可. 【详解】（1）取 PB 的中点 M ，PC 的中点 N ，连接 MN ，ME ，NF ，则 MN 是 PBC 的 中位线，∴ 1/ / 2MN BC ，同理 1/ / 2EF BC ，∴ / /MN EF . ∴四边形 MNFE 是平行四边形，∴ / /EM FN ，又 EM  面 PFC ， FN  面 PFC ， ∴ / /EM 平面 PFC ，∴ PB 上存在中点 M 使 / /EM 平面 PFC . （2）取 BC 的中点G ，EF 的中点 H ，易知 A 、H 、G 三点共线，连接 PG ，GH ，PH . 易知 EF AH ，∴ EF PH ， 又 EF GH . ∴ EF  面 PGH . 又 / /EF BC ， ∴ BC ⊥面 PGH ， ∴ BC PG . 又 10PB  ， 2BG  . ∴ 6PG  ， - 14 - 又易知 3PH GH  ， ∴ 2 2 2PG PH GH  ， ∴ PH GH ， 又 PH EF ， ∴ PH  面 BCFE . ∴ 1 1 3 3 3 4P BCFE BCFE ABCV S PH S PH       21 3 4 3 3 33 4 4      . 【点睛】本题考查了线面平行的判定和棱锥体积的计算，考查了推理论证能力和数学运算能 力. 19. 2019 年 10 月 5 日， 美国 NBA 火箭队总经理莫雷公开发布涉港错误言论，中国公司与明 星纷纷站出来抵制火箭队，随后京东、天猫、淘宝等中国电商平台全线下架了火箭队的所有 商品，当天有大量网友关注此事，某网上论坛从关注此事跟帖中，随机抽取了 100 名网友进 行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成 6 组：  0,10 ， 10,20 ， 20,30 ， 30,40 ， 40,50 ， 50,60 ，得到如图所示的频率分布直 方图；并将其中留言不低于 40 条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这 100 名 网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表： 一般关注 强烈关注 合计 - 15 - 男 60 女 5 40 合计 100 （1）补全列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与 性别有关？ （2）现已从男性网友中分层抽样选取了 6 人，再从这 6 人中随机选取 2 人，求这 2 人中至少 有 1 人属于“强烈关注”的概率. 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    .  2 0P K k 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表见解析，有；（2） 3 5 【解析】 【分析】 （1）根据直方图可知 P （强烈关注），因此可以求出强烈关注的人数，补全列联表，根据列 联表和题中所给的公式计算出 2K 进行判断即可； （2）计算出 6 人中属于“强烈关注”的人数，属于“一般关注”的人数，然后对人员进行编 号，最后利用古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】解析：（1）由直方图可知 P （强烈关注） 0.020 10 0.005 10 0.25     ， ∴强烈关注的人数为100 0.25 25  人，故可补全列联表中数据： 一般关注 强烈关注 合计 - 16 - 男 40 20 60 女 35 5 40 合计 75 25 100 ∴  2 2 100 40 5 35 20 50 5.556 3.84175 25 60 40 9K          ， ∴有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关. （2）易知 6 人中属于“强烈关注”的有 2 人，属于“一般关注”的有 4 人， 设“一般关注”的 4 人编号为 1，2，3，4；“强烈关注”的 2 人编号为 5，6， 则 6 人中随机选 2 人的基本事件为 12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45， 46，56，共有 15 种，其中至少有 1 人属于“强烈关注”的有 9 种，∴ 9 3 15 5P   . 【点睛】本题考查了补全列联表，考查了 2K 的计算，考查了古典概型计算公式，考查了数学 运算能力. 20. 已知动圆 M 与圆 F ： 2 2 2 0x y y   外切且与 x 轴相切. （1）求圆心 M 的轨迹 E 的方程； （2）过 F 作斜率为 k 的直线l 交曲线 E 于 A ， B 两点， ①若 2BF FA    ，求直线 l 的方程； ②过 A ， B 两点分别作曲线 E 的切线 1l ， 2l ，求证： 1l ， 2l 的交点恒在一条定直线上. 【答案】（1）  2 4 0x y y  或  0 0x y  ；（2）①l ： 2 14y x   ；②证明见解析 【解析】 【分析】 （1）把圆 F 化成标准方程形式，根据题意列出等式，然后两边平方，结合绝对值的性质进行 求解即可； （2）①设直线l 的方程与抛物线方程联立，根据共线向量的坐标表示公式，结合一元二次方 程根与系数关系进行求解即可； - 17 - ②把抛物线方程写成函数形式，利用导数求出切线方程，结合①结论进行求解即可. 【详解】（1） F ：  22 1 1x y   ， 设  ,M x y ，则  22 1 1x y y    E ：  2 4 0x y y  或  0 0x y  . （2）由已知得直线l ： 1y kx  ，把 1y kx  代入 2 4x y 得， 2 4 4 0x kx   ，  * ①设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，由 2BF FA    得   2 2 1 1,1 2 , 1x y x y    ， ∴ 2 12x x  ，又由 * 得 1 2 4x x k  ， 1 2 4x x   ，∴ 2 4k   ， ∴l ： 2 14y x   . ②由 2 4x y 得 2 4 xy  ，∴ ' 2 xy  ， ∴ 1l ：   2 1 1 14 2 x xy x x   ， 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 12 4 4: 2 xy xx x xyxl y xx             即 同理 ， ∴ 1l ， 2l 的交点恒在直线 1y   上. 【点睛】本题考查了求曲线方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线切线方程， 考查了数学运算能力. 21. 已知函数   2 lnf x x ax x   . （1）当 1a  时，求  f x 的单调区间； （2）若  f x 有两个极值点  1 2 1 2,x x x x ，求    2 12f x f x 的最大值. 【答案】（1）增区间 0,  ，无减区间；（2） 1 ln 42  【解析】 【分析】 - 18 - （1）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断单调性即可； （2）对函数进行求导，让导函数等于零，这样可以得到  1 2 1 2,x x x x 的表达式，并求出 a 的 取值范围，根据  1 2 1 2,x x x x 的关系把    2 12f x f x 就成关于 2x 的表达式，然后通过构 造新函数，对新函数求导，判断其单调性，最后利用单调性进行求解即可. 【详解】（1）由已知得定义域为  0,  ， 当 1a  时，   2 lnf x x x x   ， ∴   2 2 1 721 2' 1 4 82 1 0 xx xx x x xf x             ， ∴  f x 有增区间： 0,  ，无减区间. （2）∵   21 2 1' 2 x axf x x a x x      ， ∴ 22 1 0x ax   有两个不等正根 1 2x x ， ∴ 2 1 2 1 2 8 0 0 2 22 1 02 a ax x a x x                ， ∴ 2 2 8 2 ,4 2 a ax         ， 又由 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 x ax ax x x ax ax x              且 1 2 1 2 1 1 2 2x x x x    ， ∴      2 2 2 1 2 2 2 1 1 12 ln 2 lnf x f x x ax x x ax x        2 2 2 2 2 2 2 1 1 12 1 ln 2 2 1 lnx x x x x x        2 2 1 2 2 12 ln 2ln 1x x x x     2 2 2 2 2 2 1 12 ln 2ln 12 2x xx x          - 19 - 2 2 22 2 1 3ln ln 4 12 x xx      . 令   2 2 1 23ln ln 4 1 ,2 2g x x x xx                ， 则   4 2 3 3 1 3 2 3 1' 2 x xg x xx x x           2 3 1 1 2 1x x x x      ， ∵  g x 在 2 ,12       上单调递增，在 1, 上单调递减， 易知      max 11 ln 42g x g x g   极大值 ， ∴    2 12f x f x 的最大值为 1 ln 42  . 【点睛】本题考查了利用导数求函数单调区间，考查了函数极值的定义，考查了利用构造法 结合导数求代数式取值范围问题，考查了数学运算能力. 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程是 3 cos sin x y      （ 为参数）.以原点O 为 极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程是 sin 26       . （1）求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程； （2）设 P 为曲线 1C 上的动点，求点 P 到曲线 2C 距离的最小值及此时点 P 的直角坐标. 【答案】（1） 1C ： 2 2 13 x y  ， 2C ： 3 4 0x y   ；（2） min 4 6 2d  ， 6 2,2 2P       【解析】 【分析】 （1）利用同角的三角函数关系式把曲线 1C 的参数方程化为普通方程.结合两角和的正弦公式， 利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式把曲线 2C 的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）根据曲线 1C 的参数方程设出点 P 的坐标，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式进 行求解即可. - 20 - 【详解】（1）由题知 1C 的普通方程为 2 2 13 x y  . 2C ： 3 1sin 2 sin cos 26 2 2                   3 sin cos 4      ， 即 2C ： 3 4 0x y   . （2）设     3 cos ,sin 0,2P     ， 则 3 cos 3sin 4 1 6 sin 44 23 d            4 6 sin 4 2      ， ∴当且仅当sin 14      ，即 4   时， min 4 6 2d  ，此时 6 2,2 2P       . 【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程和极坐标方程化成直角坐标方程，考查了参数方 程的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了点到直线距离公式的应用，考查了同角的三角 函数关系式，考查了数学运算能力. 23. 已知函数   1 2f x ax x    . （1）若 1a  ，解不等式：   5f x x  ； （2）若  1,2x 时，   5f x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） 2,4 ；（2）   , 1 3,   【解析】 【分析】 （1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可； （2）利用绝对值的性质化简不等式   5f x  ，利用绝对值不等式解法求出不等式的解集，然 后常变量分离，根据函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）   5 1 2 5f x x x x x        2 1 2 5 x x x x         或 2 1 1 2 5 x x x x          或 1 1 2 5 x x x x        - 21 - 2 2 x x      或 2 1 2 x x       或 1 4 x x    2 1x    或1 4x  2 4x    ， ∴不等式的解集为  2,4 . （2）∵  1,2x ，∴ 2 0x   ， ∴   1 2f x ax x    1 2 5ax x     1 3ax x    ，又因为 3 0x  1 3ax x    或 1 3ax x   21a x    或 4 1a x   ， 又∵ min 21 1x       ， max 4 1 3x      ， ∴ 1a   或 3a  ， 故实数 a 的取值范围为   , 1 3,   . 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围，考查了数 学运算能力. - 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