数学理卷·2017届河北省唐山市高三第三次模拟（2017

数学理卷·2017届河北省唐山市高三第三次模拟（2017

唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的4个个体的编号为（ ）‎ A.05 B.09 C.11 D.20‎ ‎4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）‎ A. B.或 C.2 D. ‎ ‎5.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）‎ A.或或1 B. C.或1 D.1 ‎ ‎6.数列是首项，对于任意，有，则前5项和（ ）‎ A.121 B.25‎ C.31 D.35‎ ‎7.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）‎ A.4 B.8 C. D.‎ ‎8.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎9.若，则（ ）‎ A.1 B.513 C.512 D.511‎ ‎10.函数（）在内的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.抛物线的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点在抛物线上，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数有两个极值点，且，若，函数，则（ ）‎ A.恰有一个零点 B.恰有两个零点 C.恰有三个零点 D.至多两个零点 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，则在方向上的投影为 ．‎ ‎14.直线的三个顶点都在球的球面上，，若三棱锥的体积为2，则该球的表面积为 ．‎ ‎15.已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则实数 .‎ ‎16.数列的前项和为，若，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，角，，所对应的边分别为，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，为锐角，求的取值范围.‎ ‎18.某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：‎ 男同学人数 ‎7‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎1‎ 女同学人数 ‎8‎ ‎9‎ ‎17‎ ‎13‎ ‎3‎ ‎2‎ 若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.‎ ‎（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？‎ ‎（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.‎ ‎（i）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；‎ ‎（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图，平行四边形中，，，，，分别为，的中点，‎ 平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.已知椭圆经过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与圆相切于点，且与椭圆相交于不同的两点，，求的最大值.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在区间有唯一零点，证明：.‎ ‎22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）当时，，求满足的的取值范围.‎ 唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试 理科数学参考答案 一．选择题：‎ BACCD DBDAC BA 二．填空题：‎ ‎（13） （14） （15） （16）‎ 三．解答题：‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）由根据正弦定理得，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 得． ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得，‎ 由知，‎ 由为锐角，得，所以.‎ 从而有.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有人，则，解得.‎ 所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人. ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率：‎ ‎.‎ ‎（ⅱ）可取0，1，2，3.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ ‎（19）解：‎ ‎（1）连接，因为平面，平面，所以，‎ 在平行四边形中，，，‎ 所以，，‎ 从而有，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以平面，平面，‎ 从而有，‎ 又因为，，‎ 所以平面.‎ ‎（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ 因为平面，所以，‎ 又因为为中点，所以，‎ 所以，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，，‎ 令，得.‎ 设直线与平面所成的角为，则：‎ ‎，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由已知可得，，解得，，‎ 所以椭圆Γ的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）当直线垂直于轴时，由直线与圆：相切，‎ 可知直线的方程为，易求.‎ 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，‎ 由直线与圆相切，得，即，‎ 将代入，整理得，‎ 设，，则，，‎ ‎，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 综上所述，的最大值为2.‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ），，‎ 令，，‎ 若，即，则，‎ 当时，，单调递增，‎ 若，即，则，仅当时，等号成立，‎ 当时，，单调递增.‎ 若，即，则有两个零点，，‎ 由，得，‎ 当时，，，单调递增；‎ 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增.‎ 综上所述，‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递增，‎ 在上单调递减. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.‎ 此时，就是函数在区间的唯一零点.‎ 所以，从而有，‎ 又因为，所以，‎ 令，则，‎ 设，则，‎ 再由（1）知：，，单调递减，‎ 又因为，，‎ 所以，即.‎ ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．‎ 设，则，则有．‎ 所以，曲线的极坐标方程为． ‎ ‎（Ⅱ）到射线的距离为，‎ ‎，‎ 则． ‎ ‎（23）解：‎ ‎（Ⅰ）,‎ 所以表示数轴上的点到和1的距离之和，‎ 因为或2时，‎ 依据绝对值的几何意义可得的解集为． ‎ ‎（Ⅱ），‎ 当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；‎ 当时，，‎ 由得，解得，又因为，所以；‎ 当时，，解得，‎ 综上，的取值范围是．‎