高二数学同步辅导教材(第1讲)

高二数学同步辅导教材(第1讲)

高二数学同步辅导教材（第 1 讲） 一、本讲进度 6.1 不等式的性质 二、本讲主要内容 不等式的性质 三、学习指导 1．研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是局部的，相对的，不等 是普遍的，绝对的。因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上，有必要对这一部分知识进行 归纳、小结、完善。就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系，如讨论方程解的 情况、研究函数的单调性、值域等性质。由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学 的基础知识。 依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、 条件不等式、矛盾不等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分 为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。 对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式”，对于绝对值不等式，主要证 明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式”，这两个内容是本章的重点， 在后面会专门研究它们。 不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要工具是不等式的性质，因此，掌握好 不等式的性质是学好本章的关键。 2．不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质，还有一些推论： （1）一个公理：a    b  a-b 0 这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比较的依据。根据 这个公理，得到比较两个数（或式）大小的一种重要方法——比较法。 （2）三个基本性质： ① a>b bb，b>c a>c ③ a>b a+c>b+c 在传递性中，称 a>b，b>c a>c，从左向右是缩小；称 ab a+c>b+c，推论：a>b，c>d a+c>b+d；a>b，cb-d ② a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 acbd 特例：a>b>0 an>bn n∈N，n>1 （ii） d b c a dc0 0ba     特例：a>b，ab>0 b 1 a 1  ③ a>b>0 nn ba  n>1，n∈N 运算性质主要反映两个以上不等式之间的加、减、乘、除的关系，根据逆运算的性质，减、除可分 别化归为加、乘。注重转化思想。 对于乘方性质，可推广为：a>b>0，n 为正有理数，则 an>bn。 对于倒数性质，可归纳为“同号倒数反向”。可结合反比例函数 y= x 1 在（-∞，0），（ 0，+∞）上的 音调性理解。 3．掌握不等式的性质，主要注意不等式成立的前提条件（如 R 或 R+）。不等号方向是否改变及不等 号方向之间的关系、条件与结论是“ ”还是“  ”。 不等式性质的表达形式是以单个字母 a、b 等出现的，实际上 a、b 既可以是数，也可以是式，应学 会用整体思想解题。 4．若不等式中不等号是非严格不等号“≥”“≤”，则应注意等号成立的条件是否满足。 在运用运算性质求量的取值范围时，若每一个不等式中都含有变量，则应减少运用运算性质的次数， 否则最后结果可能不准确。 可用列表类比的办法比较等式与不等式的性质。 四、典型例题分析 【例 1】 若 a>b>0，cb>0 进行相加。 ∵ c-d>0 ∴ a-c>b-d>0 （同向相加） ∴ (a-c)2>(b-d)2 （乘方性质） ∴ 0 )ca( 1 )db( 1 22     （倒数性质） ∵ e<0 ∴ 22 )ca( e )db( e    【例 2】 已知α ，β ∈ ),2(  ，求α +β ，α -β ，   的取值范围。 解题思路分析： α +β 的范围用不等式同向相加的性质，利用转化思想，α -β 的范围也用不等式同向相加的性质，   利用“正数同向相乘”的运算性质。 ∵  2 ，  2 ∴  2 ∵  2 ∴ 2  ∴ 2)(2  ， 22  ∵  211 ∴   21 2 ∴ 22 2 1  【例 3】 设 f(x)=ax2+bx（a≠0），若 1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求 f(2)取值范围。 解题思路分析： 因 f(-1)，f(1)的范围已知，故考虑用 f(-1)、f(1)表示 f(2)。具体途径如下： 途径一：因 f(-1)、f(1)、f(2)都与 a、b 有关，参数 a、b 作为中间变量，起桥梁和过渡作用。先 用 f(1)、f(-1)表示 a、b，再将 a、b 表达式代入 f(2)即可。 由      ba)1(f ba)1(f 得        )]1(f)1(f[2 1b )]2(f)1(f[2 1a ∴ f(2)=4a+2b=3f(1)+f(-1) ∵ 6≤3f(1)≤12，1≤f(-1)≤2 ∴ 7≤f(2)≤14 途径二：因 f(-1)=a-b、f(1)=a+b、f(2)=4a+2b、f(-1)、f(1)、f(2)都是关于 a、b 的一次表达式， 故一定可以用 f(-1)、f(1)的线性组合表示 f(2)。在这个理论指导下，用待定系数法求解。 设 f(2)=α f(1)+β f(-1) ，α 、β ∈R ∴ 4a+2b=(α +β )a+(α -β )b 由恒等式的知识：      2 4 ∴      1 3 ∴ f(2)=3f(1)+f(-1) 与途径一的结论完全相同。但少了求参数消参数的过程，途径二显得简洁。 注：本题有一种典型的错误解法，就是考虑求出 a、b 的范围。 ∵      2)1(f2 2)1(f1 ∴      4ba2 2ba1 ∴        2 3b0 3a2 3 ∴      3b20 12a46 ∴ f≤f(2)=4a+2b≤15 首先看结果，此正确方法得出的结果范围大。其次，从特殊情形着手检验一下：当 4a+2b=6 时，由 推导过程知，a= 2 3 ，b=0，但显然不满足原始条件：a-b≥1，a+b≥2。那么原因何在呢？从运算角度看， 是对含变量的不等式多次运用了运算性质，造成了式的范围扩大，如此处等号不能取到。从结果看，由 f(-1)、f(1)的范围求出 a、b 范围，这两者不是充分必要的关系，是充分不必要的关系。所以前面“学 习指导”中强调了在求含变量式子的取值范围时，尽量少用不等式的运算性质。 【例 4】 已知 01 ∴ C>1，B>1，00 恒成立 1-a>0，-a<0 ∴ B-C<0，B0，A>D ∴ C>B>A>D 注：因 A、B、C、D 均为正实数，C、D 均为分式形式，也可采用“BD D A >1”的原 理进行。有兴趣的同学可以自行研究。 【例 5】 已知 x、y、a、b 均为正实数，x+y=1，比较 byax  与 byax  的大小。 解题思路分析： 直接用比差法不能进行变形化简，注意到：当 x、y、a、b 均为正实数时， byax  及 byax  也 都为正实数。可利用不等式性质：a>b>0  a2>b2，化无理问题为有理问题，从而便于变形，进一步地， 可判断符号。 2 2222 )ba(xy )ab2ba(xy abxy2byxaxy abxy2)y1(by)x1(ax )abxy2byax(byax)byax()byax(      ≥0 从而 2)byax(  ≥ 2)byax(  ∴ byax  ≥ byax  当且仅当 a=b 时等号成立 注：在比较两数（式）大小时，若存在相等情形，则应交代等号成立条件。 巩固练习 （一）选择题 1．若 a|b| D．a2>b2 2．下列推导中，错误的是 A．c-ab B． ba 0c b c a c       C． c b d a 0dc 0ba       D． ba )2n,Nn(ba nn   3．若 a>b，x>y，则下列不等式中正确的是 A．a-x>b-y B．axy-a 4．若 a、b 是任意实数，a>b，则下列不等式正确的是 A．A2>b2 B． 1a b  C．lg(a-b)>0 D． ba )2 1()2 1(  5．若 a、b∈R，则下列命题为真命题的是 A．若|a|>b，则 a2>b2 B．若 aa2 C．若 a>|b|，则 a2>b2 D．若 a>b，则 ba )2 1()2 1(  6．x>2 是 2 x <1 的 A．充分且必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 7．a、b∈R，则 b 1 a 1  成立的一个充分非必要条件是 A．b0 D．a>b 8．已知 a、b、c∈R，那么下列命题为真命题的是 A．a>b ac2>bc2 B． bac b c a  C． b 1 a 1 0ab ba 3       D． b 1 a 1 0ab ba 22       9．若 a、b∈R，且 a≠b，在①a2+3ab>2b2；②a5+b5>a3b2+a2b3；③a2+b2≥2(a-b-1)；④ 2a b b a  这 四个式子中，恒成立的有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．a、b∈R，当两个不等式 a>b 和 b 1 a 1  同时成立时，a、b 必须满足的条件是 A．Ab>0 B．ab<0 C．-b>0>-a D．-a>0>-b （二）填空题 11．已知 a+b>0，b<0，则 a、b、-a、-b 的大小关系是__________________。 12．      2xy0 3yx1 是      2y1 1x0 成立的____________条件。（用充分非必要、必要非充分、充分且必要、 既不充分又不必要填） 13．已知 a>b>0，cb>c，比较 a2b+b2c+c2a 与 ab2+bc2+ca2 的大小。 17．已知 A= 12000 12000log 2222 1111 1999   ，B= 12000 12000log 3333 2222 1999   ，试比较 A 与 B 的大小。 18．已知-30 b 1 a 1  ，因 a、b 不同号，故不能保证 a>b。 3．D。 a>b -b>-a，x+(-b)>y+(-a)，x-b>y-a 4．D。 利用指数函数单调性，函数 y= x)2 1( 在（-∞，+∞）上是减函数，a>b 时 ba )2 1()2 1(  。 5．C。∵|b|≥0，∴a>|b|≥0，∴a2>|b|2，a2>b2 6．B。 2x0)2x(x0x x21x 2  ，或 x<0。“ x>2”是“x>2，或 x<0”的充分非必要 条件。 7．A。 0ab ba0ab ab0b 1 a 1 b 1 a 1  。C 是不等式成立的充要条件，B、D 既不是充分条 件又不是必要条件，由 A b 1 a 1  ，但 b 1 a 1  还可推出 b>0>a。 8．C。 a3>b3 a>b，又 ab<0，∴a>0，b<0，∴ b 1 a 1  。 9．A。 ① 2222 b4 17)b2 3a(b2ab3a  ，不能判定正或负； ② )ba(b)b2ah(ab2ab3ahba 223233255  ]b4 3)2 ba[()ba)(ba( )baba)(ba()ba()ba)(ba( 222 2223322   (a-b)2>0，a2+ab+b2=(a+ 0b 4 3) 2 b 22  ，但 a+b 的符号不能判断，δ 的符号不能判 断； ③δ =a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，a2+b2≥2(a-b-1)； ④当 a·b<0 时，不等式不成立。 10．C。 0ab ba0ab ab0b 1 a 1 b 1 a 1  ，∵a>b，a-b>0，∴ab<0，∴ a>0>b，∴-a<0<-b。 （二）填空题 11． A>-b>b>-a 。如图画出函数轴： 12． 必要不充分条件 。当取 x= 2 1 ，y=2 时， 充分性不成立。 13． > 。∵-c>-d>0，a>b>0，∴a-c>b-d>0，∴ 0ca 1 db 1  ，∵e<0，∴ db e ca e  。 14． < 。P2-Q2= )10x7x27x2()4x3x()5x2x( 222  0)12x7x10x7x(2)12x7x27x2( 222  ，P20，Pb>c ∴ a-b>0，c-a<0，c-b<0 ∴ δ >0 ∴ a2b+b2c+c2a>ab2+bc2ca2 注：（1）作差后在分组时，凡差式均可作为一组，如 a2b-ab2，a2b-bc2 等，一旦第一组确定，后面的 分组应向第一组中公因式靠拢，如本题，当第一组出现 a-b 后，后面的两组也应考虑出现公因式 a-b； （2）对 c2-c(a+b)+ab 的分解，强调主元思想，即将本式三个字母 a、b、c 中的 c 作为主元，此式为 关于 c 的二次三项式，再因式分解或配方，思路就清晰了。在处理轮换对称式时，应重视主元思想。 17．解：令 x=20001111，则 A= 1x 1xlog 21999   ，B= 1x 1xlog 3 2 1999   因 A、B 同底，下比较 1x 1x 2   与 1x 1x 3 2   的大小即可。 作差： )1x)(1x( )1x(x )1x)(1x( 1x2x1xxx 1x 1x 1x 1x 32 2 32 434 3 2 2         >0 ∴ 0 1x 1x 1x 1x 3 2 2      ∵ xlog1999 在（0，+∞）上是增函数 ∴ 1x 1xlog 1x 1xlog 3 2 199921999     ∴ A>B。 18．解：∵ -3

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