- 2021-07-01 发布 |
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文档介绍
四川省泸州市2020届高三第三次教学质量诊断性考试数学（文）试题 Word版含解析
- 1 - 泸州市高 2017 级第三次教学质量诊断性考试 数学（文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页. 共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅 笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题 区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 设集合 { | 2 0}A x x , 2| 1 0 B x x ,则 A B （ ）. A. ( 2,0) B. [ 1,0) C. ( 2,1) D. [ 1,1] 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次不等式的方法求解集合 B ,再求解 A B 即可. 【详解】 2| 1 0 | 1 1B x x x x ,故 | 1 0A B x x .即[ 1,0) . 故选：B 【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题. 2. 若 2 1i iz ，则 z （ ） A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i 【答案】D 【解析】 【分析】 - 2 - 由 2 1i iz 得出 2 1 iz i ，利用复数的除法运算可求得复数 z . 【详解】由 2 1i iz 得出 2 12 1 11 1 1 i iiz i i ii i i . 故选：D. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数除法运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3. 已知点 (2,0)A ，动点 ( , )P x y 满足 0 0 x y y ，则| |PA 的最小值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 作出动点 ( , )P x y 满足 0 0 x y y ，的可行域，利用数形结合，由点 (2,0)A 到直线 x-y=0 的距 离求解即可. 【详解】因为动点 ( , )P x y 满足 0 0 x y y ，作出可行域如图所示阴影部分： 由图可知：点 (2,0)A 到直线 x-y=0 的距离最小，此时， 2 2 2 d ， 即| |PA 的最小值为 2 . 故选：C 【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离，还考查了数形结合的思想方法， - 3 - 属于基础题. 4. 新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民 众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性. 下面的图表给出了 4 月18日至 5 月5 日全国疫情每天新增病例的数据统计情况 下列说法中不正确的是（ ） A. 每天新增疑似病例的中位数为 2 B. 在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18 C. 每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数为13天 D. 在对新增确诊病例的统计中，样本是 4 月18日至 5 月 5 日 【答案】D 【解析】 【分析】 求出每天新增疑似病例的中位数，可判断 A 选项的正误；根据统计天数可判断 B 选项的正误； 统计出每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数，可判断 C 选项的正误；根据样 本的定义可判断 D 选项的正误. 【详解】对于 A 选项，每天新增疑似病例数由小到大依次为 0 、 0 、 0 、 0 、1、1、 2 、 2 、 2 、 2 、 2 、 2 、3 、 3 、 3 、3 、 3 、5 ，中位数为 2 ，A 选项正确； 对于 B 选项，由于共统计了18天，则在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18，B 选项正 确； 对于 C 选项，从 4 月18日至 5 月 5 日中每天新增确诊与新增疑似病例之和分别为36、23、38、 - 4 - 16 、 40 、15 、11、16 、14、 7 、 24 、 7 、15 、 5 、5 、8 、 4 、 5 ， 其中，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过 20 例的天数为13 ，C 选项正确； 对于 D 选项，在对新增确诊病例的统计中，样本是 4 月18日至 5 月5 日每天新增病例的数据， D 选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查利用折线统计图的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 5. 已知曲线 1xf x e （其中 e 为自然对数的底数）在点 0, 0f 处的切线为 l ，命题 :p 点 1,3 在直线l 上，命题 :q 点 1,2 在直线 l 上，则下列命题正确的是（ ） A. p q B. p q C. p q D. p q 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数求出切线l 的方程，进而可判断出命题 p 、q的真假，由此利用复合命题的真假可判 断出各选项的正误. 【详解】 1xf x e ，则 xf x e ， 0 2f ， 0 1f ， 所以，直线l 的方程为 2y x ，即 2y x ， 所以，点 1,3 在直线 l 上，点 1,2 不在直线 l 上，命题 p 为真命题，命题 q为假命题， 因此， p q 为真命题， p q 、 p q 、 p q 均为假命题. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了复合命题真假的判断，考查推 理能力，属于基础题. 6. 已知函数 3cos 1( ) xf x x ，则该函数的部分图象大致是（ ）. A. B. C. - 5 - D. 【答案】A 【解析】 【分析】 运用排除法，由函数的解析式，根据函数奇偶性的判断方法得出函数的奇偶性，再运用特殊 点的函数值的正负，可排除选项，得出答案. 【详解】因为 3cos 1 3cos 1( ) x xf x f xx x ，所以函数 f x 是奇函数，其 图像关于原点对称，所以排除 C、D 选项； 根据 x 取非常小的正实数时， 0f x ，排除 B 选项， 故选：A． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数值的符号判定函数的图象，属于基础题. 7. 等差数列 na 的公差不为零，其前 n 项和为 nS ，若 7 43a a ，则 10 4 S a 的值为（ ）. A. 15 B. 20 C. 25 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】 由等差数列的性质可得, 12 3a d ，代入 10 4 S a 中，可得选项. 【详解】因为等差数列 na 的公差不为零，其前 n 项和为 nS ， 又 7 4 1 1 1, +6 3 , 23 +3 3d d da a a a a , 所以 1 1 1 1 1 1 10 4 4 0 05 3010 3 22 1S +a a a d + a a a ad , 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的前 n 项和公式与等差数列性质的综合应用,是高考重点考查的 - 6 - 内容，属于基础题. 8. 函数 ( )f x 是定义在[ 2, ]m m 上的奇函数，当 0x 时， ( ) 3 1xf x ，则 ( )f m 的值为 （ ）. A. 2 B. 2 C. 2 3 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由奇函数定义域关于原点对称可求得 1m ，由奇函数的性质即可求得结果. 【详解】函数 ( )f x 是定义在[ 2, ]m m 上的奇函数，则 2 0m m ，解得： 1m ， 则 -1 2( )= (1)=- (-1)=- 3 -1 = 3f m f f . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，其中解答中熟练应用函 数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，下列命题中正确的是（ ）. A. AC 与 1B C 是相交直线且垂直 B. AC 与 1A D 是异面直线且垂直 C. 1BD 与 BC 是相交直线且垂直 D. AC 与 1BD 是异面直线且垂直 【答案】D 【解析】 【分析】 利用异面直线成角的定义可判断 A，B，C，利用线面垂直的判定和性质定理即可判断 D. 【详解】连接 1AB ,则 1ABCV 为等边三角形，则 AC 与 1B C 是相交直线且成角为 60 ，故 A 错误； 因为 1 1//A D B C ，所以 AC 与 1A D 是异面直线且成角为 60 ，故 B 错误； - 7 - 连接 1CD ，因为 BC ⊥面 1CD ,所以 1BC CD ,所以 1BD 与 BC 成角为 1D BC 为锐角故 C 错 误； 连接 BD ，因为 1,AC BD AC DD ，且 1=BD DD D ,所以 AC 面 1BDD ，则 1AC BD ，则 AC 与 1BD 是异面直线且垂直，故 D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 10. 定义在实数集 R 上的函数 ( )f x 满足 ( 1) (1 )f x f x ，且当 1x 时， ( )f x 是增函数， 则 3log 2a f ， 3 1log 2 b f ， (3)c f 的大小关系正确的是（ ）. A. a b c B. b c a C. c a b D. b a c 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得函数 ( )f x 的图象关于直线 1x 对称，且在 1, 上单调递增，利用函数的对称 性和单调性比较大小即可. 【详解】 ( 1) (1 )f x f x ， ( )f x 关于 1x 对称， 又 1x 时， ( )f x 是增函数， 3 3 3 9log 2 2 log 2 log 2f f f ， 3 3 33 3 1 9log log 2 log 4, log 4 log 32 21 ， b a c . - 8 - 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数图象的对称性，并且会根据函数的单调性比较函 数值的大小. 11. 已知点 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点，过点 F 的直线l 交C 于 A 、 B 两点，与 C 的准线交于点 M ，若 0AB AM ，则 AB 的值等于（ ） A. 3 4 p B. 2p C. 3p D. 9 4 p 【答案】D 【解析】 【分析】 作出图形，可知点 A 为线段 BM 的中点，利用相似三角形可求得 AB 的值. 【详解】如下图所示，分别过点 A 、 B 作抛物线C 的准线l 的垂线，垂足分别为点 D 、 E ， 0AB AM ，则点 A 为线段 BM 的中点， 2BE AD ， 由抛物线的定义可得 AD AF ， BE BF ， 2BF AF ， 3AM AB AF ， //AD FN ， 3 4 AD AM FN FM ， 3 3 4 4 pAD FN ， 因此， 93 3 4AB AF AD p . 故选：D. - 9 - 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，考查了抛物线定义的应用，属于中等题. 12. 已知曲线 : ( ) sin 4 3 C f x x ,把C 上各点横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得 到函数 ( )g x 的图象,关于 ( )g x 有下述三个结论： （1）函数 ( )g x 在 11 5,12 12 上是减函数； （2）当 1 2 3, ,4 12 x x ,且 1 2x x 时, 1 2g x g x ,则 1 2 3 2 g x x ； （3）函数 1( ) 26 2 6 m x g x g x （其中 (0,2 )x ）的最小值为 3 3 2 . 其中正确结论的个数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数图像的变换求解 ( )g x ,再根据三角函数的单调区间、对称性判断(1)(2),求导分 析函数的单调性与最值判断(3)即可. 【详解】由题, sin 2 3g x x . 对(1),当 11 5,12 12x 时, 32 ,3 2 2x ,又 siny x 在区间 3 ,2 2 上 为减函数.故(1)正确. 对(2),当 3 ,4 12x 时, 72 ,3 6 6x ,其取最小值时的对称轴为 2 3 2x ,即 5 12x . 故当 1 2g x g x 且 1 2x x 时, 1 2 5 52 12 6x x . 故 5 5 3sin 26 6 3 2g .故(2)正确. - 10 - 对(3),代入 g x 有 ( ) sin 2 2sinm x x x . 故 2( ) 2cos2 2cos 2 2cos 1 cos 2 2cos 1 cos 1m x x x x x x x . 故当 0, 3x 时, 0m x , m x 单调递增； 当 5,3 3x 时 0m x , m x 单调递减； 当 5 ,23x 时 0m x , m x 单调递增. 又 0 0m , 5 3 3 3 2m .故 m x 在区间上的最小值为 3 3 2 .故(3)正确. 故(1)(2)(3)均正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像变换以及根据三角函数的解析式判断单调性,以及利 用对称性求解三角函数值等.同时也考查了结合导数分析函数单调性与最值的方法.属于难 题. 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出， 确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共 10 个小题，共 90 分. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上） 13. 已知平面向量 a 与 b 满足 2a b ，且 ( 2 ) 5 a a b ，则| |a ________. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据向量数量积的运算，直接计算即可得出结果. 【详解】因为向量 a ， b 满足 2a b ， ( 2 ) 5 a a b ， 所以 2 22 4 5a a b a ， 2 9a ，因此 3a ， - 11 - 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查已知向量数量积求向量的模，熟记运算法则即可，属于基础题目. 14. 已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 4 1 8a ， 3 1 3 4 S a ，则该数列的公比为 ________. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 首先根据 3 1 3 4 S a 得到 2 3 3 4a a ，再根据 4 1 8a 得到 26 1 0q q ，解方程即可. 【详解】因为 1 2 33 1 1 2 3 3 4a a aS a a a a ， 所以 4 4 2 3 2 3 4 a aa a q q ，即 2 1 1 3 4 8 8 q q ， 整理得： 26 1 (3 1)(2 1) 0q q q q ， 解得： 1 2q 或 1 3q . 因为 0q ，所以 1 2q . 故答案为： 1 2 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了学生的计算能力，属于简单题. 15. 已知双曲线 2 2: ( 0) C x y m m 的渐近线与圆 2 2 2 0 x y ym 有交点，若连接所 有交点的线段围成的几何图形 M 的面积为 16，则 m 的值是________. 【答案】4 【解析】 【分析】 首先根据题意得到双曲线的渐近线方程 y x 和圆的圆心 (0, )m ，半径 r m ，并画出图形， 联立 2 2 2 0x y ym y x 得到 ( , )A m m ，根据对称性得到 ( , )B m m ，再根据几何图形 M 的 面积为16 即可得到 m 的值. - 12 - 【详解】由题知：双曲线 2 2: ( 0) C x y m m 的渐近线方程为 y x . 圆 2 2 2 0 x y ym 的标准方程为： 2 2 2( )x y m m ， 圆心 (0, )m ，半径 r m ，如图所示： 联立 2 2 2 0x y ym y x ，解得 x y m ，即 ( , )A m m . 根据双曲线和圆的对称性可知： ( , )B m m . 所以几何图形 M 的面积为 1 2 162 m m ，解得 4m . 因为 0m ，所以 4m . 故答案为： 4 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，同时考查圆和双曲线的对称性，属于中档题. 16. 已知一块边长为 2 正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，沿虚线裁剪，可焊接成 一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的 全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为 ________ 【答案】 6 8 【解析】 【分析】 - 13 - 根据题意，沿正三角形的边的中点裁剪，焊接构成正四面体，根据结论求得半径，利用公式 求得体积. 【详解】取正三角形的各边的中点，沿虚线裁剪，焊接构成一个棱长为 1 的正四面体， 由棱长为 a 的正四面体的外接球的半径为 6 4R a ， 可知该正四面体的外接球的半径为 6 4R ， 所以其体积为 34 6 6( )3 4 8V ， 故答案为： 6 8 . 【点睛】该题考查的是有关正四面体的外接球的问题，涉及到的知识点有正四面体的外接球 的半径，求得体积公式，属于简单题目. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 某省从 2021 年开始，高考采用取消文理分科，实行“3 1 2 ”的模式，其中的“1”表 示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目.某校高一年级有 2000 名 学生（其中女生 900 人）.该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方 法抽取了 200 名学生进行问卷调查，下表是根据调查结果得到的 2 2 列联表. 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 ________ 50 m - 14 - 女生 30 ________ n 总计 ________ ________ 200 （1）求 m ， n 的值； （2）请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由. 2 0P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d ，其中 n a b c d . 【答案】（1） 110m ； 90n （2）有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关，详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据分层抽样以及女生由 900 人，则由 200 2000 1100 m 求解，进而得到 n. （2）根据（1）的数据完成列联表，然后代入公式 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d 求得 2K ， 再与临界表对比下结论. 【详解】（1）根据题意得， 200 2000 1100 m 解得 110m ， 所以女生人数为 200 110 90 n 人； （2）列联表如下： 性别 选择物理 选择历史 总计 - 15 - 男生 60 50 110 女生 30 60 90 总计 90 110 200 计算 2 2 200 (60 60 50 30) 110 90 90 110 K 8.999 7.879 ， 所以有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关. 【点睛】本题主要考查独立性检验以及分层抽样，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18. 在 ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,且 2 2 cosa b c A . （1）求C ； （2）若 1a , ABC 的面积为 3 ,求 c . 【答案】（1） 2 3C （2） 21c 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理边角互化,结合两角和的正弦公式化简求解即可. (2)根据三角形的面积公式可得 4b ,再代入余弦定理求解 c 即可. 【详解】解：（1）由正弦定理得sin 2sin 2sin cos A B C A, 所以 sin sin( ) sin cos cos sinB A C A C + A C , 则sin 2sin cos 0A A C , 又因为sin 0A ,所以 1cos 2C , (0, )C , 所以 2 3C ； （2） ABC 的面积为 3 ,所以 1 21 sin 32 3 b , 解得 4b , 由 2 216 1 2 1 cos 213c 4 , - 16 - 所以 21c . 【点睛】本题主要考查了解三角形与三角恒等变换的运用,需要根据题意选择合适的公式进行 化简.属于基础题. 19. 如图，四棱锥 S ABCD 的侧面 SAD 是正三角形， //AB CD ，且 AB AD ， 2 4AB CD ， E 是 SB 中点. （1）求证： //CE 平面 SAD ； （2）若平面 SAD 平面 ABCD ，且 4 2SB ，求多面体 SACE 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 8 3 3 【解析】 【分析】 （1）取 SA的中点 F ，连接 EF ，通过证明四边形 EFDC 是平行四边形，证得 CE FD ， 由此证得 CE 平面 SAD . （2）取 AD 中点G ，连接 SG ，通过割补法，由 S ACE S ABCD S ACD E ABCV V V V 计算出多 面体 SACE 的体积. 【详解】（1）取 SA的中点 F ，连接 EF ， 因为 E 是 SB 中点， 所以 EF AB∥ ，且 2AB EF ， 又因为 AB CD∥ ， 2AB CD ， 所以 EF DC ， EF DC ， 即四边形 EFDC 是平行四边形， 所以CE FD ， 又因为CE 平面 SAD ， FD 平面 SAD ， - 17 - 所以CE 平面 SAD ； （2）取 AD 中点G ，连接 SG ， 因为 SAD 是正三角形，所以 SG AD ， 因为平面 SAD 平面 ABCD ，且交线为 AD ， 所以 SG 平面 ABCD ， 因为 AB AD ，所以 AB 平面 SAD ， 所以 AB SA ， 故 2 2 4 SA SB AB ， 2 3SG ， 因为 E 是 SB 中点，所以点 E 到平面 ABCD 的距离等于 1 2 SG ， 所以多面体 SACE 的体积为： S ACE S ABCD S ACD E ABCV V V V 1 1 1 1 3 3 3 2 ABCD ACD ABCS SG S SG S SG 1 2 4 1 1 12 3 4 4 2 4 43 2 2 2 2 8 3 3 . 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查锥体体积的求法，考查空间想象能力和逻辑 推理能力，属于中档题. 20. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b 的左右焦点为 1F ， 2F ，离心率为 3 2 ，过点 2F 且垂 直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的弦长为 1. （1）求椭圆 E 的方程； - 18 - （2）若直线 ( 0)y kx m k 交椭圆 E 于点 C ， D 两点，与线段 1 2F F 和椭圆短轴分别交于 两个不同点 M ， N ，且| | | |CM DN ，求| |CD 的最小值. 【答案】（1） 2 2 14 x y （2） 5 2 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的离心率和过焦点且垂直于 x 轴的弦长列方程，解方程求得 ,a b ，由此求得椭 圆方程. （2）联立直线 ( 0)y kx m k 的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，结合| | | |CM DN 求得 k 的值，根据 m 的取值范围以及弦长公式，求得| |CD 的最小值. 【详解】（1）由题可知： 2 2 3 12 c be a a ，且 22 1b a ， 解得 2a ， 1b ， 3c . 则椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y ； （2）把 ( 0)y kx m k 代入 2 2 14 x y 得 2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m ， 设 1 1,D x y ， 2 2,C x y ，则 1 2 2 8 1 4 kmx x k ， 2 1 2 2 4 4 1 4 mx x k ， 又 ,0mM k ， (0, )N m ， 因| | | |CM DN ，所以 1 2 M Nx x x x ，即 1 2 M Nx x x x ， 所以 1 2 2 8 1 4 km m kx kx ， 因为 ( 0)y kx m k 与线段 1 2F F 和椭圆短轴分别交于两个不同点 M ， N ， 所以 0m ，又 0k ， 则 1 2k ， - 19 - 故 1 2 2x x m ， 2 1 2 2 2x x m ， 因为直线 ( 0)y kx m k 即 1 2y x m 与线段 1 2F F 及椭圆的短轴分别交于不同两点，由 于 1, 3b c ，直线 1 2y x m 过 0, , 2 ,0m m ， 所以 1 1 3 2 3 0 m m m ，即 3 3 2 2m ，且 0m ， 所以 22 1 2 1 2 1 2 5| | 1 42 CD k x x x x x x 2 2 25 ( 2 ) 4 2 2 5 22 m m m ， 因为 3 3 2 2m ，且 0m ， 所以当 3 2m 或 3 2m 时| |CD 的最小值为 5 2 . 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解 能力，属于中档题. 21. 已知函数 ( ) ln 1( 0) f x ax x x a . （1）求函数 ( )f x 的单调增区间； （2）函数 ( ) ( 1) ( ) g x m x f x ，当 0 1a 时， ( ) 0g x 恒成立，求整数 m 的最小值. 【答案】（1）单调增区间是 1 1 ,ae ；单调减区间是 1 1 0, ae （2）2 【解析】 【分析】 （1）利用 f x 的导函数 'f x 求得 f x 的单调增区间. （2）解法一：将不等式 ( ) 0g x 分离常数 m ，得到 ln 1 1 ax x xm x ，构造函数 ln 1( ) 1 ax x xh x x ，利用导数求得 h x 的最大值，由此求得 m 的取值范围，进而求得 m 的最小值. 解法二：将不等式 ( ) 0g x 分离常数 m ，得到 1 ln 1 ax x xm x ，构造函数 - 20 - 1 ln( ) 1 ax x xh x x ，对 x 分成 1x 、 0 1x 两种情况进行分类讨论，由此求得 m 的取 值范围. 【详解】（1）因为 ( ) (ln 1) 1 f x a x ， 由于 0a 时，由 ( ) 0f x 得 1 1 ax e ， 所以函数 ( )f x 的单调增区间是 1 1 ,ae ；单调减区间是 1 1 0, ae ； （2）解法一：因为 ( ) 0g x ，即 ( 1) ln 1 0 m x a x x ，因为 0x ， 所以 ln 1 1 ax x xm x ，令 ln 1( ) 1 ax x xh x x ， 所以 2 2 ( ln 1)( 1) ( ln 1) (ln 1) 2( ) ( 1) ( 1) a x a x ax x x a x xh x x x ， 设 ( ) (ln 1) 2 m x a x x ， 则 1( ) 1 m x a x ， 所以 0x 且 0 1a 时， ( ) 0m x ， 故 ( ) (ln 1) 2 m x a x x 在 (0, ) 上是增函数， 因为 (1) 2 2 0 m a ， 当 2 2 10 a ax e 时， ( ) ln 2 ln 2 2 m x a x ax a a x a 2 2 ln 2 2 0 a aa e a . 所以存在 0 (0,1)x 使 0 0 0ln 1 2 0 m x a x x ， 所以当 00,x x 时， ( ) 0m x 即 ( ) 0h x ， 当 0 ,x x 时， ( ) 0m x 即 ( ) 0h x ， 所以 ( )h x 在 00,x x 上增函数， 0 ,x x 上是减函数， 故 ( )h x 有最大值为 0 0 0 0 0 ln 1 1 ax x xh x x - 21 - 2 0 0 0 ( 1) 1 1 ax a x x 0 0 0 0 1 1 11 x ax axx ， 因为 0 (0,1)x ， 0 1a ，所以 01 2 h x ， 故 2m ，即整数 m 的最小值为 2. 解法二：因为 ( ) 0g x ，即 ( 1) ln 1 0 m x ax x x ，因为 0x ， 所以 1 ln 1 ax x xm x ，令 1 ln( ) 1 ax x xh x x ， （i）当 1x 时，因为 0 1a ，所以 ln 0 ax x ， 因此1 ln 0 x ax x ，所以只需 0m ； （ii）当 0 1x 时，因为 0 1a ，则 ln ln ax x x x ， 所以 1 ln( ) 1 x x xh x x ， 因此只需 1 ln( ) 1 x x xh x mx ，即 1 11 ln 1 0 m xx x ， 构造函数 1 1( ) 1 ln 1 p x m xx x ， 2 1( ) x mp x x ， 当 2m 时， ( )p x 在 (0,1) 上单调递减， min( ) (1) 2 0 p x p m ； 当 1m 时， ( ) ln 2 p x x ， 则 3 1 3 2 1 0 p e ，不满足题意； 当 0m 时， 1( ) ln 1 p x x x ， 则 1 0 p ee ，故不满足题意； 综上可知，整数 m 的最小值为 2. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立问 题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. - 22 - （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. 22. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如下图就是在平面直角坐标系的“心形曲 线”，又名 RC 心形线.如果以坐标原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其 RC 心形线的极坐标方程为 1 | cos | sin 1 . （1）求 RC 心形线的直角坐标方程； （2）已知 (0,2)P 与直线 3: 2 4 x ml y m （ m 为参数），若直线 l 与 RC 心形线交于两点 M ，N ， 求| | | |PM PN 的值. 【答案】（1） 2 2 | | 1 x y x y （2） 75 37 【解析】 【分析】 （1）利用两边平方的方法，结合极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得 RC 心形线的直角 坐标方程. （2）将直线 l 的参数方程转化为标准参数方程，然后代入 RC 心形线的直角坐标方程，利用 直线参数的几何意义，求得| | | |PM PN 的值. 【详解】（1）因为 1 | cos | sin 1 ， 所以 2 (1 | cos | sin ) 1 ， 即 2 | cos | sin 1 p ， 故 2 2 | | 1 x y x y ； - 23 - （2）因为 (0,2)P 在直线 3: 2 4 x ml y m （ m 为参数）上， 设直线l 的参数方程为 3 5 42 5 x t y t （t 为参数） 若直线l 与 RC 心形线交于两点 1 1,M x y ， 2 2,N x y ， 则只能交于 y 轴右侧部分 2 2 1 x y xy ， 将直线l 的参数方程，代入方程 2 2 1 x y xy ，化简得 237 22 3 025 5 t t ， 所以 1 2 75| | | | 37PM PN t t . 【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线利用直线参数的几何意 义求值，属于中档题. 23. 已知 ( ) | 2 4 | | 1|f x x x 的最小值为 m . （1）求 m 的值； （2）当 3 ma b c 时，证明： 2 2 2 16( 1) ( 1) ( 1) 3a b c . 【答案】（1）3（2）证明见解析； 【解析】 【分析】 （1）由绝对值定义分类去绝对值符号得分段函数，根据函数的性质求得最小值； （2）利用柯西不等式证明． 【详解】解：（1）因为 ( ) | 2 4 | | 1|f x x x ， 所以 3 3, 2 ( ) 5, 1 2 3 3, 1 x x f x x x x x ， 所以 min( ) (2) 3 m f x f . （2）证明：由柯西不等式有 2 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 11 1 1) a b c a b c - 24 - 所以 2 2 23 ( 1) ( 1) ( 1) 16 a b c ， 故 2 2 2 16( 1) ( 1) ( 1) 3a b c . 【点睛】本题考查用分类讨论法求含绝对值函数的最值，考查柯西不等式，解题时注意柯西 不等式的形式，一般要凑配出平方和的乘积，然后得出结论． - 25 -查看更多