2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ ‎,‎ 对应的点为,在第四象限，故选D.‎ ‎2．函数f（x）＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为（ ）‎ A．10 B．5 C．－1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为，所以，切线方程为：，令得，选D．‎ ‎【考点】导数几何意义 ‎3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是 ‎①平行于同一直线的两条直线平行；‎ ‎②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；‎ ‎③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．‎ A．①②③ B．①③ C．① D．②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：对于①空间内的类比结论为：平行于同一平面的两个平面平行，成立；‎ 对于②空间内的类比结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；．‎ 对于③空间内的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，也成立．‎ 故选：A．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎4．函数有（ ）‎ A．极大值，极小值 B．极大值，极小值 C．极大值，无极小值 D．极小值，无极大值 ‎【答案】C ‎【解析】利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减 当时，函数取极大值，极大值为；无极小值 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题.‎ ‎5．. 函数y＝4x2单调递增区间是（ ）‎ A．（0，+∞） B． C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】先对函数求导，然后由y’＞0可得x的 范围，从而可求函数的单调递增区间．‎ ‎【详解】‎ 解析：y′＝8x，令y′＞0，解得x，‎ 则函数的单调递增区间为（，+∞）．‎ 故答案：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于基础试题．‎ ‎6．下列计算错误的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由微积分基本定理与定积分的几何意义易得结果．‎ ‎【详解】‎ A项，，故A正确；‎ B项，，故B正确；‎ C项，因为是偶函数，因此在上关于轴对称，‎ 所以在上与轴围成的面积关于轴对称，‎ 定积分表示的是函数曲线与轴围成的面积，故在定积分等于在 上定积分的倍，故C正确；‎ D项，‎ ‎ ，故D错误；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查微积分基本定理的应用，属于基础题.‎ ‎7．余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（ ）‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 ‎【答案】C ‎【解析】根据演绎推理的三段论的要求，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可.‎ ‎【详解】‎ 大前提：余弦函数是偶函数，正确；‎ 小前提：是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；‎ 结论：是偶函数，因为该函数为非奇非偶函数，故错误；‎ 因此以上推理形式中小前提不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了演绎推理的相关知识，熟练掌握余弦函数的定义以及奇偶性是解答本题的关键.‎ ‎8．设复数满足，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：‎ ‎【考点】复数的运算 ‎9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎10．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于空间的四点M、A、B、C，要证四点共面，只需满足，且 即可，然后对四个选项中的关系进行分析，找出满足上面关系的即为一定共面的选项.‎ ‎【详解】‎ 空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且 即可，‎ 对于A，中，故此时四点M、A、B、C四点不共面；‎ 对于B，中，此时四点M、A、B、C四点不共面；‎ 对于C，，，‎ 即，，‎ 此时四点M、A、B、C四点共面；‎ 对于D，，则，‎ ‎，此时四点M、A、B、C四点不共面；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题是一道关于判断平面向量共面的题目，解答本题的关键是熟练掌握向量共面的判定方法.‎ ‎11．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意可设，所以.‎ 所以函数在上单调递增，又因为.‎ 所以要使，即，只需要，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 构造新函数,，当时.‎ 所以在上单减，又，即.‎ 所以可得,此时，‎ 又为奇函数，所以在上的解集为：.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.‎ 二、填空题 ‎13．复数在复平面内,所对应的点在第________象限．‎ ‎【答案】二 ‎【解析】根据复数的运算得到的代数形式后可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ 所以复数对应的点为，在第二象限．‎ 故答案为二．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的几何意义，解题的关键是熟练进行复数的运算，属于基础题．‎ ‎14．垂直于直线并且与曲线相切的直线方程是 _______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先设出切点，求出与直线垂直的直线斜率，再求出曲线的导函数在切点处的函数值，求得切点坐标后根据点斜式方程可得答案．‎ ‎【详解】‎ 设切点为．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又切线垂直于直线，‎ ‎∴切线的斜率为，‎ 整理得，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴切点坐标为，‎ ‎∴所求切线方程为，‎ 即．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别．第一种类型中的点P为切点，求解时直接根据导数的几何意义求解即可；第二种类型中的点P不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定为切点，此种类型需要转化成第一种类型求解．‎ ‎15．已知函数的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为_________‎ ‎【答案】-3．‎ ‎【解析】试题分析：，由题意，，，易知，，所以．‎ ‎【考点】导数的几何意义，定积分的几何意义．‎ ‎16．若中两直角边为，，斜边上的高为，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥，为棱锥的高，记，，那么，的大小关系是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，①,‎ 由等面积法得,‎ ‎∴②，‎ ‎①②整理得，‎ ‎，‎ 类比知：③，‎ 由等体积法得，‎ ‎∴④，‎ ‎③④得，‎ 故答案为．‎ 三、解答题 ‎17．已知曲线y=5,求:‎ ‎(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.‎ ‎(2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程.‎ ‎【答案】（1）16x-8y+25=0；（2）5x-4y+20=0.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导数，利用曲线与直线y=2x﹣4平行，求出切点坐标，即可求出曲线与直线y=2x﹣4平行的切线的方程．‎ ‎（2）设切点，可得切线方程，代入P，可得切点坐标，即可求出过点P（0，5）且与曲线相切的直线的方程．‎ 试题解析：‎ ‎(1)设切点为(x0,y0),由y=5,得y′=.‎ 所以切线与y=2x-4平行,‎ 所以=2,所以x0=,所以y0=.‎ 则所求切线方程为y-=2,‎ 即16x-8y+25=0.‎ ‎(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5上,‎ 故需设切点坐标为M(x1,y1),‎ 则切线斜率为.‎ 又因为切线斜率为,‎ 所以==,‎ 所以2x1-2=x1,得x1=4.‎ 所以切点为M(4,10),斜率为,‎ 所以切线方程为y-10=(x-4),‎ 即5x-4y+20=0.‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎18．已知，且，，，求a、b、c的值．‎ ‎【答案】，，．‎ ‎【解析】由题意对进行求导，可得，结合，，列出关于 ‎、、的两个方程；再对进行计算，得出关于、、的另一个方程，将三个方程联立即可解答.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴．①‎ 又∵，∴．②‎ 而，‎ 取，‎ 则，‎ ‎∴.③‎ 解①②③得，，．‎ ‎【点睛】‎ 本题是一道关于函数的题目，总体方法是掌握导数和积分的知识，属于基础题.‎ ‎19．已知函数的图象经过点且在处，取得极值．求：‎ ‎（1）函数的解析式；‎ ‎（2）的单调递增区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）的单调递增区间为．‎ ‎【解析】（1）代入点的坐标，求出导函数，解方程组可得、；‎ ‎（2）求出导函数，令导函数大于得出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由的图象过点得，‎ ‎∵，‎ 又，‎ ‎∴由得，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴由得或，‎ ‎∴的单调递增区间为和．‎ ‎【点睛】‎ 本题是一道关于利用函数求导函数的题目，关键掌握利用导数研究函数的单调性的方法.‎ ‎20．如图所示，四棱锥中，四边形为平行四边形，，平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，E为线段的中点，F为线段上靠近B的三等分点，求直线与平面AEF所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意可证得，结合，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而可证得.‎ ‎（2）以为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量数量积即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵平面，平面，∴，‎ 又，，∴平面，‎ 又平面，∴．‎ ‎（Ⅱ）以为x轴、y轴、z轴建立如图所示坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎∴，，，‎ 设为平面的法向量，‎ ‎，∴，∴，‎ 令，得一个法向量，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由线面垂直证线线垂直，考查了利用空间直角坐标系求线面角.‎ ‎21．如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，‎ 求证：；‎ 求直线AM与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由题意利用几何体的垂直关系建立直角坐标系，求对应向量的数量积为零，即得出垂直；‎ ‎（2）在（1）的坐标系中，求出面AA1B1B的法向量，再利用对应向量的数量积求余弦值的绝对值，即为所求．‎ ‎【详解】‎ 如图，以B为原点，BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，‎ 则0，，2，，2，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即，；‎ 轴面，面的法向量取0，，‎ 设直线AM与平面所成角为，‎ ‎，‎ 直线AM与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线线垂直和线面角，利用几何体垂直关系建立坐标系，再利用对应向量的数量积证明线线垂直和求解线面角的正弦值，这是立体几何中常用的一种方法．‎ ‎22．已知函数，‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求证：当时，；‎ ‎（3）设实数k使得对恒成立，求k的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）2.‎ ‎【解析】（1）利用函数的导数求出在曲线上某点处的切线方程.‎ ‎（2）构造新函数，利用函数的单调性即可证明.‎ ‎（3）对进行讨论，利用新函数的单调性求参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以，则．‎ 又因为，‎ 所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（2）令，‎ 则．‎ 因为，所以在区间上单调递增．‎ 所以，‎ 即当时，．‎ ‎（3）由（2）知，当时，对恒成立．‎ 当时，令，‎ 则．‎ 所以当时，，‎ 因此在区间上单调递减．‎ 当时，，‎ 即．‎ 所以当时，并非对恒成立．‎ 综上可知，k的最大值为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查不等式的证明、注意运用单调性，属于中档题.‎