高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 二十三 函数奇偶性的应用
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课时素养评价
二十三 函数奇偶性的应用
(15分钟 30分)
1.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)的解析式是( )
A.f(x)=-x2+2x-3 B.f(x)=-x2-2x-3
C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=-x2-2x+3
【解析】选B.若x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)=x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3,所以x<0时,f(x)=-x2-2x-3.
2.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,g(x)=-x2-mx在(-∞,0)内单调递增,则实数m= ( )
A.-2 B.±2 C.0 D.2
【解析】选A.由函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,得m2-4=0.
解得m=±2.又当m=2时,g(x)=-x2-2x,该函数在(-∞,0)内不单调递增,故m≠2.当m=-2时,g(x)=-x2+2x,该函数在(-∞,0)内单调递增,故m=-2.
3.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若x1<0且x1+x2>0,则 ( )
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)
-x1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x2)1 B.a<-2
C.a>1或a<-2 D.-11或a<-2.
5.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.
【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
由f(x)+g(x)=,①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=,
所以f(x)-g(x)=,②
(①+②)÷2,得f(x)=;
(①-②)÷2,得g(x)=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有 ( )
A.最大值- B.最大值
C.最小值- D.最小值
【解析】选B.方法一(直接法):当x>0时,-x<0,
所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-+,
所以f(x)有最大值.
方法二(奇函数的图象特征):当x<0时,
f(x)=x2+x=-,
所以f(x)有最小值-,因为f(x)是奇函数,
所以当x>0时,f(x)有最大值.
2.(2020·泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,若是函数F(x)的单调递增区间,则一定是F(x)的单调递减区间的是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.因为F(-x)=F(x),所以F(x)是偶函数,因而在上F(x)一定单调递减.
3.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上单调递减,则f与f的大小关系是 ( )
A.f>f
B.fb>0,则下列不等式中成立的为 ( )
A.f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)
C.f(a)+f(-b)g(b)-g(-a)
【解析】选AC.函数f(x)为R上的奇函数,且为减函数,偶函数g(x)在区间[0,
+∞)上的图象与f(x)的图象重合,由a>b>0,得f(a)0,则函数f(x)满足 ( )
A.f(0)=0
B.函数f(x)是奇函数
C.f(x)在[m,n]上有最大值f(n)
D.f(x-1)>0的解集为(-∞,1)
【解析】选ABD.令x=y=0,则f(0)=2f(0),故f(0)=0,选项A正确;
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),则f(x)+f(-x)=0,即f(x)=-f(-x),故函数f(x)为奇函数,选项B正确;
设x10,即f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)为R上的减函数,所以f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),选项C错误;
f(x-1)>0等价于f(x-1)>f(0),又f(x)为R上的减函数,故x-1<0,解得x<1,选项D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如果函数F(x)=是奇函数,则f(x)= .
【解题指南】根据求谁设谁的原则,设x<0,根据函数的奇偶性求出x<0时的解析式.
【解析】当x<0时,-x>0,F(-x)=-2x-3,
又F(x)为奇函数,故F(-x)=-F(x),
所以F(x)=2x+3,即f(x)=2x+3.
答案:2x+3
【补偿训练】
设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[-1,0]上的解析式为 .
【解析】由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2.所以f(x)=x+2.
答案:f(x)=x+2
8.(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)是定义在[-1,a]上的奇函数,则a= ,f(0)= .
【解析】根据题意,函数f(x)是定义在[-1,a]上的奇函数,则(-1)+a=0,解可得a=1,
即f(x)的定义域为[-1,1],则f(0)=0.
答案:1 0
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式.
(2)画出函数f(x)的图象.
(3)根据图象,写出函数f(x)的单调递减区间及值域.
【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,
所以f(x)=f(-x).
当x<0时,-x>0,所以f(x)=f(-x)=-x2-2x.
综上,f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示:
(3)由(2)中图象可知,f(x)的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞),函数f(x)的值域为(-∞,1].
10.函数f(x)=,
(1)证明函数的奇偶性.
(2)判断函数在(-∞,0)上的单调性,并证明.
【解析】(1)因为f(x)=的定义域为{x|x≠0},
f(-x)===f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,
证明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x10,x2+x1<0,
所以<0,
即f(x1)0时,f(x)<0,解得x>3;
当x<0时,f(x)>0,解得-33}
2.已知函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求证:f(x)是偶函数.
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)试比较f与f的大小.
【解析】(1)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
令x1=x2=1,得f(1×1)=f(1)+f(1),
所以f(1)=0.令x1=x2=-1,
得f(1)=f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1),
所以2f(-1)=0,所以f(-1)=0.
所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),
所以f(x)是偶函数.
(2)设0x1>0,所以>1,所以f>0,
即f(x2)-f(x1)>0.
所以f(x2)>f(x1),即f(x1)f.所以f>f.
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