四川省眉山市2020届高三第三次诊断性考试 数学（文）试题（PDF版）

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书书书 数学!文史类"试题 第 !!!!! 页!共"页" 秘密 " 启用前 !考试时间"!"!"年#月$%日$&'""!$('""# 眉山市高!"#$级第三次诊断性考试 数!学!文史类" !考试时间"$!"分钟!试卷满分"$&"分# 注意事项" $)答卷前$考生务必将自己的姓名%准考证号填写在答题卡上& !)回答选择题时$选出每小题答案后$用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑&如需改 动$用橡皮擦干净后$再选涂其它答案标号&回答非选择题时$将答案写在答题卡上&写在本试 卷上无效& %)考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回& 一$选择题"本题共$!小题%每小题&分%共*"分&在每小题给出的四个选项中%只有一项是符 合题目要求的& $!已知集合 "+ # $+ $ #槡# $,$ %%+#,!%,$%"%$%!%%$%则 "#%+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -!#,!%,$%"%$%!$ .!#"%$%!%%$ /!#$%!%%$ 0!#!%%$ !!已知1为虚数单位%复数&+,213!" % ,1452!" % %则&在复平面内对应的点位于 -!第一象限 .!第二象限 /!第三象限 0!第四象限 %!&实数#$$'是&657!#$"'的 -!充分不必要条件 .!必要不充分条件 /!充要条件 0!既不充分也不必要条件 #!函数'!#"+"213!!#8""!其中 "$"%!$"%%"%&" !"的图象如图%则此函数表达式为 -!'!#"+%213 !#8"! "# .!'!#"+%213 $ !#8"! "# /!'!#"+%213 !#,"! "# 0!'!#"+%213 $ !#,"! "# &!已知 (%)是两条不重合的直线%#是一个平面%则下列命题中正确的是 -!若 ('#%)'#%则 (') .!若 ('#%)(#%则 (') /!若 ())%()#%则)'# 0!若 ()#%)'#%则 ()) *!已知实数#%$ 满足约束条件 #,$8$*"% %#,$,%+"% $*" , - . % 则&+!#8$ 的最大值为 -!,$ .!! /!( 0!9 (!已知*%+%,分别是/"%- 三个内角"%%%- 的对边%*452- 槡8 %,213"++8,%则 "+ -!" * .!" # /!" % 0!!" % 9!(周易)是我国古代典籍%用&卦'描述了天地世间万象变化!右图是一 个八卦图%包含乾*坤*震*巽*坎*离*艮*兑八卦!每一卦由三个爻组 成%其中& '表示一个阳爻%& '表示一个阴爻"!若从含有两 个及以上阳爻的卦中任取两卦%这两卦的六个爻中恰有两个阴爻的 概率为 -!$ % .!$ ! /!! % 0!% # :!如 图%平 面 四 边 形 "-%. 中%"%)%-%"%)."%"%+".+$% %- 槡+ !%现将 /"%. 沿 "% 翻 折%使 点 . 移 动 至 点 /%且 /") "-%则三棱锥 /,"%- 的外接球的表面积为 -!9" .!*" /!#" 0!槡9 ! % " $"!设0$%0!是双曲线-+#! *! ,$! +! +$!*$"%+$""的左%右焦点%1 是坐标原点%过点 0!作- 的一 条渐近线的垂线%垂足为 /!若%/0$% 槡+ *%1/%%则- 的离心率为 -!槡! .!槡% /!! 0!% $$!函数'!#"+*#,!与2!#"+;# 的图象上存在关于直线$+# 对称的点%则*的取值范围是 -! ,<%;! ,# .! ,<%;! ,! /!!,<%;, 0!!,<%;!, $!!已知抛物线-+$!+## 和点.!!%""%直线#+3$,!与抛物线- 交于不同两点"%%%直线%. 与抛物线- 交于另一点4!给出以下判断+ #直线1% 与直线14 的斜率乘积为,!- $"4'$ 轴- %以%4 为直径的圆与抛物线准线相切! 其中%所有正确判断的序号是 -!#$% .!#$ /!#% 0!$% 数学!文史类"试题 第 # 页!共"页" 数学!文史类"试题 第 "!!!! 页!共"页" 二$填空题"本题共#小题%每小题&分%共!"分& $%!已知平面向量!+!(%!"%"+!$%%"%且")!!,""%则向量 !与" 的夹角的大小为!!!! $#!某中学举行了一次消防知识竞赛%将参赛学生的成绩进行 整理后分为&组%绘制如图所示的频率分布直方图%记图 中从左到右依次为第一*第二*第三*第四*第五组%已知第 二组的频数是9"%则成绩在区间.9"%$"",的学生人数是 !!!! $&!已知213 #8"! "# +% &%且" #&#&%" # %则452#的值为!!!! $*!已知'!#"是定义在 % 上的偶函数%其导函数为 '5!#"!当 #$" 时%'5!#"&!#%则不等式 '!!#"$'!$"8##!,$的解集是!!!! 三$解答题"共("分&解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤&第$(!!$题为必考题%每个 试题考生都必须作答&第!!$!%题为选考题%考生依据要求作答& '一(必考题"共*"分& $(!!本小题满分$!分" 某商场为改进服务质量%在进场购物的顾客中随机抽取了!""人进行问卷调查!调查后%就顾 客&购物体验'的满意度统计如下+ 满意 不满意 男 #" #" 女 9" #" !$"是否有:(=&>的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关/ !!"若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了*人发放价值$""元的购物券!若 在获得了$""元购物券的*人中随机抽取!人赠其纪念品%求获得纪念品的!人中仅有$ 人是女顾客的概率! 附表及公式+6!+ )!*7,+,"! !*8+"!,87"!*8,"!+87"! /!6!*8"" "=$& "=$" "="& "="!& "="$" "=""& "=""$ 8" !="(! !=("* %=9#$ &="!# *=*%& (=9(: $"=9!9 $9!!本小题满分$!分" 已知等差数列#*)$满足*$+$%公差7$"%等比数列#+)$满足+$+*$%+!+*!%+%+*&! !$"求数列#*)$%#+)$的通项公式- !!"若数列#,)$满足,$ +$ 8,! +! 8,% +% 808,) +) +*)8$%求#,)$的前)项和9)! $:!!本小题满分$!分" 如图%在 四 棱 锥 /,"%-. 中%底 面 "%-. 是 菱 形% 0%".+*"?%//". 是 边 长 为 ! 的 正 三 角 形%/-+ 槡$"%4 为线段". 的中点! !$"求证+平面 /%-)平面 /%4- !!"是否存在满足 122/0+$ 1220-!$$""的点0%使得:%,/"4 +% #:.,/0% / 若存在%求出$的值-若不 存在%请说明理由! !"!!本小题满分$!分# 已知椭圆- 的中心在坐标原点1%其短半轴长为$%一个焦点坐标为!$%""%点" 在椭圆- 上% 点% 在直线$ 槡+ !上的点%且1")1%! !$"证明+直线 "% 与圆#!8$!+$相切- !!"求/"1% 面积的最小值! !$!!本小题满分$!分" 已知函数'!#"+;#,#63#8*#%'5!#"为'!#"的导数%函数'5!#"在#+#" 处取得最小值! !$"求证+63#"8#"+"- !!"若#*#" 时%'!#"*$恒成立%求*的取值范围! '二(选考题"共$"分&请考生在第!!$!%题中任选一题作答%如果多做%则按所做的第一题记分& !!!!本小题满分$"分"选修#,#+坐标系与参数方程 在直角坐标系#1$ 中%曲线-$的参数方程为 #+452%% $+213% , - . ! 以 1 为极点%# 轴正半轴为极轴建立 极坐标系%设点 " 在曲线-!+&213%+$上%点% 在曲线-%+%+," *!&$""上%且/"1% 为正 三角形! !$"求点 "%% 的极坐标- !!"若点 / 为曲线-$上的动点%; 为线段"/ 的中点%求%%;%的最大值! !%!!本小题满分$"分"选修#,&+不等式选讲 已知函数'!#"+%!#8$%! !$"解不等式+'!#"8'!#,!"+*- !!"求证+'!#8*!",'!#,$"+%#8!*!8%%8%#8!*,*!%! 数学!文史类"试题 第 $ 页!共"页" 书书书 数学!文史类"试题答案 第 !!!!! 页!共"页" 数学!文史类"参考答案 评分说明! !"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则" #"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果 后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分" $"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数" %"只给整数分"选择题和填空题不给中间分" !"&!#"'!$"(!%"'!)"&!*"(!+"(!,"'!-"(!!."'!!!"(!!#"' !$!! %!!!%!$.!!!)!/槡# !.!!!*! /! ##! "! # !+!解析$!!"由题得 "#0#..!%.1%./,.1%."# !#.1,.1,.1!#. 0). -")2))*#)2.#%# 所以#有-+2)3的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关! )分………………………… !#"获得了!..元购物券的*人中男顾客有#人#记为 #!###%女顾客有%人#记为 $!#$## $$#$%! *分………………………………………………………………………………………… 从中随机抽 取 # 人#所 有 基 本 事 件 有$!#!###"#!#!#$!"#!#!#$#"#!#!#$$"#!#!#$%"# !###$!"#!###$#"#!###$$"#!###$%"#!$!#$#"#!$!#$$"#!$!#$%"#!$##$$"#!$##$%"# !$$#$%"#共!)个! -分…………………………………………………………………………… 其中仅有 ! 人是 女 顾 客的 基本 事件 有$!#!#$!"#!#!#$#"#!#!#$$"#!#!#$%"#!###$!"# !###$#"#!###$$"#!###$%"#共,个! 所以#获得纪念品的#人中仅有!人是女顾客的概率 %0, !)! !#分………………………… !,!解析$!!"由题意知#&!0!#公差'#.#有!#!4'#!4%' 成等比数列# 所以!!4'"#0!1!!4%'"#解得'0#! %分…………………………………………………… 所以数列&&('的通项公式&(0#(/!! 数列&)('的公比*0$#其通项公式)(0$(/!! *分……………………………………………… !#"当(0!时#由+! )! 0&##所以+!0$! +分……………………………………………………… 当($#时#由+! )! 4+# )# 4+$ )$ 4(4+( )( 0&(4!#+! )! 4+# )# 4+$ )$ 4(4+(/! )(/! 0&(# 数学!文史类"试题答案 第 #!!!! 页!共"页" 两式相减得+( )( 0&(4!/&(# 所以+(0#)$(/!! 故+(0 $!(0!"# #)$(/!!($#"% & ' ! !.分…………………………………………………………………… 所以&+('的前(项和,(0$4#1$4#1$#4#1$$4(4#1$(/! 0$4# $1!!/$(/!"* +!/$ 0$(! !#分……………………………………………………………… !-!解析$!!"证明$因为(%#- 是正三角形#. 为线段#- 的中点# 所以 %.)#-! !分……………………………………………………………………………… 因为 #$/- 是菱形#所以 #-0#$! 因为*$#-0*.5# 所以(#$- 是正三角形# 所以$.)#-# $分……………………………………………………………………………… 所以 #-)平面 %$.! %分……………………………………………………………………… 又 #-+$/# 所以$/)平面 %$.! )分……………………………………………………………………… 因为$/,平面 %$/# 所以平面 %$/)平面 %$.! *分………………………………………………………………… !#"解$由 -..%00! -..0/#知!!4!"0/0%/! +分…………………………………………………… 所以#1$/%#. 0! #1%/#-$ 0! #1%/$/- 0!4! # 10/$/- # -分……………………………………… 1-/%0$ 01%/$-/ /10/$-/ 0!10/$/- ! !!分……………………………………………………… 因此#1$/%#. 0$ %1-/%0$ 的充要条件是!4! # 0$! %# 所以#!0#2 !#分………………………………………………………………………………… 即存在满足 -..%00! -..0/!!#."的点0#使得1$/%#. 0$ %1-/%0$ #此时!0#! #.!解析$!!"由题意#椭圆/ 的焦点在2 轴上#且)0+0!#所以& 槡0 #! 所以椭圆/ 的方程为2# #43#0!! #分…………………………………………………………… 由点$ 在直线3 槡0 #上#且4#)4$ 知4# 的斜率必定存在# 当4# 的斜率为.时#/4#/ 槡0 ##/4$/ 槡0 ## 于是/#$/0##4 到#$ 的距离为!#直线 #$ 与圆2#43#0!相切! %分…………………… 当4# 的斜率不为.时#设4# 的方程为3052#与2# #43#0!联立得!!4#5#"2#0## 所以2# # 0 # !4#5##3# # 0 #5# !4#5##从而/4#/#0#4#5# !4#5#! 数学!文史类"试题答案 第 $!!!! 页!共"页" 而4$)4##故4$ 的方程为20/53#而$ 在3 槡0 #上#故2 槡0/ #5# 从而/4$/#0#4#5##于是 ! /4#/#4 ! /4$/#0!! 此时#4 到#$ 的距离为!#直线 #$ 与圆2#43#0!相切! 综上#直线 #$ 与圆2#43#0!相切! ,分……………………………………………………… !#"由!!"知#(#4$ 的面积为 ,0! #/4#/)/4$/0 #4#5# # !4#5槡 # 0!4!!4#5#" # !4#5槡 # 0! # ! !4#5槡 # 4 !4#5槡! "# $!# 上式中#当且仅当50.等号成立# 所以(#4$ 面积的最小值为!! !#分…………………………………………………………… #!!解析$!!"由题67!2"062/7824&/!# 令8!2"062/7824&/!#则87!2"062/! 2#知87!2"为!.#49"的增函数# 因为87!!"06/!#.#87! "! # 槡0 6/#0.# 所以#存在! #09.0!使得87!9."0.#即69. /! 9. 0.! #分……………………………………… 所以#当21!.#9."时87!2"087!9."0.#8!2"为减函数# 当21!9.#49"时87!2"#87!9."0.#8!2"为增函数# 故当209. 时#8!2"取得最小值#也就是67!2"取得最小值! %分……………………………… 故2.09.#于是有62. /! 2. 0.#即62. 0! 2. # 所以有782.42.0.#证毕! )分………………………………………………………………… 评分细则!"直接用$8%2&在202. 处取得最小值!则87%2.&0.'的!扣掉#分#有8%2&的单 调性分析!说明取得最小值的点不是端点!从而得到87%2.&0.视为正确!即可不扣分" #分段给分点建议这样把握(求出一阶导数!分!二阶导数!分#正确说明87%2.&0.!#分# 得出结论!分"共)分" !#"由!!"知#67!2"062/7824&/!的最小值为! 2. 42.4&/!# "当! 2. 42.4&/!$.#即&$!/ ! 2. 42! ". 时#6!2"为*2.#49"的增函数# 所以6!2":;806!2."062. /2.782.42.&0! 2. 42. #42.&# $! 2. 42. #42. !/ ! 2. 42! "* +. 0! 2. 42./!# 由!!"中! #02.0!#得 ! 2. 42! ". /!#!#即6!2"#!! 故&$!/ ! 2. 42! ". 满足题意! +分……………………………………………………………… 数学!文史类"试题答案 第 %!!!! 页!共"页" #当! 2. 42.4&/!0.#即&0!/ ! 2. 42! ". 时#67!2"有两个不同的零点2!#2## 且2!02.02##即67!2#"062# /782#4&/!0.2&0782#/62# 4!# 若21!2.#2#"时67!2"067!2#"0.#6!2"为减函数#!3" 若21!2##49"时67!2"#67!2#"0.#6!2"为增函数# 所以6!2"的最小值为6!2#"! 注意到6!!"064&0!时#&0!/6#且此时67!!"064&/!0.# !$"当&$!/6时#67!!"064&/!$.067!2#"# 所以.02#4!#即!/2#$.# 又6!2#"062# /2#782#4&2#062# /2#782#4!782#/62# 4!"2#0!!/2#"62# 42# 0!!/2#"!62# /!"4!# 而62# /!#.#所以!!/2#"!62# /!"4!#!# 即6!2#"#!! !.分………………………………………………………………………………… 由于在! #02.0!下#恒有 ! 2. 42! ". 06#所以!/60!/ ! 2. 42! ". ! !%"当&0!/6时#67!!"064&/!0.067!2#"# 所以2##!#2.# 所以由!3"知21!!#2#"时#6!2"为减函数# 所以6!2"06!!"064&0!#不满足2$2. 时#6!2"$!恒成立#故舍去! 故!/64&0!/ ! 2. 42! ". 满足条件! 综上所述$&的取值范围是*!/6#49"! !#分………………………………………………… 选考题"!.分# ##!解析$!!"因为点$ 在曲线/$$"0/! *!##."上#(#4$ 为正三角形# 所以点 # 在曲线"0! *!##."上! #分…………………………………………………………… 又因为点 # 在曲线/#$#<;8"0!上# 所以点 # 的极坐标是 ##!! "* # %分……………………………………………………………… 从而#点$ 的极坐标是 ##/!! "* ! )分………………………………………………………… !#"思路!$ 由!!"可知#点 # 的直角坐标为!槡$#!"! 设点 : 的直角坐标为!2#3"#则点 % 的直角坐标为!#2 槡/ $##3/!"! 将此代入曲线/!的方程#有 20槡$ # 4! #=><"# 30! #4! #<;8" % & ' ! ,分…………………………………………… 数学!文史类"试题答案 第 "!!!! 页!共"页" 即点 : 在以; 槡$ # #! "! # 为圆心#! #为半径的圆上! 计算可知/$;/ 槡0 $# 所以/$:/的最大值为/$;/4! #0! # 槡4 $! !.分……………………………………………… 思路#$ 设线段4# 的中点为;#则/$;/ 槡0 $! 如图#易知 :;+%4#且/:;/0! #/%4/# ,分…………… 由已知#曲线/!是以4 为圆心#!为半径的圆# 所以点 : 在以; 为圆心#! #为半径的圆上! 所以#/$:/的最大值为/$;/4! #0! # 槡4 $! !.分……… #$!解析$!!"由于6!2"46!2/#"0/#24!/4/#2/$/# 于是原不等式化为/#24!/4/#2/$/4*# 若20/! ##则/#2/!/!#2/$"4*#解得/!420/! #% #分……………………………… 若/! #424$ ##则/#2/!4!#2/$"4*#解得/! #424$ #% 若2#$ ##则#24!4!#2/$"4*#解得$ #024#! 综上所述#不等式解集为&2//!424#'! )分………………………………………………… !#"由已知条件# 对于521!#可得 6!24&#"/6!2/!"0/#24#!///#2/!/4/##/0##! *分………………… 又/24#$/4/24#&/&#/$/#$/!#&/&#"/0/$&#/#&4$/# 由于$&#/#&4$0$&/! "! $ # 4, $#.# 所以/24#$/4/24#&/&#/$$&#/#&4$! ,分………………………………………… 又由于$&#/#&4$/!##"0&#/#&4!0!&/!"#$.# 于是$&#/#&4$$##! 所以6!24&#"/6!2/!"4/24#$/4/24#&/&#/! !.分………………………………