高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 十三 一元二次不等式及其解法
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课时素养评价
十三 一元二次不等式及其解法
(15分钟 35分)
1.不等式组的解集是 ( )
A.{x|-1
1}
【解析】选C.由x(x+2)>0得x>0或x<-2;
由|x|<1得-10)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a= ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.原不等式等价于(x+2a)(x-4a)<0,a>0,
所以不等式的解集为:(-2a,4a),
所以x2-x1=4a-(-2a)=15,解得a=.
3.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 ( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,3)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
【解析】选A.由题意,知a>0,且1是ax-b=0的根,所以a=b>0,
所以(ax+b)(x-3)=a(x+1)(x-3)>0,所以x<-1或x>3,
因此原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
4.关于x的不等式63x2-2mx-m2<0的解集为 ( )
A.
B.
C.∪
D.以上答案都不对
【解析】选D.原不等式可化为·<0,需对m分三种情况讨论,即不等式的解集与m有关.
5.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(-1,0)和(3,0),则不等式ax2+bx+c<0的解集是 .
【解析】根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
6.若关于x的不等式ax2+3x-1>0的解集是x0的解集.
【解析】(1)依题意,可知方程ax2+3x-1=0的两个实数根为和1,
+1=-,×1=-,解得a=-2.
(2)-2x2-3x+5>0,2x2+3x-5<0.
因为2x2+3x-5=0有两根为x1=1,x2=-,
所以不等式的解集为.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为(-2,1),则函数y=f(x)的图象为 ( )
【解析】选B.因为不等式的解集为(-2,1),
所以a<0,排除C,D,
又与坐标轴交点的横坐标为-2,1,故选B.
【补偿训练】
若不等式|2x-3|>4与关于x的不等式x2+px+q>0的解集相同,则x2-px+q<0的解集是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由|2x-3|>4得2x-3>4或2x-3<-4,则x>或x<-.
由题意可得
则
所以x2-px+q<0对应方程x2-px+q=0的两根分别为,-,则x2-px+q<0的解集是.
2.(2020·汉中高一检测)关于x的不等式x2+ax-3<0的解集为(-3,1),则不等式ax2+x-3<0的解集为 ( )
A.(1,2) B.(-1,2)
C. D.
【解析】选D.因为关于x的不等式x2+ax-3<0的解集为(-3,1),所以-3和1是方程x2
+ax-3=0的两个根,由根与系数的关系得-3+1=-a,即a=2,所以不等式ax2+x-3<0,即2x2+x-3<0,此不等式可化为(2x+3)(x-1)<0,其解集为.
3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )
A. B.{x|x>a}
C. D.
【解析】选A.因为a<-1,所以a(x-a)·<0⇔(x-a)·>0.
又a<-1,所以>a,
所以x>或x0,
解得a>4或a<-4.
二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.下面所给关于x的不等式,其中一定为一元二次不等式的是 ( )
A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
【解析】选BD.根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是,C不一定是,B,D一定是.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a= ,b= .
【解析】由题意,A={x|-14的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值.
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},
所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.
由根与系数的关系,得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为
{x|20,
所以a<-1或a>.
若a<-1,则-2a+3-=(-a+1)>5>0,所以3-2a>,
此时不等式的解集是;
若a>,由-2a+3-=(-a+1)<-<0,所以3-2a<,
此时不等式的解集是.
综上,当a<-1时,原不等式的解集为,3-2a;当a>时,原不等式的解集为3-2a,.
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