数学理卷·2018届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试（2018

数学理卷·2018届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试（2018

‎ 惠州市2018届高三第三次调研考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎（1）集合，，则= （　 　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎（2）已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎（3）抽奖一次中奖的概率是，5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为（　 　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎（4）等比数列中，，，则（　 　）‎ A．8 B．16 C．32 D．64‎ ‎（5）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，则（　 　）‎ A．-2 B．2 C．-3 D．3‎ ‎（6）若展开式中所有二项式系数之和是512 ，常数项为 ，则实数的值是（　 　）‎ A．1 　　 　B．﹣1 　 　C．　　 D．‎ ‎（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（　 　）‎ A． 　B．1 　C． 　　D．4 ‎ ‎（8）如图是一个算法的流程图，则输出的值是（ ）‎ A．15 B．31 C．63 D．127 ‎ ‎（9）已知，则的值为（　 　）‎ A．　 　 B． C． D． ‎ ‎（10）已知是圆:的两条切线(是切点), 其中是直线上的动点，那么四边形的面积的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎（11）已知函数满足,的导数,‎ 则不等式的解集是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎（12）已知函数，设在点N*）处的切线在轴上的截距为，数列满足：，，在数列中，仅当时，取最小值，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知向量，则　 　 　 　．‎ ‎（14）设x,y满足约束条件，则的最大值为　 　 　　 　．‎ ‎（15）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2017项和　 　 　 　．‎ ‎ (16)设为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于的点,使得 ‎,其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是 　　　． ‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在中，、、分别为角、、所对的边，．‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2) 若，求外接圆的圆心到边的距离．‎ ‎（18）（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，,,‎ ‎（1）证明： ‎ ‎（2）若是的中点， ，‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎（19）（本小题满分12分）智能手机一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批离不开手机的人。为了调查每天使用手机的时间，某公司在一广场随机采访成年男性、女性各50 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其为“非手机控”，调查结果如下：‎ 手机控 非手机控 合计 男性 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ ‎(1)根据以上数据，能否有75%的把握认为“手机控”与性别有关？‎ ‎(2)现从调查的女性中按分层抽样的方法选出 5人，并从选出的 5 人中再随机抽取 3 人，给3人中的“手机控”每人赠送500元的话费。记这3 人中“手机控”的人数为,试求的分布列与所赠送话费的数学期望。‎ 参考公式：，其中 ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.321‎ ‎3.840‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎（20）（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，‎ 且抛物线的准线恰好过椭圆的一个焦点。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值。‎ ‎（21）（本小题满分12分）已知，设函数，‎ ‎（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；‎ ‎（2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 已知曲线C的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）设，，若与曲线C相交于异于原点的两点，求的面积。‎ ‎（23）（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] ‎ 设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2），恒成立，求实数的取值范围 惠州市2018届高三第三次调研考试 理科数学参考答案 一． 选择题（共12小题）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D B B A A C C D C A A ‎1、，，，故选B ‎2． 故选D．‎ ‎3.本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．故选B ‎4． ，解得，.故选B ‎5． ,∴周期；‎ ‎.故选A ‎6.由题意,　,=,‎ ‎,,故选A ‎7．直观图是三条侧棱两两垂直的三棱锥，且侧棱长都为2，.故选C ‎　‎ ‎8． ；；；；，输出的.故选C．‎ ‎9．‎ ‎∴= = ==‎ ‎=‎ ‎∴=．故选D ‎　‎ ‎10圆Ｃ:,是直角三角形，,所以当最小时，有最小值，，，.故选C ‎11、设，，即在Ｒ上单调递减 ‎，，即，，解得或.故选A ‎12．，则，‎ 得，即，‎ ‎∴数列是首项为2、公差为1的等差数列，∴，即.‎ ‎，∴函数在点N*）处的切线方程为：‎ ‎，令，得．‎ ‎，仅当时取得最小值，‎ 只需，解得，故的取值范围为．‎ ‎ 故选A 二、填空题（共4小题）　‎ ‎13. 14. 1 15. 16. ‎ ‎13、＝‎ ‎14、作出可行域，表示可行域内的点与点之间的斜率，当过点时，‎ 有最大值1.‎ ‎15、，，又，可得，‎ ‎＝。‎ ‎16、，设，则，‎ ‎，，得，‎ 将代入，整理得，‎ 其在上有解。设，，‎ ‎ （和对称轴），解得，又，‎ ‎17. （1），由余弦定理得：‎ ‎， -------------------------------------------2分 ‎， -------------------------------------------------3分 则-------------------------------5分 ‎∵ ∴. -------------------------------------------7分 ‎(2) 设外接圆的半径为，由正弦定理知 ‎ ----------------------------------------9分 ‎,--------------------------------------------------10分 则外接圆的圆心到边的距离 ‎.-------------------------------------------12分 ‎18.（1）因为底面是菱形，所以. -------------------------------- 1分 又,，所以. --------------------2分 ‎，所以. --------------------------------- 3分 又，所以. --------------------------------------- 4分 ‎（2）由（1）‎E O C A B D P H 在中，,∴,， -----------6分 方法一：‎ 过做于，连，则，‎ 所以是二面角的平面角. ----------------------------- 7分 在中，，所以，即.‎ 所以. ------------------------------------------9分 ‎，得，---------------------- 10分 ‎，，所以二面角的余弦值为. -----------12分 方法二：‎ 如图，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎. ---------------------- 8分 设面的法向量为，则 ，即，得方程的一组解为，即. -----------9分 又面的一个法向量为， -----------10分 所以，所以二面角的余弦值为. -----------12分 ‎19. 解：（1）由列联表可得--------3分 ‎∴没有75%的把握认为“手机控”与“性别”有关------------------------------5分 ‎（2）依题意知：所抽取的5位女性中“手机控”有3人， “非手机控”有2人 ‎∴X的可能值为1，2，3. ---------------------------------------------------7分 ‎,,-----------10分 ‎∴的分布列是：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎------------------------------11分 赠送话费的期望是-----------12分 ‎20. （1）设椭圆的焦半距为，抛物线的准线为，‎ ‎，‎ 所以椭圆的方程是． ------------------------- 4分 ‎（2）由题意直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形． ‎ 设其斜率为，那么直线的方程为． ------------------- 5分 联立与椭圆的方程，消去，得．‎ ‎．‎ 设点得，---- 7分 所以， ---------- 8分 又到的距离 所以的面积．----------------9分 令，那么，‎ ‎，----------------10分 因为是减函数----------------11分 所以当时，‎ 所以△OMN面积的最大值是． -------------------------12分 ‎21.（1），--------------1分 ‎①当时，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，由，得，在时无解，------------2分 ‎②当时，不合题意；---------------3分 ‎③当时，在单调递增，在递减，在单调递增，‎ ‎∴即，∴，----------------4分 ‎④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件，-------5分 综上所述：时，存在，使得是在上的最大值. -------------------------------------------------------------------------6分 ‎（2）对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立，---------------7分 令，，‎ 根据题意，可以知道的最大值为1，‎ 则恒成立，---------------8分 由于，则，‎ 当时，，---------------9分 设则，‎ ‎，得，，----------10分 则在上递减，在上递增，则，---------------11分 ‎∴在上是增函数.‎ ‎∴，满足条件，∴的取值范围是.--------------12分 ‎22.(1)∵曲线的参数方程为 ‎ ‎∴曲线的普通方程为 即 ……2分 将代入并化简得： ‎ 即曲线的极坐标方程为. …………5分 ‎（2）由得到 …………7分 同理. ………… 9分 又∵‎ ‎∴. ‎ 即的面积为. …………10分 ‎23. （1） …………………………1分 两边平方，化简得…………………………3分 ‎ 或…………………………4分 原不等式的解集为。…………………………5分 ‎（2）∵，…………………………6分 ‎∴…………………………7分 所以恒成立，等价于的最大值小于等于………8分 即，‎ 解得。…………………………10分