高考数学一轮复习精品题集之三角函数

高考数学一轮复习精品题集之三角函数

三角函数 必修 4 第 1 章 三角函数 §1.1 任意角的概念、弧度制 重难点：理解任意角的概念，掌握角的概念的推广方法,能在直角坐标系讨论任意角，判断 象限角、轴线角，掌握终边相同角的集合．掌握弧长公式、扇形面积公式并能灵活运用． 考纲要求：①了解任意角的概念． ②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化． 经典例题：写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把 S 中适合不等式-3600≤β <7200 的元素β 写出来： （1）600； （2）-210； （3）363014， 当堂练习： 1．已知 A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于 90°的角}，那么 A、B、C 关系是（ ） A．B=A∩C B．B∪C=C C．A  C D．A=B=C 2 下列各组角中，终边相同的角是 （ ） A． 2 k 与 )(2 Zkk   B． )(3 k 3 Zkk   与 C．  )14()12(  kk 与 )( Zk  D． )(66 Zkkk   与 3．已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A．2 B． 1sin 2 C． 1sin2 D． 2sin 4．设 角的终边上一点 P 的坐标是 )5sin,5(cos  ，则 等于 （ ） A． 5  B． 5cot  C． )(10 32 Zkk   D． )(5 92 Zkk   5．将分针拨慢 10 分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A． 3  B．－ 3  C． 6  D．－ 6  6．设角 和  的终边关于 y 轴对称，则有 （ ） A． )(2 Zk   B． )()2 12( Zkk   C． )(2 Zk   D． )()12( Zkk   ≠ 7．集合 A={ },3 22|{},2| ZnnZnn   ， B={ },2 1|{},3 2| ZnnZnn   ， 则 A、B 之间关系为 （ ） A． AB  B． BA  C．B  A D．A B 8．某扇形的面积为 1 2cm ，它的周长为 4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ） A．2° B．2 C．4° D．4 9．下列说法正确的是 （ ） A．1 弧度角的大小与圆的半径无关 B．大圆中 1 弧度角比小圆中 1 弧度角大 C．圆心角为 1 弧度的扇形的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 10．中心角为 60°的扇形，它的弧长为 2 ，则它的内切圆半径为 （ ） A．2 B． 3 C．1 D． 2 3 11．一个半径为 R 的扇形，它的周长为 4R，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ） A． 2)1cos1sin2(2 1 R B． 1cos1sin2 1 2 R C． 2 2 1 R D． 22 1cos1sin RR  12．若 角的终边落在第三或第四象限，则 2  的终边落在 （ ） A．第一或第三象限 B．第二或第四象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 13．  sin12sin2cos  ，且 是第二象限角，则 2  是第 象限角. 14．已知  -2,3,3 4 则 的取值范围是 . 15．已知 是第二象限角，且 ,4|2|  则 的范围是 . 16．已知扇形的半径为 R，所对圆心角为 ，该扇形的周长为定值 c，则该扇形最大面积为 . 17．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界） ≠ ≠ （1） （2） （3） 18．一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于 5′. 试问：（1）离人 10 米处能阅读的方形文字的大小如何？ （2）欲看清长、宽约 0.4 米的方形文字，人离开字牌的最大距离为多少？ 19．一扇形周长为 20cm，当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求 此扇形的最大面积？ 20．绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上，绳子的下端 B 处悬挂着物体 W，如果轮子按逆时针 方向每分钟匀速旋转 4 圈，那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向上提升 100cm? 21．已知集合 A={ }810,150|{},135|  kkBZkk  求与 A∩B 中角终边相同角的集合 S. 必修 4 第 1 章 三角函数 考纲总要求：①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义． ②能利用单位圆中的三角函数线推导出 2   ，   的正弦、余弦、正切的诱导公式，能 画出 sinyx ， cosyx ， tanyx 的图像，了解三角函数的周期性． ③理解正弦函数、余弦函数在区间 0, 2 的性质（单调性、最大和最小值与 x 轴交点等）， 理解正切函数在区间 , 22  的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式 22sinsin cos 1, tan cos xx x x x    ． ⑤了解函数 sin( )y A x的物理意义；能画出 的图像，了解参数 ,,A 对 函数图像变化的影响． ⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问 题． §1.2.1-2 任意角的三角函数值、同角三角函数的关系 重难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象 限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式；能利用与单位圆有关的有向线段，将任意 角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来；掌握同角三角函数的基本 关系式，三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用以及对三角式进 行化简和证明． 经典例题：已知 为第三象限角，问是否存在这样的实数 m，使得 sin 、 cos 是关于 x 的 方程 28 6 2 1 0x mx m    的两个根，若存在，求出实数 m，若不存在，请说明理由. 当堂练习： 1．已知 )20(   的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么 的值为（ ） A．  4 3 4 或 B．  4 7 4 5 或 C．  4 5 4 或 D．  4 7 4 或 2．若 为第二象限角，那么 )2cos(sin)2sin(cos   的值为 （ ） A．正值 B．负值 C．零 D．为能确定 3．已知   tan,5cos5sin3 cos2sin 那么  的值为 （ ） A．－2 B．2 C． 16 23 D．－ 16 23 4．函数 1sec tan sin cos1 sin1 cos)( 2 2 2     x x x x x xxf 的值域是 （ ） A．{－1，1，3} B．{－1，1，－3} C．{－1，3} D．{－3，1} 5．已知锐角 终边上一点的坐标为（ ),3cos2,3sin2  则 =（ ） A． 3 B．3 C．3－ 2  D． 2  －3 6．已知角 的终边在函数 || xy  的图象上，则 cos 的值为 （ ） A． 2 2 B．－ 2 2 C． 或－ D． 2 1 7．若 ,cos3sin2   那么 2 的终边所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8． 1sin 、 1cos 、 1tan 的大小关系为 （ ） A． 1tan1cos1sin  B． 1cos1tan1sin  C． 1cos1sin1tan  D． 1sin1cos1tan  9．已知 是三角形的一个内角，且 3 2cossin   ，那么这个三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形 10．若 是第一象限角，则  2cos,2tan,2cos,2sin,2sin 中能确定为正值的有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．2 个以上 11．化简 1csc2csc csc1 tan1 sec 22        （ 是第三象限角）的值等于（ ） A．0 B．－1 C．2 D．－2 12．已知 4 3cossin   ，那么  33 cossin  的值为（ ） A． 23128 25 B．－ 23128 25 C． 23128 25 或－ D．以上全错 13．已知 ,24,8 1cossin   且 则   sincos . 14．函数 xxy coslg36 2  的定义域是_________. 15．已知 2 1tan x ，则 1cossin3sin 2  xxx =______. 16．化简   2266 cossin3cossin . 17．已知 .1cossin,1sincos   b y a x b y a x 求证： 22 2 2 2  b y a x . 18．若 xx x x x tan 2 cos1 cos1 cos1 cos1    ,求角 x 的取值范围. 19．角 的终边上的点 P 和点 A（ ba, ）关于 x 轴对称（ 0ab ）角  的终边上的点 Q 与 A 关于直线 xy  对称. 求  cscseccottansecsin  的值. 20．已知 cba   2424 sinsin7cos5cos2 是恒等式. 求 a、b、c 的值. 21．已知 sin 、 sin 是方程 01268 2  kkxx 的两根，且 、 终边互相垂直. 求 k 的值. 必修 4 第 1 章 三角函数 §1.2.3 三角函数的诱导公式 重难点：能借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式；能正确运用诱导公式将任意角的 三角函数化为锐角的三角函数，并解决求值、化简和恒等式证明问题；能通过公式的运用， 了解未知到已知、复杂到简单的转化过程． 经典例题：已知数列 }{ na 的通项公式为 ),32cos(   nnan 记 .21 nn aaaS   求 .2002S 当堂练习： 1．若 ,3cos)(cos xxf  那么 )30(sin f 的值为 （ ） A．0 B．1 C．－1 D． 2 3 2．已知 ,)15 14tan( a  那么 1992sin （ ） A． 21 || a a  B． 21 a a  C． 21 a a   D． 21 1 a  3．已知函数 1tansin)(  xbxaxf ，满足 .7)5( f 则 )5(f 的值为（ ） A．5 B．－5 C．6 D．－6 4．设角 则,6 35  )(cos)sin(sin1 )cos()cos()sin(2 22     的值等于（ ） A． 3 3 B．－ 3 3 C． 3 D．－ 3 5．在△ABC 中，若 )sin()sin( CBACBA  ，则△ABC 必是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 6．当 Zk  时， ])1cos[(])1sin[( )cos()sin(     kk kk 的值为 （ ） A．－1 B．1 C．±1 D．与 取值有关 7．设  ,,,(4)cos()sin()( baxbxaxf  为常数），且 ,5)2000( f 那么 )2004(f （ ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．如果 ).cos(|cos|  xx 则 x 的取值范围是 （ ） A． )(]22,22[ Zkkk   B． )()22 3,22( Zkkk   C． )(]22 3,22[ Zkkk   D． )()2,2( Zkkk   9．在△ABC 中，下列各表达式中为常数的是 （ ） A． CBA sin)sin(  B． ACB cos)cos(  C． 2tan2tan CBA  D． 2sec2cos ACB  10．下列不等式上正确的是 （ ） A．  7 4sin7 5sin  B． )7tan(8 15tan   C． )6sin()7 5sin(   D． )4 9cos()5 3cos(   11．设 ,1234tan a 那么 )206cos()206sin(  的值为 （ ） A． 21 1 a a   B．－ 21 1 a a   C． 21 1 a a   D． 21 1 a a   12．若 )cos()2sin(   ，则 的取值集合为 （ ） A． }42|{ Zkk   B． }42|{ Zkk   C． }|{ Zkk   D． }2|{ Zkk   13．已知 ,2cos3sin   则     cossin cossin . 14．已知 ,1)sin(   则  )32sin()2sin(  . 15．若 ,223tan1 tan1     则     cossincot 1)cos(sin . 16．设 )cos()sin()( 21   xnxmxf ，其中 m、n、 1 、 2 都是非零实数，若 ,1)2001( f 则 )2002(f . 17．设 sin , ( 0)() ( 1) 1, ( 0) xxfx f x x       和 1cos , ( )2() 1( 1) 1, ( )2 xx gx g x x        求 )4 3()6 5()3 1()4 1( fgfg  的值. 18．已知 ,1)sin(  yx 求证： .0tan)2tan(  yyx 19．已知 tan 、 cot 是关于 x 的方程 0322  kkxx 的两实根，且 ,2 73   求 )sin()3cos(   的值. 20．已知 ,3cos3cot)(tan xxxf  （1）求 )(cot xf 的表达式；（2）求 )3 3(f 的值. 21．设 )(xf 满足 )2|(|cossin4)(sin3)sin(  xxxxfxf , （1）求 )(xf 的表达式；（2）求 的最大值． 必修 4 第 1 章 三角函数 §1.3.1-2 三角函数的周期性、三角函数的图象和性质 重难点：理解周期函数的概念．能利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；对正、余弦函 数奇、偶性和单调性的理解与应用，能灵活应用正切函数的性质解决相关问题． 经典例题：设 )0(cossin2sin  P （1）令 tt 用,cossin   表示 P； （2）求 t 的取值范围，并分别求出 P 的最大值、最小值. 当堂练习： 1．若  22 tantan),2 3,(,  且 ，则 （ ） A．α <β B．α >β C．α +β >3π D．α +β <2π 2．函数 )42sin(log 2 1  xy 的单调减区间为 （ ） A． )(],4( Zkkk   B． )(]8,8( Zkkk   C． )(]8,8 3( Zkkk   D． )(]8 3,8( Zkkk   3．已知有意义的角 x 等于 （ ） A． )(3 22 Zkk   B． )(3 12 Zkk   C． )(3 22 Zkk   D． )(3 22 Zkk   4．函数 )2 52sin(  xy 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A． 2 x B． 4 x C． 8 x D． 4 5x 5． 直线 y=a（a 为常数）与 y=tanω x（ω >0）的相邻两支的交点距离为 （ ） A．π B．   C．   2 D．与 a 有关的值 6．下列函数中，以π 为周期的偶函数是 （ ） A． |sin| xy  B． ||sin xy  C． )32sin(  xy D． )2sin(  xy 7．在区间（－ 2 3 ， ）内，函数 y=tanx 与函数 y=sinx 图象交点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．下列四个函数中为周期函数的是 （ ） A．y=3 B． xy 3 C． Rxxy  ||sin D． 01sin  xRxxy 且 9．在△ABC 中，A>B 是 tanA>tanB 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．函数 xxy cotcos  的定义域是 （ ） A． ]2 3,[   kk B． ]2 32,2[   kk C． 22]2 32,2(   kxkk 或 D． ]2 32,2(   kk 11．方程 )(3tan   xx 的解集为 （ ） A． }6 5,6{  B． }3 2,3 2{  C． }3 2,3{  D． }3 5,3 2{  12．函数 ],[)0)(sin()( baxMxf 在区间  上为减函数，则函数 ],[)cos()( baxMxg 在  上 （ ） A．可以取得最大值 M B．是减函数 C．是增函数 D．可以取得最小值－M 13．  3 1arctan2 1arctan .[来源:学科网] 14．若 )101()5(),3(),1(,6sin)( ffffnnf 则 = . 15．函数 y=2arccos（x－2）的反函数是 . 16．函数 216sinlg xxy  的定义域为 . 17．求函数 ],2[2sin2   xxy 在 上的反函数. 18．如图，某地一天从 6 时到 11 时的温度变化曲线近似满足函数 bxAy  )sin(  (1) 求这段时间最大温差； (2) 写出这段曲线的函数解析式． 19．若 ]4,3[ x ，求函数 1tan2sec2  xxy 的最值及相应的 x 值. 20．已知函数 bxay  cos 的最大值为 1，最小值为－3，试确定 )3sin()(  axbxf 的 单调区间. 21．设函数  Nkxky ],5)12tan[(10 当 x 在任意两个连续整数间（包括整数本身）变 化时至少有两次失去意义，求 k 的最小正整数值. 必修 4 第 1 章 三角函数 §1.3.3 函数 sin( )y A x的图象和性质 重难点：函数 的图像的画法和设图像与函数 y=sinx 图像的关系，以及对各 种变换内在联系的揭示． 经典例题：如图，表示电流强度 I 与时间 t 的关系式 ),0,0)(sin(   AtAI 在一 个周期内的图象. （１）试根据图象写出 )sin(   tAI 的解析式； （２）为了使 中 t 在任意一段100 1 秒 的时间内 I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数  的最小值为多少？ 当堂练习： 1．函数 )32sin(2  xy 的图象 （ ） A．关于原点对称 B．关于点（－ 6  ，0）对称 C．关于 y 轴对称 D．关于直线 x= 6  对称 2．要得到 )42sin(3  xy 的图象只需将 y=3sin2x 的图象 （ ） A．向左平移 4  个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 8  个单位 D．向右平移 8  个单位 3．如图，曲线对应的函数是 （ ） A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sinx| 4．已知 f(1+cosx)=cos2x,则 f(x)的图象是下图中的（ ） 5．如果函数 y=sin2x+α cos2x 的图象关于直线 x=－ 对称，那么α 的值为 （ ） A． 2 B．－ 2 C．1 D．－1 6．已知函数 )sin(   xAy 在同一周期内， 9 x 时取得最大值 2 1 ， 9 4x 时取得最 小值－ ，则该函数解析式为 （ ） A． )63sin(2  xy B． )63sin(2 1  xy C． )63sin(2 1  xy D． )63sin(2 1  xy 7．方程 )4cos(lg  xx 的解的个数为 （ ） A．0 B．无数个 C．不超过 3 D．大于 3 8．已知函数 )32sin(4)32sin(3 21   xyxy 那么函数 y=y1+y2 振幅的值为（ ） A．5 B．7 C．13 D． 13 9．已知 )()0(cos)(,cos)( 221 xfxxfxxf 且  的图象可以看做是把 )(1 xf 的图象上 所 有点的横坐标压缩到原来的 1/3 倍 （纵坐标不变）得到的，则 = （ ） A． 2 1 B．2 C．3 D． 3 1 10．函数 y=－x·cosx 的部分图象是 （ ） 11．函数 )42sin(log 2 1  xy 的单调减区间是 （ ） A． )](,4( Zkkk   B． )](8,8( Zkkk   C． )](8,8 3( Zkkk   D． )](8 3,8( Zkkk   12．函数 |)32sin(5|  xy 的最小正周期为 （ ） A．π B． 2  C．2π D．4π 13．若函数 )43sin(2)(  xkxf 的周期在 )4 3,3 2( 内，则 k 的一切可取的正整数值 是 . 14．函数 ])3 2,6[)(8cos(   xxy 的最小值是 ． 15 ． 振 动 量 )0)(sin(2  xy 的 初 相 和 频 率 分 别 为 2 3和 ， 则 它 的 相 位 是 ． 16．函数 )40).(62cos(2cos   xxxy 的最大值为 ． 17．已知函数 )(32 5cos35cossin5)( 2 Rxxxxxf  （１）求 )(xf 的最小正周期;（２）求 的单调区间; （３）求 图象的对称轴，对称中心. 18．函数 )2||,0,0)(sin()(   AxAxf 的最小值为－2,其图象相邻的最高点 [来源:Z_xx_k.Com] 与最低点横坐标差是 3π ，又图象过点（0，1）求这个函数的解析式. 19．已知函数 =sin2x+acos2x 在下列条件下分别求 a 的值. （１）函数图象关于原点对称;（２）函数图象关于 8 x 对称. 20．已知函数 baxxaxaxf  2cossin322cos)( 的定义域为 ]2,0[  ，值域为[－ 5，1]求常数 a、b 的值． 21 ． 已 知 α 、 β 为关于 x 的 二 次 方 程 0sin)1(sin2 22   xx 的 实 根 ， 且 22||   ，求θ 的范围． 必修 4 第 1 章 三角函数 §1.3.4 三角函数的应用 重难点：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；利用收集到的数据作出散点图，并 根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型． 经典例题：已知某海滨浴场的海浪高度  my 是时间t ( 240  t ,单位:小时)的函数,记作  tfy  .下表是某日各时的浪高数据: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 5.1 0.1 5.0 5.0 99.0 经长期观察, 的曲线可近似地看成是函数 btAy       2sin  的图象. (1)根据以上数据,求出函数 btAy       2sin  的最小正周期T ,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 m1 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上 午 00:8 到晚上 00:20 之间,有多少时间可供冲浪者进行活动? 当堂练习： 1.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2004 北京西城一模)设 0＜|α |＜ 4  ,则下列不等式中一定成立的是( ) A.sin2α ＞sinα B.cos2α ＜cosα C.tan2α ＞tanα D.cot2α ＜cotα 3.已知实数 x、y、m、n 满足 m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则 mx+ny 的最大值为( ) A. 2 ba  B. ab C. 2 22 ba  D. 2 22 ba  4. 初速度 v0，发射角为 ，则炮弹上升的高度 y 与 v0 之间的关系式为（ ） A. tvy 0 B. 2 0 2 1sin tgtvy   C. tvy  sin0 D. tvy  cos0 5. 当两人提重为 G 的书包时，夹角为 ，用力为 F ，则 为____时， 最小（ ） A． 2  B.0 C. D. 3 2 6.某人向正东方向走 x 千米后向右转 150 ，然后朝新的方向走 3 千米，结果他离出发点恰好 3 千米，那么 x 的值为 （ ） A． 3 B. 32 C. 332 或 D. 3 7. 甲、乙两楼相距 60 米，从乙楼底望甲楼顶仰角为 045 ，从甲楼顶望乙楼顶俯角为 30 ， 则甲、乙两楼的高度分别为____________________. 8.一树干被台风吹断折成 60 角，树干底部与树尖着地处相距 20 米，树干原来的高度是 ________. 9.(2006 北京海淀模拟)在△ABC 中,∠A=60°,BC=2,则△ABC 的面积的最大值为_________. 10.在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔 CD(如右图),今在距离 B 点 60 m 的地面上取 一点 A,若测得 C、D 所张的角为 45°,则这个电视塔的高度为_______________. 11.已知函数    xAy sin    ,0,0A 的最小正周期为 3 2 ,最小值为 2 , 图象经过点      0,9 5 ,求该函数的解析式. 12．如图，某地一天从6 时到14时的温度变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数   btAy  sin ,(I)求这段时间的最 大温差;(II)写出这段曲线的函数解析式. 13.若 x 满足 mx      4 3cos2     x ,为使满足条件的 x 的值(1)存在;(2)有且只 有一个;(3)有两个不同的值;(4)有三个不同的值,分别求 m 的取值范围. 14.如图,化工厂的主控制表盘高1米,表盘底边距地面2米,问值班人员坐在什么位置上表盘看 得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面 1.2 米) 必修 4 第 1 章 三角函数 §1.4 三角函数单元测试 1. 化简 0 0 15tan1 15tan1   等于 （ ） A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 1 2. 在 ABCD 中，设 AB a , AD b ，AC c , BD d ,则下列等式中不正确的是（ ） A． a b c B． a b d C．b a d D． 2c d a 3. 在 ABC 中，①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③ 2tan2tan CBA  ；④ cos sec22 B C A ， 其中恒为定值的是（ ） A、① ② B、② ③ C、② ④ D、③ ④ 4. 已知函数 f(x)=sin(x+ 2  )，g(x)=cos(x－ 2  )，则下列结论中正确的是（ ） A．函数 y=f(x)·g(x)的最小正周期为 2 B．函数 y=f(x)·g(x)的最大值为 1 C．将函数 y=f(x)的图象向左平移 2  单位后得 g(x)的图象 D．将函数 y=f(x)的图象向右平移 单位后得 g(x)的图象 5. 下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 3 x 对称的是（ ） A． )32sin(  xy B． )62sin(  xy C． )62sin(  xy D． )62sin(  xy 6. 函数 xxy sincos 2  的值域是 （ ） A、 1,1 B、     4 5,1 C、 2,0 D、     4 5,1 7. 设 00 00 20 1 3 2tan13 1 cos50cos6 sin 6 , , ,2 2 1 tan 13 2a b c     则有（ ） A． abc B. abc C. b c a D. a c b 8. 已知 sin 5 3 , 是第二象限的角，且 tan(   )=1,则 tan  的值为（ ） A．－7 B．7 C．－ 4 3 D． 9. 定义在 R 上的函数 )(xf 既是偶函数又是周期函数，若 )(xf 的最小正周期是 ，且当 ]2,0[ x 时， xxf sin)(  ，则 )3 5( f 的值为（ ） A. 2 1 B 2 3 C 2 3 D 2 1 10. 函数 1 cos sin xy x  的周期是（ ） A． 2  B． C． 2 D． 4 11. 2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 4 个相同的直角三 角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形的面 积是 1，小正方形的面积是  22 cossin,25 1 则 的值等于（ ） A．1 B． 25 24 C． 25 7 D． 7 25 12. 使函数 f(x)=sin(2x+ )+ )2cos(3 x 是奇函数，且在[0， ]4  上是减函数的 的一（ ） A． 3  B． 3 2 C． 3 4 D． 3 5 13、函数 sin 1y a x的最大值是 3，则它的最小值______________________ 14、若 a b a b   ，则 a 、b 的关系是____________________ 15、若函数 f(χ )是偶函数，且当χ ＜0 时，有 f(χ )=cos3χ +sin2χ ，则当χ ＞0 时，f(χ )的 表达式为 . 16、给出下列命题：(1)存在实数 x，使 sinx+cosx＝ 3  ; (2)若， 是锐角△ ABC 的内角， 则sin > cos ; (3)函数 y＝sin( 3 2 x- 2 7 )是偶函数； (4)函数 y＝sin2x 的图象向右平移 4  个单位，得到 y＝sin(2x+ )的图象.其中正确的命题的序号是 . 17、求值: 0 000 10cos1 )10tan31(80sin50sin2   18、已知π 2 <α <π ,0<β <π 2 ,tanα =－ 3 4 ,cos(β －α )= 5 13 ,求 sinβ 的值. 19、已知函数 .2sin2 1log 2 1    xy （1）求它的定义域、值域以及在什么区间上是增函数； （2）判断它的奇偶性； （3）判断它的周期性。 20、求 23 24 2421 2 x x xx xf sin sin )(sinsin )(    的最大值及取最大值时相应的 x 的集合. 21、已知定义在 R 上的函数 f(x)= )0(cossin   xbxa 的周期为 ，且对一切 xR， 都有 f(x) 4)12(  f ； （1）求函数 f(x)的表达式； （2）若 g(x)=f( 6 x  ),求函数 g(x) 的单调增区间； [来源:学+科+网] 22、 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的 探究顺序，研究函数 f(x)= xx sin1sin1  的性质，并在此基础上，作出其在 上的图象。],[  必修 4 第 3 章 三角恒等变换 §3.1 两角和与差的三角函数 重难点：掌握余弦的差角公式的推导并能灵活应用；能利用两角和与差的余弦公式推导两角 和与差的正弦公式，学会推导两角和差的正切公式． 考纲要求：①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式． 经典例题：已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B， 1 1 2 cos cos cosA C B    求 cos 2 AC 的值. 当堂练习： 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α 和β ，等式  sinsincoscos)cos(  恒成立； ②存在实数α ，β ，使等式  sinsincoscos)cos(  能成立； ③公式  )tan(    tantan1 tan   an 成立的条件是 )(2 Zkk   且 )(2 Zkk   ； ④不存在无穷多个α 和β ，使  sincoscossin)sin(  ； 其中假命题是 （ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 2．函数 )cos(sinsin2 xxxy  的最大值是 （ ） A． 21 B． 12  C． 2 D． 2 3．当 ]2,2[ x 时，函数 xxxf cos3sin)(  的 （ ） A．最大值为 1，最小值为－1 B．最大值为 1，最小值为 2 1 C．最大值为 2，最小值为－2 D．最大值为 2，最小值为－1 4．已知 )cos(,3 2tantan,7)tan(   则 的值 （ ） A． 2 1 B． 2 2 C． 2 2 D． 2 2 5．已知   2sin,5 3)sin(,13 12)cos(,4 3 2 则 （ ） A． 65 56 B．－ C． 56 65 D．－ 6．  75sin30sin15sin  的值等于 （ ） A． 4 3 B． 8 3 C． 8 1 D． 4 1 7 ．函数 )4cot()(,tan1 tan1)(),4tan()( xxhx xxgxxf    其 中 为 相 同 函 数 的 是 （ ） A． )()( xgxf 与 B． )()( xhxg 与 C． )()( xfxh 与 D． )()()( xhxgxf 及与 8．α 、β 、 都是锐角， 1 1 1tan , tan , tan , 2 5 8          则 等于（ ） A． 3  B． 4  C． 6 5 D． 4 5 9．设 0)4tan(tan 2  qpxx是方程和  的两个根，则 p、q 之间的关系是（ ） A．p+q+1=0 B．p－q+1=0 C．p+q－1=0 D．p－q－1=0 10．已知 )tan(),sin(4sin,cos   则a 的值是 （ ） A． 4 1 2   a a B．－ 4 1 2   a a C． 21 4 a a   D． 4 1 2   a a 11．在△ABC 中， 90C  ，则 BA tantan  与 1 的关系为 （ ） A． 1tantan  BA B． 1tantan  BA C． 1tantan  BA D．不能确定 12．  50sin10sin70cos20sin  的值是 （ ） A． 4 1 B． 2 3 C． 2 1 D． 4 3 13．已知 m )sin()sin(  ，则  22 coscos  的值为 . 14．在△ABC 中， 33tantantan  CBA ， CAB tantantan2  则∠B= . 15．若 ),24cos()24sin(    则 )60tan(  = . 16．若 yxyx coscos,2 2sinsin  则 的取值范围是 . 17．化简求值： )34sin( x )36cos()33cos( xx   )34sin( x  ． 18．已知 0  cos,cos,90 且 是方程 02 150sin50sin2 22   xx 的 两根，求 )2tan(   的值. 19．求证： yx xyxyx 22 sincos 2sin)tan()tan(  ． 20．已知α ，β ∈（0，π ）且 7 1tan,2 1)tan(   ，求  2 的值. 21．证明： xx xxx 2coscos sin2 2tan2 3tan  . 必修 4 第 3 章 三角恒等变换 §3.2 二倍角的三角函数 重难点：理解二倍角公式的推导，并能运用二倍角公式灵活地进行化简、求值、证明． 考纲要求：①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的 正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系示． 经典例题：已知 1 cos sin 1 cos sin() 1 sin cos 1 sin cos x x x xfx x x x x         ． （I）化简 f（x）； (II) 是否存在 x，使得 21 tan 2tan ( ) 2 sin x x fx x   与 相等？若存在，求 x 的值，若不存在，请 说明理由. 当堂练习： 1．  15cos75cos15cos75cos 22  的值是 （ ） A． 4 5 B． 2 6 C． 2 3 D． 4 31 2．如果 sin 1 , sin cos 1 cos 2      那么 的值是 （ ） A． 5 7 B． 5 8 C．1 D． 15 29 3．已知 为第Ⅲ象限角，则 cos2 1 2 1 2 1 2 1  等于 （ ） A． 4sin  B． 4cos C． 4sin D． 4cos 4．函数 x xxy cos cos3cos  的值域是 （ ） A． )0,4[ B． )4,4[ C． ]0,4( D．[－4，0] 5．  13 3cos13 5cos13cos13 9cos2  的值是 （ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 6．  80sin60sin40sin20sin  的值为 （ ） A．16 1 B． 16 1 C．16 3 D． 16 3 7．  48cos78sin24cos6sin  的值为 （ ） A． B． C． 32 1 D． 8 1 8．   cos1 sin 2tan  成立的条件是 （ ） A． 2  是第 I 第限角 B． ))(2,2( Zkkk   C． 0cossin   D．以上都不对 9．已知  xxx 2tan,5 4cos),0,2( 则 （ ） A． 24 7 B．－ C． 7 24 D．－ 7 24 10．已知θ 为第Ⅲ象限角，  2sin,9 5cossin 44 那么 等于 （ ） A． 23 2 B． 23 2 C． 3 2 D． 3 2 11．已知θ 为第Ⅱ象限角， 225sin sin 24 0,   则 cos 2  的值为 （ ） A． 5 3 B． 5 3 C． 2 2 D． 5 4 12．设 x xxxxxx tan1 2sincos2,0)3cos)(sinsincos2( 2   则 的值为 （ ） A． 5 8 B． 8 5 C． 5 2 D． 2 5 13．  100cos60cos40cos20cos  的值等于 . 14．已知 3 1coscos,4 1sinsin   ，则 )tan(   的值为 . 15．已知  cot),,0(,5 1cossin 则 的值是 . 16．化简   100sin15cos 100cos  的结果是 . 17．已知 )cos(,20,0,3 2)2sin(,9 1)2cos(   求 的值. 18．设 )6sin(2)32cos(],3,0[   xxyx 求函数 的最值. [来源:Z#xx#k.Com] 19．求证： xxxxx 2coscos3cossin3sin 333  . 20．不查表求值：  40cos160cos160cos80cos80cos40cos  . 21．已知函数 5sin1 2( ) (0 ), ( )2 2sin 2 ff          将 表示成关于 cos 的多项式． 必修 4 第 3 章 三角恒等变换 §3.3 几个三角恒等式 重难点：了解和差化积公式和积化和差公式的推导并能简单运用． 考纲要求：①能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公 式，但对这三组公式不要求记忆． 经典例题：证明：内切圆半径为定值 r 的直角三角形中，以等腰直角三角形的周长最小． 当堂练习： 1.求值:cos 7 2 +cos 7 4 +cos 7 6 2.证明：tan 2 3x －tan 2 x = xx x 2coscos sin2  3.已知 5cos3sin cossin2   ，求 3cos 2 + 4sin 2 的值。 4.证明： sin 1 1 1tan1 sin cos 2 2 2     5.已知： tan b a  ，求证： cos2 sin 2a b a 6.已知： 2 2 22tan tan 0, 1 tan tan 02 2 2 2x x y y          求证： 2 2 2cos2 2sinxy   必修 4 第 3 章 三角恒等变换 §3.4 三角恒等变换单元测试 1、已知 ,4 1)4tan(,5 2)tan(   则 )4tan(   的值等于 （ ） （A）18 13 （B） 22 3 （C） 22 13 （D）18 3 2、已知 ,3 1coscos,2 1sinsin   则 )cos(   值等于 （ ） （A） 12 7 （B） 18 17 （C） 72 59 （D） 72 109 3、 2cos12cos1  等于（ ） （A） )1sin1(cos2  （B） )1sin1(cos2  （C）2cos1 （D） )1sin1(cos2  4、已知 ,2 1 cossin1 cossin1     则 cosθ 的值等于（ ） （A） 5 3 （B） 5 3 （C） 5 5 （D） 5 4 5、若 ),24(169 60cossin   AAA 则 Atan 的值等于( ） （A） 4 3 （B） 3 4 （C）12 5 （D） 5 12 6、 ,13 5)4cos(  x 且 ,40  x 则 )4sin( 2cos x x  等于（ ） （A） 24 13 （B） 13 12 （C） 13 24 （D）12 13 7、已知  ,,3tan,2tan  为锐角，则   值是（ ） （A） 4  （B） 4 3 （C） 3 2 （D） 6 5 8、已知 1tan 3  ，则 2 1cos sin 22 （ ） （A） 6 5 （B） 4 5 （C） 4 5 （D） 6 5 9、设 ， ，  0, 2  ，且 sin sin sin   ，cos cos cos   ，则  等 于（ ） （A） 3  （B） 6  （C） 3  或 （D） 10 、设 0 0 0 0cos50 cos127 cos40 cos37a ，  002 sin56 cos562b  ， 20 20 1 tan 39 1 tan 39c   ，  0 2 01 cos80 2cos 50 12d    ，则 a ，b ， c ， d 的大小关系为（ ） （A） a b d c   （B）b a d c   （C） a c b d   （D）c a b d   11、函数 22( ) cos ( ) sin ( ) 112 12f x x x     是（ ） （A）周期为 2 的奇函数 （B）周期为 的偶函数 （C） 周期为 的奇函数 （D）周期为 的偶函数 12、已知函数 f(x)=2asin2x－2 3 sinxcosx+a+b(a<0)的定义域是[0, 2  ],值域为[－5,1],则 a、 b 的值为 （ ） A．a=2, b=－5 B．a＝－2,b=2 C．a=－2, b=1 D．a=1,b=－2 13、函数 sin( )cos6y x x 的最小值 ________ 。 14、已知 1sin cos 3 ，则cos4 = 。 15、函数 00sin( 15 ) 2 cos( 60 )y x x    的最大值 。 16、已知 sin cosy x x，给出以下四个命题： 若  0,x  ，则 1, 2y ； 直线 4x  是函数 图象的一条对称轴； 在区间 5,44  上函数 是增函数； 函数 的图象可由 2 cosyx 的图象向右平移 4  个单位而得到， 其中正确命题的序号为 ____________ 。 17 若 xx x x x tan 2 cos1 cos1 cos1 cos1    , 求角 x 的取值范围. 18 已知 cos(x＋ 4  )= 5 3 ， 4 5 ＜x＜ 4 7 ，求 x xx tan1 sin22sin 2   的值。 19 将一块圆心角为 60°，半径为 20cm 的扇形铁电裁成一个矩形，求裁得矩形的最大面积. 20.已知 13 5)sin(20  yxyx 且 （Ⅰ）若 ,2 1 2 xtg 分别求 yx coscos 及 的值； （Ⅱ）试比较 )sin(sin yxy 与 的大小，并说明理由. 21 、 已 知 sin 4 x 、 cos 4 x 是 y 的方程 2 0y py q   的 两 个 实 根 ， 设 函 数 22( ) 2( 3 1) 2cos 4 xf x p q    ，试问（1）求 ()fx的最值；（2） 的图象可由正弦 曲线 sinyx 经过怎样的变换而得到；（3）求 的单增区间。 必修 4 必修 4 综合检测 1. 600cos 的值是 （ ） A. 2 1 B.－ C. 2 3 D.－ 2.如图，向量OA ＝a, AB ＝b, | AC |＝| AB | ,则向量OC 等于 ( ) A. a＋b B. a－b C. b－a D. 不确定 3.把函数 y＝sin(2x＋ 3  )的图像上各点的横坐标变为原来的 3 1 ，再把所得图像向右平移 8  ， 则 所 得 图 像 的 周 期 和 初 相 分 别 为 （ ） A.3π ， 4  B. 3  ， 12 13 C. ， 12 5 D.3π ， 5 12  4.  )2 3sin(  （ ） A. cos B. sin C. sin D. cos 5.对于 R ,下列等式中恒成立的是 ( ) A.  sin)2sin(  B.  cos)cos(  C. )2cos()cos(   D. )2tan()tan(   6.函数 ]),0[)(26sin(2   xxy 为增函数的区间是 ( ) A. ]3,0[  B. ]12 7,12[  C. ]6 5,3[  D. ],6 5[  7.函数 )2tan( xy   )044(  xx 且 的值域是 ( ) A. ]1,1[ B. ),1[]1,(  C. )1,( D. ),1[  8.已知 2 1 cos sin1  x x ,则 1sin cos x x 的值是 ( ) A. 2 1 B.－ C.2 D.－2 9.已知角 的终边上一点的坐标为（ 3 2cos,3 2sin  ），则角 的最小正值为（ ）. A、 6 5 B、 3 2 C、 3 5 D、 6 11 10.设 cos1000=k，则 tan800 是 （ ） A、 k k 21 B、 k k 21 C、 k k 21 D、 21 k k   11.若函数 )sin()(  xAxf （A＞0，ω ＞0）在 4 x 处取最大值，则 （ ） A． ()2fx  一定是奇函数 B． )4( xf 一定是偶函数 C． ()2fx  一定是奇函数 D． )4( xf 一定是偶函数 12.O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ),0[), |||| (   AC AC AB ABOAOP ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 13.已知 ,2tan  则  )sin(cossin  _______. 14.若 2 1cos  ,则角 的取值集合为____________. 15.已知函数 |2sin|)( xxf  ,则使 )()2( xfcxf  恒成立的最小正数 c 为 . 16.函数 1)3tan()(  xxf 的定义域为____________. 17.若  tantan  ,则角 的终边的位置在_______________. 18.若 )4 3sin(32cos4)4sin(2)4sin()(   xxxxxf ,则 ___)4 3( f 19.求函数 的定义域. 20.已知 4 1)12 5sin(  x ,求 )12(sin)12 7sin( 2 xx   的值. 21.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移 s (厘米)与摆动时间t (秒)的函数关系为： )62sin(6   ts (I)作出它的图像(一个周期区间)； (II)单摆开始摆动 )0( t 时，离开平衡位置多少厘米？ (III)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ 22.已知：函数 y=Asin( x+ )+c(A>0, >0,  < 2  )在同一周期中最高点坐标为（2，2）， 最低点的坐标为（8，—4），求函数解析式. 参考答案 第 1 章 三角函数 §1.1 任意角的概念、弧度制 经典例题：解：（1）S={β |β =600+k×3600，k∈Z}S 中适合-3600≤β <7200 的元素是 600+（-1）×3600=-3000 600+0×3600=600 600+1×3600=4200. （2）S={β |β =-210+k×3600，k∈Z} S 中适合-3600≤β <7200 的元素是 -210+0×3600=-210 -210+1×3600=3390 -210+2×3600=6990 （3）S={β |β =363014，+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β <7200 的元素是 363014，+（-2）×3600=-356046， 363014，+（-1）×3600=3014， 363014， +0×3600=363014， 当堂练习： 1.B; 2.C; 3.B; 4.D; 5.A; 6.D; 7.C; 8.B; 9.A; 10.A; 11.D; 12.B; 13. 三; 14. )6,(  ; 15. ]2,2(),2 3(   ; 16. 16 2C ; 17．（ 1） }1359013545|{ Zkkk   ； （2） }904590|{ Zkkk   ；； （3） }360150360120|{ Zkkk   ． 18．（ 1）设文字长、宽为l 米，则 )(01454.0001454.01010 ml   ； （2）设人离开字牌 x 米，则 )(275001454.0 4.0 2 mlx  ． 19． 22 102 1,220 rrrSr   ，当 2,5  r 时， )(25 2 max cmS  ． 20．设需 x 秒上升 100cm .则  15,100502460  xx （秒）． 21． }360k1350360|{ ZkkS   或 ． §1.2.1-2 任意角的三角函数值、同角三角函数的关系 经典例题：假设存在这样的实数 m，.则            ,08 12cossin ,4 3cossin ,0)12(3236 2 m m mm   又 18 122)4 3( 2  mm ，解之 m=2 或 m= .9 10 而 2 和 9 10 不满足上式. 故这样的 m 不存在. 当堂练习： 1.C; 2.B; 3.D; 4.D; 5.C; 6 .C; 7.C; 8.C; 9.B; 10.C; 11.A; 12.C; 13. 2 3 ; 14.              6,2 3 2,22 3,6   ; 15. 5 2 ; 16. 1; 17．由已知       ,cossin ,cossin   b x a x 故 2)()( 22  b x a x . 18．左 |sin| cos2 |sin| |cos1| |sin| |cos1| x x x x x x  =右， ).(222,0sin,sin cos2 |sin| cos2 Zkkxkxx x x x   19．由已知 P（ ),(),, abQba  ， a b a b b ba ba b     cot,tan,sec,sin 22 22 ， a ba a ba 2222 csc,sec   , 故原式=－1－ 02 22 2 2  a ba a b ． 20． 4 2 2 4 2 4 22cos 5cos 7 2 4sin 2sin 5 5sin 7 2sin 9sin                ， 故 0,9,2  cba ． 21．设 ,,22 Zkk   则  cossin  ， 由              ,1cossin ,8 12cossin ,4 3cossin ,0)12(84)6( 222 2 2 1 21 21 2    xx kxx kxx kk 解知 9 10k ， §1.2.3 三角函数的诱导公式 经典例题： )()()()( 2000841999732002622001512002 aaaaaaaaaaaaS   = 3 1 3 1( )(1 5 2001) ( )(2 6 2002) ( )(3 7 1999) ( )(4 8 2000) 2 2 2 2                  = 1 (1002 1001 3). 2  当堂练习： 1.C; 2.B; 3.B; 4.C; 5.C; 6.A; 7.C; 8.C; 9.C; 10.B; 11.B; 12.C; 13. 62  ; 14. 0; 15. 1; 16. － 1; 17． 2 2)4 1( g ， 5 3 1 2( ) 1, ( ) sin( ) 1,6 2 3 3gf     1)4sin()4 3(  f ， 故原式=3． 18．由已知 2 ( )2x y k k Z     ， 0tantantan)tan(tan)2tan(  yyyyyyx  ． 19．由 2 tan cot , tan cot 3, k k        知原式= 2 ． 20．（ 1） xxxf 3cos3cot)(tan  ， xxxfxf 3sin3tan)2(tan()(cot   ． （2） 0)2cos()2cot()]6[tan()3 3(  ff ． 21．（１）由已知等式 ( sin ) 3 (sin ) 4sin cosf x f x x x   ① 得 xxxfxf cossin4)sin(3)(sin  ② 由３①－②，得 8 xxxf cossin16)(sin  ， 故 212)( xxxf  ． （２）对01x，将函数 的解析式变形，得 22 42 ( ) 2 (1 ) 2 f x x x xx     ＝ 22112 ( )24x   ， 当 2 2x  时， max 1.f  §1.3.1-2 三角函数的周期性、三角函数的图象和性质 经典例题： （1） 12  ttp ； （2） min max 15[ 1, 2), 1 , 1, 24t t P t P       当 时 时, ． 当堂练习： 1.B; 2.B; 3.D; 4.C; 5.B; 6.A; 7.C; 8.A; 9.B; 10.C; 11.C; 12.A; 13. π /4; 14. 34)2 1( ; 15. )20(22cos)(1  xxxf ; 16. ),0(),4[   ; 17． )02(2arcsin22  xxy  ． 18．（ 1）20°； （2） 20)8sin(10   xy ． 19． 5,4,14.1)1(tan maxmin 2  yxyxxy 时当时当  ． 20．（ 1）当 a>0 时， )32sin()(  xxf 57[ , ] , [ , ]12 12 12 12k k k k          在在 ； （2）当 a<0 时， )32sin()(  xxf 5 5 11[ , ] , [ , ]12 12 12 12k k k k          在在 ． 21．由题设 1102,1012,25 12   kkk 即 ， min 10 1 . 172k k N K     ,又 ． §1.3.3 函数 sin( )y A x的图象和性质 经典例题： （1） )3100sin(300   tI ． （2） 629 ． 当堂练习： 1.B; 2.C; 3.C; 4.C; 5.D; 6.B; 7.C; 8.D; 9.C; 10.D; 11.B; 12.B; 13. 26、27、28; 14. 1/2; 15. 2π x－ π ; 16. 2 3 ; 17．（ 1）T=π ； （2） )(]12 5,12[ xfkk 为  的单增区间， )(]12 11,12 5[ xfkk 为  的单减区间； （3）对称轴为 ,.26 kx k Z   18． )62sin(2  xy ，对称中心为 ( ,0),( ).26 k kZ 19．（ 1）a=0； （2）a=－1． 20． baxaxf  2)32cos(2)(  ． 3 1, 2, 0 5, 5; 3 5, 2, 0 1, 1. a b a a bb a b a a bb                  当 时, 解之 当 时, 解之 故 a、b 的值为 2, 2, 5, 1. aa bb       或 21． ,.66k k k Z       §1.3.4 三角函数的应用 经典例题： 解:(1)由表中数据,知周期 .12T ∴ 612 22   T .由 5.1,0  yt ,得 5.1bA ①, 由 0.1,3  yt ,得 0.1b ②.由①②联立解得 1,2 1  bA ,∴振幅为 2 1 ,函数表达式为 126sin2 1        ty . (2)由题意知,当 y>1 时才可对冲浪者开放.由 1126sin2 1        t 得 06cos      t ,∴ 22622   ktk ,即  Zkktk  312312 ③.∵ 240  t ,∴可令③中 k 分别为 2,1,0 ,得 30  t 或 159  t 或 2421  t .∴在规定时间上午 00:8 到晚上 00:20 之间,有6 个小时可供冲浪者运动,即上午 00:9 到下午 00:15 . 当堂练习： 1.B; 2.B; 3.B; 4.C; 5.B; 6.C; 7.60,60 20 3 ; 8. 20 3 ; 9. 3 ; 10.150m; 11. 解:∵ 2A , 3 22    T ,∴ 3 ,又 09 53sin        ,∴ Zkk  ,9 5 . 若 Znnk  ,2 ,则 3 52   n ,∵   , ∴ 3   . 若 Znnk  ,12 ,则 3 52   n ,∵   , ∴ 3 2  . 故所求解析式为       33sin2 xy 或       3 23sin2 xy . 12. 解:( I)如图示, 这段时间的最大温差是 102030  (0C); (II)图中从 6 时到 14 时的图象是函数   btAy  sin 的半个周期的图象. 6142 2 1    ,解得 8   ,如图示,   1010302 1 A ,   2010302 1 b .这时函数 解析式为 208sin10        ty .将 6t , 10y 代入上式,可取 4 3  ,综上,所求的解 析式为: 204 3 8sin10        ty   14,6x . 13. 解 : 题中条件可化为 mx      4sin2     x , 作出函数         4sin2 xxf 及 函 数 my  的图象. (1)当 22  m 时,直线 与  xf 的图 象有交点,即满足条件的 x 的值存在. (2)当 2m 时,直线 与 的图象有 且只有一个交点,即满足条件的 x 的值有且只有一个. (3)当 12  m 或 21  m 时,直线 与 的图象有二个交点,即满足条件的 有两个不同的值. (4)当 1m 时,直线 与 的图象有三个交点,即满足条件的 有三个不同的值.; 14. 剖析:欲使表盘看得最清楚,人眼 A 距表盘的水平距离 AD 应使视角φ 最大. 解:CD=2-1.2=0.8, 设 AD=x, 则 tanα = AD BD = x 8.01 = x 8.1 ,tanβ = AD CD = x 8.0 . 因为 tanφ =tan(α -β )=   tantan1 tantan   , 所以 tanφ = xx xx 8.08.11 8.08.1   = xx 44.1 1  ≤ xx 44.12 1  = 4.2 1 , 所以当 x= x 44.1 ,即 x=1.2 时,tanφ 达到最大值 . 因为φ 是锐角,所以 tanφ 最大,φ 也最大. 所以值班人员看表盘最清楚的位置为 AD=1.2 m. §1.4 三角函数单元测试 1.A; 2.B; 3.B; 4.D; 5.B; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B; 10.C; 11.D; 12.B; 13. -1; 14. a ⊥ b ; 15. cos3 sin 2xx ; 16. （1）、（ 2）、（3）; 17、解： 原式= 0 0 0 0 0 00 2sin50 cos10 3sin10 2sin50 2sin 40 2 cos5 2 cos5    00 0 2sin50 2cos50 2 cos5   00 00 0 0 0 2 2 sin 50 45 2 2 sin95 2 2 cos5 2 2 cos5 2 cos5 2 cos5      18、解：∵ 2  ， 且 3tan 4  ∴ 5 4cos,5 3sin   ；∵ ， 0 2   ， ∴ 2     ， ，       ，0 又∵ 5cos( ) 13 ∴ 25 12sin( ) 1 13 13      [来源:学*科* 网] ∴   12 4 5 3 63sin sin sin( )cos cos( )sin 13 5 13 5 65                          19、解：（1）①∵  1 sin 2 012 x ， ∴  sin 2 0 2x ， ，   2x k Z    2k ， 2k ∴  fx定义域为  ,,2k k k Z ②∵  ,,2x k k k Z  时，  sin 2 01x ， ∴ 11sin 2 022x   ， ∴  1 2 1log sin 2 12 x   ， 即  fx值域为 1,  ③设 1sin 22tx ， 10 2t   ， 则 1 2 logyt ；∵ 单减 ∴为使 单增，则只需取 1 sin 22tx ， 的 单 减 区 间 ， ∴  2 2 22x k k k Z       ， 故 在  ,42k k k Z  上是增函数。 （2）∵ 定义域为  ,,2k k k Z不关于原点对称，∴ 既不是奇函数也不是 偶函数。 （3）∵  11 22 11log sin 2 log sin 222xx        ∴ 是周期函数，周期 .T 20、解：∵ sin cos 2( ) sin cos 2sin4 2 2( ) 3 sin 3 sin 3 sin2 2 24sin 4sin 4sin2 2 2 xx x xx x x xfx x x x                4sin cos223 sin cos 3 sin2 2 24sin 2 xx x x x x    )sin( 622  x ∴由 maxsin( ) 126 x  得 2262  kx 即 )( Zkkx  3 24 时， 2max)(xf . 故 ()fx取得最大值时 x 的集合为：  )}( Zkkxx  3 24 21、解：(1)∵   22sin cos sin( )f x a x b x a b x        ，又周期 2T   ∴ 2  ∵对一切 xR，都有 f(x) 4)12(  f ∴ 224 sin cos 266 ab ab    解得： 2 23 a b   ∴  fx的解析式为   2sin 2 3cosf x x x ∵   22( ) 4sin 2( ) 4sin( 2 ) 4sin(2 )6 6 3 3 3g x f x x x x               ∴g(x)的增区间是函数y=sin )3 22( x 的减区间 ∴由 2 323 2222   kxk 得g(x) 的增区间为 ]12 13,12 7[   kk )( Zk  （等价于 ].12,12 5[   kk 22 、解：① ∵ 1 sin 0 1 sin 0 x x    ∴  fx 的 定 义 域 为 R ② ∵        1 sin 1 sin 1 sin 1 sinf x x x x x f x            ∴f(x)为偶函数； ③ ∵f(x+ )=f(x), ∴f(x)是周期为 的周期函数； ④ ∵ 22 ( ) sin cos sin cos | sin cos | | sin cos |2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x xfx                  ∴当 [0, ]2x  时   2cos 2 xfx ；当 []2x   ， 时   2sin 2 xfx （或当 时 f(x)= )2cos2|cos|22)sin1sin1( 2 xxxx  ∴当 时  fx单减；当 时 单增； 又∵ 是周期为 的偶函数 ∴f(x)的单调性为：在 [ , ]2kk   上单增，在 [ , ]2kk  上单减。 ⑤ ∵当 时   2cos 2 22 xfx ， ；当 时   2sin 2 22 xfx ， ∴ 的值域为： ]2,2[ ⑥由以上性质可得： 在  ， 上的图象如上图所示： 第 3 章 三角恒等变换 §3.1 两角和与差的三角函数 经典例题： 由题设 B=60°，A+C=120°，设 2 CA  知 A=60°+α ， C=60°－α ， 2 2cos,22 4 3cos cos cos 1 cos 1 2       即 CA 故 2 2 2cos  CA ． 当堂练习： 1.C; 2.A; 3.D; 4.D; 5.B; 6.C; 7.C; 8.B; 9.B; 10.D; 11.B; 12.A; 13. m; 14. 3  ; 15. 32  ; 16. ]2 14,2 14[ ; 17．原式= )34cos()33sin()33cos()34sin( xxxx   = 4 62  ． 18． )4550sin(2 )2 150(sin4)50sin2(50sin2 22     x ， 12sin95 cos5 , sin5 cos85 ,xx     3275tan)2tan(   ． 19．证： yxyx yxyx yx yx yx yx 2222 sinsincoscos )]()sin[( )cos( )sin( )cos( )sin(    左  yx x yxxx x 222222 sincos 2sin sin)sin(coscos 2sin 右． 20． 13tan , tan(2 ) 1, 2 .34           21．左=      xx x xx x xx xxxx 2coscos sin2 2cos2 3cos sin 2cos2 3cos 2sin2 3cos2cos2 3sin 右． §3.2 二倍角的三角函数 经典例题： （I） )(22,csc2)( Zkkxxxf  且 ； （II）存在，此时 )(2 32 Zkkx   ． 当堂练习： 1.A; 2.A; 3.A; 4.C; 5.B; 6.C; 7.A; 8.D; 9.D; 10.B; 11.B; 12.C; 13. 2 1 ; 14. 7 3 ; 15. 4 3 ; 16. 2 ; 17．由已知 9 54)2sin(9 1)2cos(,24   故又 ， 同理 27 57)]2()2cos[(2cos,53 1)2cos(   故 ， 故 729 23912cos2)cos( 2   ． 18． 2 max min 1 3 3 12[sin( ) ] , ,6 2 2 2 2y x y y         ． 19．  xxxxxx 2cos2cos22cos2 12cos2 12cos4cos2 1 32左 右． 20．原式= 4 3)20cos20cos60cos2(2 1 4 3   ． 21． 1coscos22 1cos4cos2 2 1)( 2 2  f ． §3.3 几个三角恒等式 经典例题： 分析：如图，由已知得 OAB= ,  OBA=  ,   = 45 ， 周长l =2(x+y+z),本题目的是要证明，当 l 取最小值时 =  ，故要找出变量 x,y 与已知 r ，以及角 、  的三角函数之 间的关系，并且利用 = ，写出角或角的三角函数表示 的函数式，再通过恒等变 形，变换成能够求得最小的函数式。 解：如图，设 OAB= , OBA= ,AF=AD=x,BE=BD=y,   C= 90 ,圆 O 为 ABC 内切圆圆心，2  = 290  ，即 = ，   =2 - .  x＝ｒcot ,y=rcot  ,设  ABC 周长为 ， 则 =2（x+y+z）=2r(cot 1cot   )=2r(   sin cos +   sin cos +1)=2r[ 1sinsin )sin(    ] =2r                1 )cos()cos(2 1 45sin  =2r[ 1 2 2)452cos( 2   ] 若l 取最小值，则 cos(2  45 ) 2 2 最大，即 2 = 45 ，  ABC 为等腰直角三角形。 当堂练习： 1. 解：原式= 7sin )7 6cos7 4cos7 2(cos7sin    = 7sin 7 6cos7sin7 4cos7sin7 2cos7sin    = 7sin )7 5sin7 7(sin2 1)7 3sin7 5(sin2 1)7sin7 3(sin2 1    =- 2 1 2. 分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角 2 3x 与 2 x ，右边是 单角 xx 2和倍角 .若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的 变化，仍从角入手，将 x 写成 - ，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同 时还要考虑变半角为单角。 证法一：左边= 2 3cos 2 3sin x x - 2cos 2sin x x = 2cos2 3cos 2sin2 3cos2cos2 3sin xx xxxx  = )cos2(cos2 1 )22 3sin( xx xx   = xx x 2coscos sin2  =右边 原等式成立。 证法二：右边= 2cos2 3cos2 )22 3sin(2 xx xx  = = - = tan -tan =右边。 原等式成立。 点评：证法一是从左边到右边，通过化弦，运用两角差的公式及积化和差的公式直达目标； 而证法二从右边出发，将 x 写成 2 3x - 2 x ，再用两角差的公式，向左边推进. 3. 解：∵ 5cos3sin cossin2   ∴cos   0 (否则 2 =  5 ) ∴ 53tan 1tan2   解之得：tan  = 2 ∴原式 5 7 21 224 21 )21(3 tan1 tan24 tan1 )tan1(3 22 2 22 2      4. 证明：∵左边= 2 2 22sin cos sin cos2 2 2 2 1 2sin cos 2cos 12 2 2            22 tan tan 122 2 tan 22      = 2(tan 1)2 2(tan 1)2      = 11tan2 2 2    右边 ∴ sin 1 1 1tan1 sin cos 2 2 2     5. 证明: ∵左边= 2 22 1 tan 2tan 1 tan 1 tanab    2 22 21 ( ) 1 ( ) 1 ( ) bb aaabbb aa    = 22 22 ( ) (2 )a a b b ab ab   = 22 22 ()a a b aab   =右边 ∴ cos2 sin 2a b a 6. 证明：∵ 22tan tan 022xx   ∴ 2 2 tan 2 sin 1 tan 2 x    ∵ 221 tan tan 022yy    ∴ 2 2 1 tan 2 1 tan 2 y      =cos 2 2 2 2cos2 1 2sin sin cos 2sin         = 2 2 22sinxy  ∴ 2 2 2cos2 2sinxy   §3.4 三角恒等变换单元测试 1.B; 2.C; 3.B; 4.B; 5.D; 6.C; 7.B; 8.D; 9.A; 10.C; 11.C; 12.C; 13. 3 4 ; 14. 47 81 ; 15. 1; 16. ② ④; 17．左 |sin| cos2 |sin| |cos1| |sin| |cos1| x x x x x x  =右， ).(222,0sin,sin cos2 |sin| cos2 Zkkxkxx x x x   18 . 75 28 19 如图设  NP0 ，则 PN=  sin 3 20cos20,sin20 MN ， SMNPQ= )sin 3 20cos20(sin20   ， 当  30 时， SMNPQ 取最大值 3 3200 ． 20．解：（Ⅰ）∵ 4202 1 2tan20   xxyx 且 ∴ 5 4sin5 312cos2cos 5 1 2sin 5 2 2cos 2  xxxxx 又 2 3 2,13 5)sin(   yxyx ∴ 13 12)cos(  yx ∴ xyxxyxxyxy sin)sin(cos)cos(])cos[(cos  65 16 5 4 13 5 5 3 13 12  P O N M Q （Ⅱ）∵   yx 20 ，∴ 2 3 22 3 2   yxyyx 又 ]2 3,2[sin 在xy  上为减函数，∴ )sin(sin yxy  21、 ( ) 2sin( )26 xfx  （1） max min2, 2yy   （2）略（3） 224 ,4 ,33k k k Z   必修 4 综合检测 1.B; 2.B; 3.C; 4.D; 5.D; 6.C; 7.B; 8.A; 9.D; 10.B; 11.D; 12.D; 13. 6 5 ; 14. )()3 22,3 22( Zkkk   ; 15. 4  ; 16.    Zkkxx ,6|  ; 17. 二、四象限,或 x 轴;18. -1; 19. 解：由题意有      44 22 x kxk  当 时， ； 当 时， ； 当 时， 函数的定义域是 20. 解 )]12 5(2[sin)]12 5(sin[)12(sin)12 7sin( 22   xxxx 16 19)12 5(cos)12 5sin( 2   xx 21. 答案：（I）列表、描点、作图 t 12 1 12 2 12 5 12 8 12 11 62  t 0 2   2 3 2 )62sin(6  t 0 6 0 -6 0 （II）当 0t 时， 36sin6  s ,即单摆开始摆动时，离 开平衡位置 3 厘米. （III） )62sin(6   ts 的振幅为 6，所以单摆摆动最右边时，离开平衡位置 6 厘米. 22. 解:依题意有      4 2 cA cA 得 A=3,c= —1.T=12, = 6  .1)6sin(3   xy函数为 又函数的图象过（2，2）及（8，—4）两点，             2 )(2 3286 )(2226    zkk zkk 解析式为 y=3sin( .1)66   x