数学理卷·2017届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟（2017

数学理卷·2017届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟（2017

哈师大附中2017年高三第三次模拟考试 理科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.设复数满足（是虚数单位），则（ ）‎ A. B.2 C.1 D.‎ ‎2.，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数，又在区间单调递减的函数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.等比数列，若，，则为（ ）‎ A.32 B.64 C.128 D.256‎ ‎5.已知，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入，分别为18,27，则输出的（ ）‎ A.0 B.9 C.18 D.54‎ 第6题 ‎7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第7题 ‎8.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知，，点满足，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点，，， 为与在第一象限的交点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.三棱锥中，底面满足，，在面的射影为的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，到面的距离为（ ）‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎12.设函数，若曲线上存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.‎ ‎13.某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则______.‎ ‎14.平面上，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有（其中、分别为、的面积）；空间中，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有______（其中、分别为四面体、的体积）.‎ ‎15.已知数列满足，则的前50项的和为______.‎ ‎16.已知圆，过点作直线交圆于，两点，分别过，两点作圆的切线，当两条切线相交于点时，则点的轨迹方程为______.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知是函数的一条对称轴，且的最小正周期为 ‎（Ⅰ）求值和的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设角，，为的三个内角，对应边分别为，，，若，，求的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）求直方图中的值；‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为，求的分布列与数学期望.‎ ‎（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值（精确到0.01），并说明理由.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形，，，为中点，.‎ ‎（Ⅰ）为何值时，平面？‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的右焦点为，过椭圆中心的弦长为2，且，的面积为1.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设、分别为椭圆的左、右顶点，为直线上一动点，直线交椭圆于点，直线交椭圆于点，设、分别为、的面积，求的最大值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）当时，①在处的切线方程；②当时，求证：.‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线上的点到电线距离的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若把上各点的横坐标都扩大原来为原来的2倍，纵坐标扩大原来的倍，得到曲线.设，曲线与交于，两点，求.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，.‎ ‎（Ⅰ）若，满足，，求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ 哈师大附中三模理科数学答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D B C B A C C C B D 二、 填空题 ‎13.27 14. 15. 1375 16.‎ 三、解答题 ‎17．解（1）---------------1分 ‎---------------2分 为对称轴，所以---------------3分 ‎---------------4分 ‎ 令 所以的单调递增区间为---------------6分 ‎（2）---------------8分 由正弦定理得 ‎---------------10分 ‎---------------12分 ‎18．解：‎ ‎（1）---------------1分 ‎---------------3分 ‎（2）依题意从该城市居民中抽取用水量不低于3吨的概率为 ‎-----------5分 ‎---------------6分 ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0.027‎ ‎0.001‎ ‎--------9分 ‎（3）月用水量超过3吨的居民占，所以--------10分 ‎（元）--------12分 ‎19．解：‎ ‎（1）当，即为中点时平面，--------1分 取中点，连 ‎--------3分 ‎--------5分 所以，平面平面--------6分 ‎（2）取中点，连 ‎，‎ 以为轴，轴，轴，建立直角坐标系--------8分 ‎，所以 设为平面的法向量，则 ‎--------10分 ‎--------11分 所以，直线与平面的正弦值为--------12分 ‎20．解：‎ ‎（1）弦过椭圆中心，且，所以，--------2分 不妨设，‎ 所以------------4分 所以椭圆方程为--------5分 ‎（2）设直线，代入中，‎ 得，解得--------7分 同理，设直线，带入中，‎ 得，解得--------8分 ‎--------10分 ‎--------11分 当且仅当，即时取“=” --------12分 ‎21．（1）时，，--------1分 ①，，所以在处的切线方程为--------3分 ②设 ‎--------4分 所以，在上递增，所以--------6分 所以，在上递增，所以--------7分 ‎（2）原问题使得 设 在单调增 当时，‎ 在单调增，‎ ‎ --------10分 当时，‎ 设 另 在单调递减，在单调递增 设 在单调递增 在单调递增 当时，恒成立，不合题意--------12分 ‎22．‎ ‎（1），圆心为，半径为；‎ ‎--------2分 圆心到直线距离--------3分 所以上的点到的最小距离为.--------5分 ‎（2）‎ 伸缩变换为，所以--------7分 将和联立，得.因为--------8分 ‎--------10分 ‎23（1）‎ ‎---------------5分 ‎（2）证明：‎ ‎------10分 ‎ ‎