高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 十 基本不等式
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课时素养评价
十 基本不等式
(15分钟 35分)
1.已知a+2b=2(a>0,b>0),则ab的最大值为 ( )
A. B.2 C.3 D.
【解析】选A.因为a>0,b>0,所以a+2b≥2,
所以2≤2,所以ab≤,当且仅当a=1,b=时,等号成立.
2.若y=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a等于 ( )
A.3 B.1+ C.1+ D.4
【解析】选A.当x>2时,x-2>0, y=x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2)时,即当x=3时等号成立,因此a=3.
【补偿训练】
不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是 ( )
A.x=3 B.x=6
C.x=5 D.x=10
【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即x=5(x=-1舍去).
3.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为a,b∈R时,都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
即a2+b2≥2ab,而+≥2⇔ab>0,
所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”的必要不充分条件.
4.函数y=1-2x-(x<0)的最小值为 .
【解析】因为x<0,所以y=1-2x-
=1+(-2x)+≥1+2=1+2,当且仅当x=-时取等号,故y的最小值为1+2.
答案:1+2
5.若0
2,a2+b2>2ab.
所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).
又因为00)的最小值.
【解题指南】(1)利用一元二次方程根与系数的关系求a,b.(2)利用基本不等式求最小值.
【解析】(1)由题意知:
解得a=1,b=2.
(2)由(1)知a=1,b=2,
所以(2a+b)x-=4x+,
而x>0时,4x+≥2=2×6=12.
当且仅当4x=,即x=时取等号.
所以(2a+b)x-(x>0)的最小值为12.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a=0,所以v>a.
2.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b= ( )
A.-3 B.2 C.3 D.8
【解析】选C. 令y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,
所以由基本不等式得y=x+1+-5≥
2-5=1,当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,即x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.
3.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.9 D.16
【解析】选B.(x+y)=1+a++≥1+a+2=(1+)2.
当且仅当=时取等号.
所以(1+)2≥9,所以a≥4.
4.如图所示,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中错误的是( )
A.(a+b)2≥4ab
B.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合
C.(a-b)2≤4ab
D.(a+b)2>(a-b)2
【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和,即有(a+b)2≥4ab;正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2,结合图形可知(a+b)2>(a-b)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有 ( )
A.ab>1 B.ab<1
C.<1 D.>1
【解析】选BD.因为ab≤,a≠b,所以ab<1,
又1==<,
所以>1,所以ab<1<.
6.下列推导过程,正确的为 ( )
A.因为a,b为正实数,所以+≥2 =2
B.因为x∈R,所以>1
C.a<0,所以+a≥2 =4
D.因为x,y∈R,xy<0,所以+=-+≤-2=-2
【解析】选AD.因为a,b为正实数,所以,为正实数,符合基本不等式的条件,故A正确;
当x=0时,有=1,故B不正确;当a<0时,+a≥2 =4是错误的,C不正确;由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,,均变为正数,符合基本不等式的条件,且计算正确,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知t>0,则函数y=的最小值为 .
【解析】因为t>0,所以y==t+-4≥2-4=-2,且在t=1时取等号.
答案:-2
8.规定记号“☉”表示一种运算,即a☉b=+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为 ,此时的最小值为 .
【解析】1☉k=+1+k=3,即k+-2=0,
所以=1或=-2(舍),所以k=1.
==1++≥1+2=3,当且仅当=,即x=1时等号成立.
答案:1 3
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求t=x+的取值范围.
【解析】当x>0时,x+≥2=2,
当且仅当x=,即x=1时,“=”成立,
所以x+≥2.
当x<0时,x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=,
即x=-1时,“=”成立.
所以x+≤-2.
故t=x+的取值范围为{t|t≤-2或t≥2}.
10.已知a>b>c,你能比较出4与(a-c)的大小吗?
【解析】(a-c)≥4,理由如下:
因为a-c=(a-b)+(b-c),
所以[(a-b)+(b-c)]=2++,
又a>b>c,所以+≥2,
故(a-c)≥4,
当且仅当=时,取“=”.
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