2017高考数学（理,江苏）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题5 第17讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
第 17 讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
题型一| 圆锥曲线的定义及其标准方程
(1)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋y2
b2
＝1(0
0)．
又∵AF1＝3F1B，由AF1
→
＝3 F1B
→
得 B
－5c
3
，－b2
3 ，代入 x2＋y2
b2
＝1 得25c2
9
＋ b4
9b2
＝1，又 c2＝1－b2，∴b2＝2
3.
故椭圆 E 的方程为 x2＋3
2y2＝1.
(2)根据已知条件画出图形，如图．设 MN 的中点为 P，F1，F2 为椭圆 C 的
焦点，连结 PF1，PF2.显然 PF1 是△MAN 的中位线，PF2 是△MBN 的中位线，∴
AN＋BN＝2PF1＋2PF2＝2(PF1＋PF2)＝2×6＝12.]
【名师点评】 1.圆锥曲线方程的求法
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．定型就是指定类型，
也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
2．数形结合，画出图形．根据椭圆的定义及几何性质求解．
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知方程 x2
4－m
－ y2
2＋m
＝1 表示双曲线，则实
数 m 的取值范围为________．
(－2,4) [由题意可知(4－m)(2＋m)>0，解得－20，b>0)的一条渐近线的斜率为 2，且右焦点与
抛物线 y2＝4 3x 的焦点重合，则该双曲线的方程为________．
x2－y2
2
＝1 [由双曲线的方程得其渐近线方程为 y＝b
ax，则b
a
＝ 2，b＝ 2a，
又抛物线的焦点为( 3，0)，则双曲
线的右焦点为( 3，0)，即 c＝ 3，可解得 a＝1，b＝ 2，故双曲线的方程为
x2－y2
2
＝1.]
3．如图 17－1，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(a0)经过 C，F 两点，则b
a
＝________.
图 17－1
2＋1 [∵正方形 ABCD 的正方形 DEFG 的边长分别为 a，b，O 为 AD 的
中点，
∴C
a
2
，－a ，F
a
2
＋b，b .
又∵点 C，F 在抛物线 y2＝2px(p>0)上，
∴
a2＝pa，
b2＝2p
a
2
＋b ，
解得b
a
＝ 2＋1.]
题型二| 圆锥曲线的几何性质
(1)在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的
一条准线方程为 x＝1
2
，且它的一个顶点与抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双
曲线的渐近线方程为________．
(2)过点 M(1,1)作斜率为－1
2
的直线与椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)相交于 A，B
两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于________．
(1)y＝± 3x (2) 2
2 [(1)∵抛物线的焦点为(－1,0)，∴a＝1.
又a2
c
＝1
2
，∴c＝2，b＝ 3.
从而双曲线的渐近线方程为 y＝±b
ax，即 y＝± 3x.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x21
a2
＋y21
b2
＝1，
x22
a2
＋y22
b2
＝1，
∴x1－x2x1＋x2
a2
＋y1－y2y1＋y2
b2
＝0，
∴y1－y2
x1－x2
＝－b2
a2·x1＋x2
y1＋y2
.
∵y1－y2
x1－x2
＝－1
2
，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－b2
a2
＝－1
2
，
∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴c
a
＝ 2
2 .]
【名师点评】 1.两类离心率的求法：一是利用定义、方程、性质求出 a，c，
进而求 e；二是运用条件构建关于 a，c 的齐次方程，变形求 e.
2．两类离心率的变形应用：
(1)椭圆的离心率 e：e2＝c2
a2
＝1－b2
a2
，b
a
＝ 1－e2；
(2)双曲线的离心率 e：e2＝c2
a2
＝1＋b2
a2
，b
a
＝ e2－1.
1．已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为 5
2
，则双曲线 C 的渐近
线方程为________．
【导学号：19592051】
y＝±1
2x [双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±b
ax，离心率为 e＝c
a
＝ 5
2
，所以c2
a2
＝
5
4
＝a2＋b2
a2
，b2
a2
＝1
4
，
即b
a
＝1
2
，故渐近线方程为 y＝±1
2x.]
2．(2016·苏北三市三模)已知点 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，该抛物线上位于
第一象限的点 A 到其准线的距离为 5，则直线 AF 的斜率为________．
4
3 [由题意可知 F(1,0)，又由抛物线的定义可知
AF＝xA＋1，又 AF＝5，故 xA＝4.
∴yA＝4(yA＝－4 舍去)．
∴kAF＝4－0
4－1
＝4
3.]
3．双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)与抛物线 y2＝2px(p>0)相交于 A，B 两点，
公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F，则双曲线 C 的离心率为________．
2＋1 [抛物线的焦点为 F
p
2
，0 ，且 c＝p
2
，所以 p＝2c.根据对称性可知公
共弦 AB⊥x 轴，且 AB 的方程为 x＝p
2
，当 x＝p
2
时，yA＝p，所以 A
p
2
，p .又因为
双曲线左焦点 F1 的坐标为 －p
2
，0 ，所以 AF1＝
－p
2
－p
2 2＋p2＝ 2p，又 AF＝p，所以 2p－p＝2a，即( 2－1)×2c＝2a，
所以c
a
＝ 1
2－1
＝ 2＋1.]
题型三| 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直
线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．
(2)已知双曲线 x2－y2
3
＝1 上存在两点 M，N 关于直线 y＝x＋m 对称，且 MN
的中点在抛物线 y2＝18x 上，则实数 m 的值为________．
(1)9
4 (2)0 或－8 [(1)由已知得焦点坐标为 F
3
4
，0 ，因此直线 AB 的方程为
y＝ 3
3
x－3
4 ，即 4x－4 3y－3＝0.
法一：联立抛物线方程化简得 4y2－12 3y－9＝0，
故|yA－yB|＝ yA＋yB2－4yAyB＝6.
因此 S△OAB＝1
2OF|yA－yB|＝1
2
×3
4
×6＝9
4.
法二：联立方程得 x2－21
2 x＋ 9
16
＝0，故 xA＋xB＝21
2 .
根据抛物线的定义有 AB＝xA＋xB＋p＝21
2
＋3
2
＝12.
同时原点到直线 AB 的距离为 h＝ |－3|
42＋－4 32
＝3
8
，因此 S△OAB＝1
2AB·h＝9
4.
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 P(x0，y0)，则
x21－y21
3
＝1，①
x22－y22
3
＝1，②
由①－②得 x21－x22＝y21－y22
3
，
即(x1－x2)(x1＋x2)＝1
3(y1－y2)(y1＋y2)，
也即 2x0＝1
3·y1－y2
x1－x2
·2y0
＝1
3·(－1)·2y0，
∴y0＝－3x0，③
又 P 在直线 y＝x＋m 上，
∴y0＝x0＋m，④
由③④解得 P
－m
4
，3
4m ，
代入抛物线 y2＝18x 得，
9
16m2＝18·
－m
4 ，∴m＝0 或－8.
经检验 m＝0 或－8 均符合题意．]
【名师点评】 与直线和圆锥曲线相交的有关问题的求解策略
在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，
而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情
况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理
直线和二次曲线相交问题的最基本方法．
1．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)，右
焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F
到 l 的距离为 d2，若 d2＝ 6d1，则椭圆 C 的离心率为________．
3
3 [依题意，d2＝a2
c
－c＝b2
c .又 BF＝ c2＋b2＝a，所以 d1＝bc
a .由已知可得b2
c
＝ 6·bc
a
，所以 6c2＝ab，即 6c4＝a2(a2－c2)，整理可得 a2＝3c2，所以离心率 e
＝c
a
＝ 3
3 .]
2．已知点 A(1,0)，椭圆 C：x2
4
＋y2
3
＝1，过点 A 作直线交椭圆 C 于 P，Q 两
点，AP
→
＝2QA
→
，则直线 PQ 的斜率为________．
± 5
2 [设 Q(x0，y0)，P(xP，yP)，则AP
→
＝(xP－1，yP)，QA
→
＝(1－x0，－y0)，
由AP
→
＝2QA
→
，得 xP－1＝21－x0，
yP＝－2y0，
∴ xP＝3－2x0，
yP＝－2y0，
因为点 P，Q 都在椭圆上，
所以
x20
4
＋y20
3
＝1，
3－2x02
4
＋4y20
3
＝1，
解得
x0＝7
4
，
y0＝±3 5
8
，
即 Q 为
7
4
，±3 5
8 ，
P 为 －1
2
，±3 5
4 ，
所以直线 PQ 的斜率 k＝± 5
2 .]
3．直线 3x－4y＋4＝0 与抛物线 x2＝4y 和圆 x2＋(y－1)2＝1 从左到右的交点
依次为 A，B，C，D，则AB
CD
的值为________．
1
16 [由 3x－4y＋4＝0，
x2＝4y，
得 x2－3x－4＝0，解得 x＝－1 或 4.
所以 A
－1，1
4 ，D(4,4)．
直线 3x－4y＋4＝0 恰过抛物线的焦点 F(0,1)，且该圆的圆心为 F(0,1)，
所以 AF＝yA＋1＝5
4
，DF＝yD＋1＝5，
所以AB
CD
＝AF－1
DF－1
＝ 1
16.]
