数学理卷·2017届广东省清远市第三中学高三上学期第十次周考（2016

数学理卷·2017届广东省清远市第三中学高三上学期第十次周考（2016

广东省清远市清城区三中高三第一学期第十次周考 数学（理）试题 ‎(本卷满分150分，时间120分钟)‎ 一、 选择题（60分，每题5分）‎ ‎1、已知集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛x|x(x-3)<0｝，则A∩B= （ ）‎ A．｛0，1，2，3｝ B．｛0，1，2｝ C．｛1，2｝ D．｛1，2，3｝‎ ‎2.已知是虚数单位，复数的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知向量，，若，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，若，则输出的值为（ ）‎ A．10 B．‎12 C.14 D．16‎ ‎6.若实数满足条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.“”是“函数的值不小于‎4”‎的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数是偶函数，其中，则下列关于函数的正确描述是（ ）‎ A．在区间上的最小值为 ‎ B．的图象可由函数的图象先向上平移2个单位，再向右平移个单位得到 ‎ C.的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 ‎ D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 ‎10.已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设双曲线的左焦点为，点、在双曲线上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．‎2 C. D．‎ ‎12.已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ）‎ A．4 B． C. D．‎ 一、 填空题（20分，每题5分）‎ ‎13、已知向量a=（2，3）,b=(4，-3)，则ab=__________‎ ‎14、若将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的函数解析式为__________‎ ‎15、已知等比数列{}的各项均为正数，且=2，=8，则=__________‎ ‎16、已知向量a=（2，4）,b=(x，3)，且(a+b)⊥a ，则x=__________‎ 二、 解答题（70分）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，角所对的边分别为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）判断的形状；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.‎ 分数 甲班频数 ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ 乙班频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附：‎ 临界值表：‎ ‎（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.‎ ‎（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；‎ ‎（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知右焦点为的椭圆过点，且椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线与轴的交点为.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ 数学（理）答案 一、1-12：CADAB CABCC DA 二、‎ ‎13、-1‎ ‎14、‎ ‎15、63‎ 16、 ‎-16‎ 三、‎ ‎17.本题主要考查和差角公式、二倍角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化数学思想。‎ ‎（Ⅰ）由，‎ 根据正弦定理，得，即，‎ 在中，有，‎ 所以，即，‎ 所以是等腰三角形.…………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），，则 ‎.‎ 因为，所以，则，‎ 所以，则，‎ 所以的取值范围是.…………………………12分 ‎18.解：（1）‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ 成绩不优良 ‎11‎ ‎4‎ ‎15‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎………………………………………………………………………………………………2分 根据列联表中的数据，得的观测值为，‎ ‎∴能在犯错概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.………………5分 ‎（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为.…………6分 ‎；；…………………………………………………………8分 ‎；.…………………………………………………………10分 ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎………………………………………………………………………………………………11分 ‎∴.……………………………………12分 ‎19.本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算 求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力。‎ ‎（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是 ‎.………………………………………………………………2分 ‎（Ⅱ）设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则 ‎，‎ 所以.‎ 由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的 均值为元.‎ 由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖.………………………………………………………………7分 ‎（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为.‎ 由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则.‎ 于是，恰好次中奖的概率为 ‎，.‎ 从而，，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 则最大.‎ 所以，最有可能获得的现金奖励为元.‎ 于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励.………………12分 ‎20.本题主要考查空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。‎ ‎（Ⅰ）证明：连接交于，连接.‎ 在正方形中，点是中点，点是中点，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以在等腰中，是的中点，且，‎ 因此在等腰中，，‎ 从而，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 即平面.……………………………………6分 ‎（Ⅱ）方法一：‎ 在正方形中，连接，交于，设正方形的边长为2，‎ 由于点是中点，点是中点，‎ 所以，‎ 于是，‎ 从而，‎ 所以，‎ 于是，在翻折后的几何体中，为二面角的平面角，‎ 在正方形中，解得，，‎ 所以，在中，，，，‎ 由余弦定理得，‎ 所以，二面角的余弦值为.………………………………12分 方法二：‎ 由题知两两互相垂直，故以为原点，向量方向分别为，，轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.‎ 设正方形边长为2，则，，，.‎ 所以，.‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由得，‎ 令，得，‎ 又由题知是平面的一个法向量，‎ 所以.‎ 所以，二面角的余弦值为.………………………………12分 ‎21.（1）解：∵椭圆过点，∴，①………………………………1分 ‎∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，………………………………2分 ‎∵，∴，②…………………………………………………………3分 由①②得，，……………………………………………………4分 ‎∴椭圆的方程为.………………………………………………5分 ‎（2）证明：易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，‎ 代入得，‎ 由得，.…………………………7分 设，，则 ‎，，……………………………………8分 则直线的方程为，‎ 令得：‎ ‎，‎ ‎∴直线过定点，又的右焦点为，∴直线与轴的交点为.…………12分 ‎22.解：（1）由，得，‎ 则，……………………………………………………2分 即，………………………………………………3分 解得，∴不等式的解集为.…………………………5分 ‎（2）∵，………………7分 又对任意恒成立，即对任意恒成立，……8分 ‎∴，解得或，‎ ‎∴实数的取值范围是.………………………………10分