高考数学复习练习第3部分 专题二 保温训练卷（一～四）
保温训练卷(一)
一、选择题
1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
解析：选A 由z(2－i)＝11＋7i，得z＝＝＝＝3＋5i.
2．函数f(x)＝x－x的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B 画出函数y1＝x，y2＝x的图像(图略)，可知函数f(x)＝x－x有且仅有一个零点．
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B.∪
C．(－∞，－2) D．(－2,2)
解析：选B 向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则⇒⇒k∈∪.
4．执行如图所示的程序框图，输入正整数n＝8，m＝4，那么输出的p为( )
A．1 680 B．210
C．8 400 D．630
解析：选A 由题意得，k＝1，p＝5；k＝2，p＝30；k＝3，p＝210；k＝4，p＝1 680，k＝4＝m，循环结束，故输出的p为1 680.
5．已知某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
A．(1)(3) B．(1)(3)(4)
C．(1)(2)(3) D．(1)(2)(3)(4)
解析：选A 上半部分是球，下半部分是正方体时，俯视图是(1)；上半部分是球，下半部分是圆柱时，俯视图是(3)；(2)中的正视图和侧视图不是轴对称图形；(4)作为俯视图的情况不存在．
6．函数f(x)＝ax2＋bx与g(x)＝ax＋b(a≠0，b≠0)的图像画在同一坐标系中，只可能是
( )
A B C D
解析：选B 若a>0，选项A错误；若a<0，选项D错误；函数f(x)＝ax2＋bx图像必过原点，选项C错误．
7．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选D 因为T＝＝π，所以ω＝2，所以函数为f(x)＝2sin.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．
8．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2y－3x的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图，目标函数z＝2y－3x的最大值即y＝x＋的纵截距的最大值，由图可知，当目标函数过点(0,2)时z取得最大值，zmax＝4.
二、填空题
9．若n的展开式中二项式系数之和是1 024，常数项为180，则实数a的值是________．
解析：依题意，2n＝1 024，n＝10，通项公式为Tr＋1＝C(－a)rx，令5－r＝0，得r＝2，所以C(－a)2＝180，解得a＝±2.
答案：±2
10．挑选空军飞行员可以说是万里挑一，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审，若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检的概率分别是0.5，0.6,0.7，则甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率为________．
解析：由题意知，所求概率P＝0.5×(1－0.6)×(1－0.7)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.7)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.7＝0.29.
答案：0.29
11．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
解析：显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心(3,0)到直线的距离d＝＝2，所以切线长的最小值为＝.
答案：
三、解答题
12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
解：(1)由A＋C＝π－B，且A，B∈(0，π)，可得sin(A＋C)＝sin B>0，
∴2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，
∴cos A＝，即A＝.
(2)由余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∵A＝，b＝2，c＝1，
∴a＝，于是b2＝a2＋c2，即B＝.
在Rt△ABD中，
AD＝＝ ＝.
13．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和为S5＝35，a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列的前n项和，问是否存在常数m，使Tn＝m，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
解：(1)设数列{an}的公差为d，由S5＝35，可得a3＝7，即a1＋2d＝7.
又a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列，
所以82＝(8－2d)(8＋4d)，
解得a1＝3，d＝2，所以an＝2n＋1.
(2)Sn＝n(n＋2)，＝＝.
所以Tn＝－
＝＝，故存在常数m＝使等式成立．
14．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x.
(1)若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
(3)当a＝－时，关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－(x>0)，
因为x＝2时，f(x)取得极值，
所以f′(2)＝0，解得a＝－，经检验符合题意．
(2)函数f(x)定义域为(0，＋∞)，依题意f′(x)≥0在x>0时恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x>0时恒成立．
则a≤＝2－1在x>0时恒成立，
即a≤min(x>0)，
当x＝1时，2－1取最小值－1.
故a的取值范围是(－∞，－1]．
(3)a＝－，f(x)＝－x＋b，即x2－x＋ln x－b＝0.
设g(x)＝x2－x＋ln x－b(x>0)．
则g′(x)＝.
g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,4)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
极大值
极小值
∴g(x)极小值＝g(2)＝ln 2－b－2，g(x)极大值＝g(1)＝－b－，又g(4)＝2ln 2－b－2.
∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，
则得ln 2－2
3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为“对激素敏感与性别有关”．即有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”．
3．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：x2<1是x1时，y＝log(x2＋2x＋a)的真数恒大于零，故定义域是R，p是真命题；当a>1时，x2<1的解集是x，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜想第n个不等式为________．
解析：1>，1＋＋>，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>，…，可猜想第n个不等式为1＋＋＋…＋>.
答案：1＋＋＋…＋>
11．直线l1与l2相交于点A，动点B，C分别在直线l1与l2上且异于点A，若与的夹角为60°，||＝2，则△ABC的外接圆的面积为________．
解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2，由正弦定理可知＝＝2R，其中R为△ABC外接圆的半径，由此得R＝2，故所求面积S＝πR2＝4π.
答案：4π
三、解答题
12．设A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察三个试验组，用X表示这三个试验组中甲类组的个数，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2；Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.依题意，有
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，
P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.
故所求的概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.
(2)由题意知X的可能值为0,1,2,3，故有
P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝3＝.
从而，X的分布列为
X
0
1
2
3
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC的中点．
(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)求直线A1C与平面A1AB所成的角的正弦值；
(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC.
∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊂平面A1AC，∴A1O⊥平面ABC.
(2)连接OB，如图，以O为原点，分别以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0，0，)，A(0，－1,0)．
∴＝(0,1，－)．
令平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝n·＝0，而＝(0,1，)，＝(1,1,0)，可求得一个法向量n＝(3，－3，)，
∴|cos〈，n〉|＝＝＝，故直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为.
(3)存在点E，且E为线段BC1的中点．
连接B1C交BC1于点M，连接AB1、OM，则M为B1C的中点，从而OM是△CAB1的一条中位线，即OM∥AB1，又AB1⊂平面A1AB，OM⊄平面A1AB，∴OM∥平面A1AB，故BC1的中点M即为所求的E点．
14．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，满足PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过圆M：x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且点A，B关于点M对称，求直线l的方程．
解：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝＝2，
故椭圆的半焦距c＝，从而b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，
所以圆心M的坐标为(－2,1)．
易知垂直于x轴且过点M的直线l不满足条件，从而可设直线l的方程为y＝k(x＋2)＋1，
代入椭圆C的方程得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0，因为点A，B关于点M对称，所以＝－＝－2，解得k＝.
所以直线l的方程为y＝(x＋2)＋1，
即8x－9y＋25＝0.
保温训练卷(三)
一、选择题
1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{t|t＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B中所含元素的和为( )
A．45 B．48
C．54 D．55
解析：选C 集合B中的元素是由集合A中的任意两个元素相加得到的(元素可以相同)，故集合B＝{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B中所含元素的和为54.
2．函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是( )
A. B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C f＝－，f(1)＝－3，f(2)＝－1，f(3)＝log23－1>0，f(4)＝2，根据零点存在性定理，所以函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
3．设a，b分别为先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋ax＋b＝0有实根的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 若第1次没有5，则第2次必是5，所以试验发生包含的事件数为6＋5＝11.
方程x2＋ax＋b＝0有实根要满足a2－4b≥0，
当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6；
当b＝5时，a＝6，
则共有6＋1＝7种结果，
∴满足条件的概率是.
4．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
C．AC⊥平面ABB1A1
D．A1C1∥平面AB1E
解析：选B A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中；B正确，易知AE，B1C1是异面直线，且AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1；C不正确，取AB的中点M，则CM⊥平面ABB1A1；D不正确，因为A1C1所在的平面ACC1A1与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确．
5．已知函数f(x)＝则满足不等式f(3－x2)成立，则m的最大正整数是________．
解析：设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝3，S6＝21可得解得
∴an＝n，＝，Sn＝1＋＋…＋.
令Tn＝S2n－Sn＝＋＋…＋，
则Tn＋1＝＋＋…＋＋＋，
Tn＋1－Tn＝＋－≥＋－＝0，
∴Tn＋1>Tn.若对一切n∈N*，恒有S2n－Sn>，则T1＝S2－S1＝>，m<8，故m的最大正整数是7.
答案：7
三、解答题
12．已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若f(x)在区间上的最大值与最小值的和为，求a的值．
解：(1)因为f(x)＝sin 2x＋＋a＝sin＋a＋，
所以T＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
故函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，－≤sin≤1.
因为函数f(x)在上的最大值与最小值的和为＋＝，所以a＝0.
13．已知数列{2n－1·an}的前n项和Sn＝1－.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列的前n项和．
解：(1)由题意知：Sn－1＝1－(n≥2)，
∵2n－1·an＝Sn－Sn－1，
∴2n－1·an＝－.
∴an＝－＝－2－n(n≥2)．
∵21－1·a1＝S1＝1－，
∴a1＝，
∴an＝
(2)由题意知bn＝＝＝(n≥2)，
∴＝n·2n(n≥2)．
∵＝＝2，
∴＝n·2n(n≥1)．
设的前n项和为S，
则S＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2S＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
∴S－2S＝1×2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2＋22＋…＋2n－n×2n＋1，
∴－S＝(1－n)×2n＋1－2，
∴S＝(n－1)×2n＋1＋2.
14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上， ·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)线段OF2(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意知，∠AF1F2＝90°，cos∠F1AF2＝，且||＝2，所以||＝，||＝，2a＝||＋||＝4，
所以a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)假设存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，直线PQ的斜率为k(k≠0)，
且过点F2(1,0)，则直线PQ的方程为y＝k(x－1)，
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
所以x1＋x2＝，故x0＝＝.
又点N在直线PQ上，所以N.
由·＝·，
可得·(＋)＝2·＝0，
即PQ⊥MN，所以kMN＝＝－，
整理得m＝＝∈，
所以线段OF2上存在点M(m,0)符合题意，其中m∈.
保温训练卷(四)
一、选择题
1．命题“∀x∈R，x2－x＋≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－x＋>0
B．∃x0∈R，x－x0＋≥0
C．∃x0∈R，x－x0＋<0
D．∀x∈R，x2－x＋<0
解析：选C 全称命题的否定是特称命题，结合选项可知选C.
2．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B tan＝tan＝＝.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 依题意，＝，所以b＝a，c＝a.故e＝.
4．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )
A．y＝x＋1的图像上 B．y＝2x的图像上
C．y＝2x的图像上 D．y＝2x－1的图像上
解析：选D 依题意，运行程序框图，输出的点依次为(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，易知这四个点均在y＝2x－1的图像上．
5．把函数y＝sin的图像向左平移个单位后，所得函数的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 依题意，把函数y＝sin的图像向左平移个单位后，所得函数为y＝sin，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以所得函数的单调递增区间为(k∈Z)．
6．已知实数a、b满足等式2a＝3b，下列五个关系式：①00.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值；
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为，求a的值．
解：f′(x)＝＋＝－＝(x>0)．
(1)∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，
∴f′(1)＝－2，即1－a＝－2，解得a＝3.
(2)①当00在[1,2]上恒成立，
这时f(x)在[1,2]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝a－1，
∴a－1＝，a＝，与00，f(x)在(a,2]上为增函数，∴f(x)min＝f(a)＝ln a，
∴ln a＝，a＝，满足题设；
③当a≥2时，f′(x)<0在(1,2)上恒成立，这时f(x)在[1,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝ln 2＋－1，
∴ln 2＋－1＝，a＝3－2ln 2，与a≥2矛盾，舍去；
综上得a＝.
