高中数学北师大版新教材必修一同步课件：4-3-4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

高中数学北师大版新教材必修一同步课件：4-3-4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

§4 　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 必备知识 · 自主学习 三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 幂函数 解析式 y=a x (a>1) y=log b x(b>1) y=x c (c>0) 单调性 在 (0,+∞) 上单调递增 图象 ( 随 x 的增大 ) 趋向于和 x 轴 _____ 趋向于和 x 轴 _____ 逐渐上升 增长速度 ( 随 x 的增大 ) y 的增长速度 越来越 ___ y 的增长速度 越来越 ___ y 的增长速度 _____ 归 纳 总 结 总会存在一个 x 0 , 当 x>x 0 时 , ___________ 垂直 平行 快 慢 较快 a x >x c >log b x (1) 本质 : 通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异 . (2) 应用 : 根据现实的增长情况 , 选择合适的函数模型刻画其变化规律 . 【 思考 】 在三种函数增长关系的结论中 , 怎样理解“总会存在一个 x 0 ”? 提示 : 因为三种函数增长速度不同 , 当自变量逐渐增大时 , 三种函数以不同的速度增加 . 使函数值相等的值可视为临界点就是 x 0 , 因此可以理解为自变量足够大时一定会出现 x 0 . 当然 x 0 不唯一 , 比 x 0 大的任意一个实数也可以作为 x 0 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 函数 y= 的衰减速度越来越慢 . ( 　　 ) (2) 增长速度不变的函数模型是一次函数模型 . ( 　　 ) (3) 对应任意 x∈(0,+∞), 总有 2 x >x 2 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. 由函数 y= 的图象可知其衰减速度越来越慢 . (2)√. 增长速度不变时图象为直线 , 故是一次函数 . (3)×. 当 x=2 时 ,2 2 =2 2 . 2. 小明骑车上学 , 开始时匀速行驶 , 途中因交通堵塞停留了一段时间后 , 为了赶时间加快速度行驶 . 与以上事件吻合得最好的图象是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 小明匀速运动时 , 所得图象为一条直线 , 且距离学校越来越近 , 故排除 A. 因交通堵塞停留了一段时间 , 与学校的距离不变 , 故排除 D. 后来为了赶时间加快速度行驶 , 故排除 B. 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 有一组实验数据如表所示 : 下列所给函数模型较适合的是 ( 　　 ) A. B.y=ax+b(a>1) C. x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 【 解析 】 选 C. 通过所给数据可知 y 随 x 增大 , 其增长速度越来越快 , 而 A,D 中的函数增长速度越来越慢 ,B 中的函数增长速度保持不变 . 关键能力 · 合作学习 类型一　函数增长速度的差异 ( 数学抽象、直观想象 ) 【 题组训练 】 1. 下列函数中 , 增长速度最快的是 ( 　　 ) A.y=2 020x B.y=2 020 x C.y=log 2 020 x D.y=2 020 2. 在某实验中 , 测得变量 x 和变量 y 之间对应数据 , 如表 . 则 x,y 最合适的函数是 ( 　　 ) A.y=2 x B.y=x 2 -1 C.y=2x-2 D.y=log 2 x x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -1.01 0.01 0.98 2.00 3. 下列各项是四种生意预期的收益 y 关于时间 x 的函数 , 从足够长远的角度看 , 更为有前途的生意的序号是 　　　　 .  ①y=3×1.04 x ; ②y=20+x 10 ; ③y=40+lg (x+1); ④y=80. 【 解析 】 1. 选 B. 指数函数的增长速度最快 . 2. 选 D. 根据 x=0.50,y=-1.01, 代入计算 , 可以排除 A; 根据 x=2.01,y=0.98, 代入计算 , 可以排除 B 、 C; 由于随着 x 的增大 ,y 的增长比较缓慢 , 符合 y=log 2 x 模型 . 3. 结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大 , 故填① . 答案 : ① 【 解题策略 】 常见的函数模型及增长特点 (1) 线性函数模型 : 线性函数模型 y=kx+b(k>0) 的增长特点是直线上升 , 其增长速度不变 . (2) 指数函数模型 : 指数函数模型 y=a x (a>1) 的增长特点是随着自变量的增大 , 函数值增大的速度越来越快 , 即增长速度急剧 , 形象地称为“指数爆炸” . (3) 对数函数模型 : 对数函数模型 y=log a x(a>1) 的增长特点是随着自变量的增大 , 函数值增大的速度越来越慢 , 即增长速度平缓 . (4) 幂函数模型 : 幂函数 y=x n (n>0) 的增长速度介于指数增长和对数增长之间 . 特别提醒 : 函数值的大小不等同于增长速度快慢 , 数值大不一定增长速度快 , 增长速度体现在函数值的变化趋势上 . 类型二　函数增长速度的比较 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 典例 】 1.( 多选题 ) 如图 , 能使得不等式 log 2 x2 B.x>4 C.04 时 , 符合不等式 log 2 xf(x); 当 x∈(x 1 ,x 2 ) 时 ,g(x)f(x); 当 x=x 1 或 x 2 时 ,g(x)=f(x). 综上 , 当 x=x 1 或 x 2 时 ,g(x)=f(x); 当 x∈(x 1 ,x 2 ) 时 ,g(x)f(x). 【 解题策略 】 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时 , 通常是观察函数图象上升的快慢 , 即随着自变量的增长 , 图象最“陡”的函数是指数函数 , 图象趋于平缓的函数是对数函数 . 【 跟踪训练 】 在同一坐标系中 , 画出函数 y=x+5 和 y=2 x 在 (0,+∞) 上的图象 , 并比较 x+5 与 2 x 的大小 . 【 解析 】 函数 y=x+5 与 y=2 x 的图象如图所示 : 当 02 x , 当 x=3 时 ,x+5=2 x , 当 x>3 时 ,x+5<2 x . 类型三　函数增长速度的应用 ( 数学建模、直观想象 ) 角度 1 　利用曲线描述函数变化规律  【 典例 】 当我们在做化学实验时 , 常常需要将溶液注入容器中 , 当溶液注入容器 ( 设单位时间内流入的溶液量相同 ) 时 , 溶液的高度随着时间的变化而变化 , 在图中请选择与容器相匹配的图象 ,A 对应 　　　　 ;B 对应 　　　　 ;C 对应 　　　　 ;D 对应 　　　　 .  【 思路导引 】 由容器的形状 , 判断溶液高度变化的快慢 , 从而选择对应的曲线 . 【 解析 】 A 容器下粗上细 , 溶液高度的变化越来越快 , 故与 (4) 对应 ;B 容器为球形 , 溶液高度变化为快 — 慢 — 快 , 应与 (1) 对应 ;C,D 容器都是柱形的 , 溶液高度的变化速度都应是直线型 , 但 C 容器细 ,D 容器粗 , 故溶液高度的变化为 C 容器快 , 与 (3) 对应 ,D 容器慢 , 与 (2) 对应 . 答案 : (4) 　 (1) 　 (3) 　 (2) 【 变式探究 】 若 将溶液注入如图所示的容器 , 试作出容器内溶液高度的变化曲线 . 【 解析 】 容器内溶液的变化曲线为 : 角度 2 　实际问题中的增长模型  【 典例 】 为净化湖水的水质 , 市环保局于 2019 年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物 , 这些植物在水中的蔓延速度越来越快 ,2020 年经两次实地测量得到表中的数据 现有两个函数模型 y=ka x (k>0,a>1) 与 y=mx 2 +n(m>0) 可供选择 . 月份 x/ 月 1 2 3 4 5 植物面积 y/m 2 24 36 (1) 分别求出两个函数模型的解析式 . (2) 若市环保局在 2019 年年底投放了 11 m 2 的水生植物 , 试判断哪个函数模型更合适 ? 并说明理由 . (3) 经过长期实地测量 , 刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快 , 基本符合 (2) 中所选函数模型的增长特点 . 但是当植物覆盖到一定面积后 , 其面积的增长速度又变得很慢 , 最后稳定在一个值左右 . 试用所学的知识解释这些现象的成因 . 你从中得到了什么启示 ? 【 思路导引 】 (1) 利用表中的数据 , 待定系数法求系数 . (2) 利用投放的植物面积检验模型 . (3) 利用函数模型增长的特征、生物知识解释成因 . 【 解析 】 (1) 由已知得 ⇒ , 所以 y= . 由已知得 ⇒ 所以 y= x 2 + . (2) 若用模型 y= , 则当 x=0 时 ,y 1 = , 若用模型 y= x 2 + , 则当 x=0 时 ,y 2 = , 易知 , 使用模型 y= 更为合适 . (3) 刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点 , 因为指数函数模型的增长速度越来越快 , 因此植物覆盖的面积增长也越来越快 . 当植物覆盖到一定程度后 , 由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长 , 因此覆盖面积的增长变慢 , 直至稳定在一定范围之内 . 从中可以得到以下启示 : 数学模型只能从数学角度解释实际问题 , 而实际问题中的影响因素往往比较多 , 因此数学模型要与其他学科的知识相结合 , 才能更准确地解释实际问题 .( 答案不唯一 ) 【 解题策略 】 1. 关于曲线的选择 首先关注图形形状对变量增长速度的影响 , 其次明确当速度变大时 , 曲线变陡 , 速度变小时 , 曲线变缓 . 2. 关于函数模型的选择 选取函数模型主要依据函数的增长速度 , 因此要熟悉各个函数模型的增长特点 , 再利用相关的数据辅助验证 . 【 题组训练 】 1. 明清时期 , 古镇河口因水运而繁华 . 若有一商家从石塘沿水路顺水航行 , 前往河口 , 途中因故障停留一段时间 , 到达河口后逆水航行返回石塘 , 假设货船在静水中的速度不变 , 水流速度不变 , 若该船从石塘出发后所用的时间为 x( 小时 ) 、货船距石塘的距离为 y( 千米 ), 则下列各图中 , 能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是 ( 　　 ) 2. 某公司为了研究年宣传费 x( 单位 : 千元 ) 对销售量 y( 单位 : 吨 ) 和年利润 z( 单位 : 千元 ) 的影响 , 搜集了近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i (i=1,2,…,8) 的数据 : i 1 2 3 4 5 6 7 8 x 38 40 44 46 48 50 52 56 y 45 55 61 63 65 66 67 68 (1) 请补齐表格中 8 组数据的散点图 , 并判断 y=a+bx 与 y=c+d 中哪一个更适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的函数解析式 ?( 给出判断即可 , 不必说明理由 ) (2) 若 (1) 中的 a=7,b=1.2,c=4.2,d=0.07, 且产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=200y-x(32≤x≤64), 为使年利润值最大 , 投入的年宣传费 x 应为何值 ? 【 解析 】 1. 选 A. 由题意可得 : 货船从石塘到停留一段时间前 ,y 随 x 增大而增大 ; 停留一段时间内 ,y 随 x 增大而不变 ; 解除故障到河口这段时间 ,y 随 x 增大而增大 ; 从河口到返回石塘这段时间 ,y 随 x 增大而减小 . 2.(1) 补齐的图如图 : 由图可知 , 销售量随着宣传费的增加而增加 , 增长的速度越来越慢 , 因此选取 y=c+d 更适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的函数解析式 . (2) 依题意得 ,z=200×(4.2+0.07 )-x(32≤x≤64), 化简得 z=840+14 -x(32≤x≤64), 设 t= (4 ≤t≤8), 则有 z=-t 2 +14t+840,z=-(t-7) 2 +889. 故当 t=7 即投入的年宣传费 x=49 千元时 , 年利润取到最大值 . 课堂检测 · 素养达标 1. 下列函数中 , 随 x 的增大 , 增长速度最快的是 ( 　　 ) A.y=100 B.y=100x C.y=1.01 x D.y=log 2 x 【 解析 】 选 C. 结合函数 y=100,y=100x,y=1.01 x 及 y= lo g 2 x 的图象可知 , 随着 x 的增大 , 增长速度最快的是 y=1.01 x . 2. 如图 , 点 M 为 ▱ ABCD 的边 AB 上一动点 , 过点 M 作直线 l 垂直于 AB, 且直线 l 与 ▱ ABCD 的另一边交于点 N. 当点 M 从 A→B 匀速运动时 , 设点 M 的运动时间为 t,△AMN 的面积为 S, 能大致反映 S 与 t 的函数关系的图象是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 假设∠ A=45°,AD=2 ,AB=4, 点 M 的速度为 1, 则当 0≤t≤2 时 ,AM=MN=t, 则 S= t 2 , 为二次函数 ; 当 2≤t≤4 时 ,S=t, 为一次函数 . 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 三个变量 y 1 ,y 2 ,y 3 随着变量 x 的变化情况如表 : x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于 x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( 　　 ) A.y 1 ,y 2 ,y 3 B.y 2 ,y 1 ,y 3 C.y 3 ,y 2 ,y 1 D.y 1 ,y 3 ,y 2 【 解析 】 选 C. 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知 , 对数函数的增长速度越来越慢 ,y 3 随 x 的变化符合此规律 ; 指数函数的增长速度越来越快 ,y 2 随 x 的变化符合此规律 ; 幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间 ,y 1 随 x 的变化符合此规律 . 4. 函数 y=x 2 与函数 y=xlg x 在区间 (0,+∞) 上增长较快的一个是 　　　　 .  【 解析 】 当 x 变大时 ,x 比 lg x 增长要快 , 所以 x 2 要比 xlg x 增长的要快 . 答案 : y=x 2 5. 某电脑公司六年来电脑年产量 y( 台 ) 与生产时间 x( 年 ) 的函数关系如图 . 有下列说法 :① 前三年产量增长速度 越来越快 ;② 前三年产量增长速度越来越慢 ;③ 后三年 这种产品停止生产 ;④ 后三年产量保持不变 . 其中说法 正确的是 　　　　 .( 填序号 )   【 解析 】 结合图象的增长趋势易得出②④正确 . 答案 : ②④