2011高考数学专题复习：《空间点、直线、平面之间的

2011高考数学专题复习：《空间点、直线、平面之间的

‎2011年《空间点、直线、平面之间的 一、选择题 ‎1、已知空间四边形中，分别为的中点，则下列判断正确的是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、以下四个命题中，正确命题的个数是 ‎ ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎ ②若点共面，点共面，则共面；‎ ‎ ③若直线共面，直线共面，则直线共面；‎ ‎ ④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3、对于直线、和平面，下列命题中的真命题是 ‎ A.如果，，是异面直线，那么∥‎ ‎ B.如果，，是异面直线，那么与相交 ‎ C．如果，，是共面直线，那么∥‎ ‎ D.如果，，是异面直线，那么与m相交 ‎4、对于两条不相交的空间直线，必存在平面，使得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5、下列四个命题：‎ ‎ ①若直线、异面，、异面，则、异面；‎ ‎ ②若直线、相交，、相交，则、相交；‎ ‎ ③若∥，则、与所成的角相等；‎ ‎ ④若，，则∥．‎ ‎ 其中真命题的个数是 ‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎6、和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ‎ A．异面 B．相交 ‎ C．平行 D．异面或相交 ‎7、已知空间四边形中，分别为的中点，则下列判断正确的是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8、已知正四棱柱中，= 2AB，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为 ‎ ‎ ‎9、已知正四棱柱中，= 2AB，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为 ‎ ‎ ‎10、和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ‎ A．异面 B．相交 ‎ C．平行 D．异面或相交 ‎11、下列四个命题：‎ ‎ ①若直线、异面，、异面，则、异面；‎ ‎ ②若直线、相交，、相交，则、相交；‎ ‎ ③若∥，则、与所成的角相等；‎ ‎ ④若，，则∥．‎ ‎ 其中真命题的个数是 ‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎12、对于直线、和平面，下列命题中的真命题是 ‎ A.如果，，是异面直线，那么∥‎ ‎ B.如果，，是异面直线，那么与相交 ‎ C．如果，，是共面直线，那么∥‎ ‎ D.如果，，是异面直线，那么与m相交 ‎13、以下四个命题中，正确命题的个数是 ‎ ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎ ②若点共面，点共面，则共面；‎ ‎ ③若直线共面，直线共面，则直线共面；‎ ‎ ④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎14、对于两条不相交的空间直线，必存在平面，使得 ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎15、如图‎4-1-9‎，若长方体的底面是边长为2的正方形，为4，则异面直线与所成角的余弦值是____．‎ ‎16、如图是长方体，，则与所成的角为____，与所成的角为____.‎ ‎17、一个正方体纸盒展开后如图‎4-1-6‎所示，在原正方体纸盒中有如下结论：‎ ‎ ①;②所成的角为；③是异面直线；④.则正确结论的序号是____．‎ ‎18、如果两条异面直线称做“一对”，那么在正方体的十二条棱中，异面直线共有对．‎ ‎19、下列说法中，正确的是 ‎ (1)首尾相接的四条线段在同一个平面内；‎ ‎ (2)三条互相平行的线段在同一个平面内；‎ ‎ (3)两两相交的三条直线在同一个平面内；‎ ‎ (4)若四个点中的三个点在同一条直线上，那么这四个点在同一个平面内；‎ ‎(5)若，则；‎ ‎(6)若则 ‎(7)若．‎ ‎20、如图是长方体，，则与所成的角为____，与所成的角为____.‎ ‎21、一个正方体纸盒展开后如图‎4-1-6‎所示，在原正方体纸盒中有如下结论：‎ ‎ ①;②所成的角为；③是异面直线；④.则正确结论的序号是____．‎ ‎22、如图‎4-1-9‎，若长方体的底面是边长为2的正方形，为4，则异面直线与所成角的余弦值是____．‎ ‎23、如果两条异面直线称做“一对”，那么在正方体的十二条棱中，异面直线共有对．‎ 三、解答题 ‎24、如图‎4-1 -10‎，在四棱锥中，底面是矩形．已知 求异面直线所成的角的正切值，‎ ‎25、在正四面体中，已知是棱的中点，求异面直线所成角的余弦值， ‎ ‎26、如图‎4 -1-8‎，已知平面，且．设梯形中，，且 ， .求证：，共点（相交于一点）．‎ ‎27、如图‎4-1-7‎所示，已知分别是正方体的棱和棱 的中点，试判断四边形的形状．‎ ‎28、如图‎4-1-7‎所示，已知分别是正方体的棱和棱的中点，试判断四边形的形状．‎ ‎29、如图‎4 -1-8‎，已知平面，且．设梯形中，，且 ， .求证：，共点（相交于一点）．‎ ‎30、在正四面体中，已知是棱的中点，求异面直线所成角的余弦值， ‎ ‎31、如图‎4-1 -10‎，在四棱锥中，底面是矩形．已知 求异面直线所成的角的正切值，‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 解析设为的中点，由三角形的中位线定理得 ‎2、 解析①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点，但是若共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内．‎ ‎3、 解析由图可知，错误；由图可知，与可以平行，所以错误；显然错误，故选．‎ ‎ ‎ ‎4、 解析直线不相交，则直线有两种位置关系：平行或异面．若为异面直线，则不成立；若为平行直线，则不成立．‎ ‎5、 解析只有③正确．‎ ‎6、 解析借助图形容易判断．‎ ‎7、 解析设为的中点，由三角形的中位线定理得 ‎8、 解析本题考查异面直线夹角的求法．因为，所以求 中的即可，设，易得，，，故由余弦定理得 ‎9、 解析本题考查异面直线夹角的求法．因为，所以求 中的即可，设 ‎，易得，，，故由余弦定理得 ‎10、 解析借助图形容易判断．‎ ‎11、 解析只有③正确．‎ ‎12、 解析由图可知，错误；由图可知，与可以平行，所以错误；显然错误，故选．‎ ‎ ‎ ‎13、 解析①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点，但是若共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内．‎ ‎14、 解析直线不相交，则直线有两种位置关系：平行或异面．若为异面直线，则不成立；若为平行直线，则不成立．‎ 二、填空题 ‎15、 解析 因为，所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即，由勾股定理，得 =，‎ ‎16、 ．解析．所成的角，‎ 所成的角为．‎ ‎,是与所成的角，‎ 由已知条件可以得出 是正方形，．‎ ‎17、①③ 解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，则，与为异面直线，，．只有①③币确．‎ ‎18、24 解析如图，正方体中与异面的棱有正方体有12条．异面直线共确 ‎19、(4)(5)(6) 解析(1)错误，空间四边形四条边不在一个平面内；(2)错误，如三棱柱的三条侧棱不能共面；(3)错误，如从正方体一个顶点出发的三条棱不共面；(4)正确，由公理2的推论1可知；(5)正确，由公理1可知；(6)正确，由公理3可知，两个平面的公共点都落在交线上；(7)错误，若．‎ ‎20、 ．解析．所成的角，‎ 所成的角为．‎ ‎,是与所成的角，‎ 由已知条件可以得出 是正方形，．‎ ‎21、①③ 解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，则，与为异面直线，，．只有①③币确．‎ ‎22、 解析 因为，所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即，由勾股定理，得 =，‎ ‎23、24 解析如图，正方体中与异面的棱有正方体有12条．异面直线共确 三、解答题 ‎24、解析在中，由题设，以可得，于是，在矩形中，.又．所以 ．由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角，在中，由余弦定理得 又平面，平面，‎ 所以，因而，于是是直角三角形，‎ 故 ‎25、解析如图．取的中点，连接．为的中点，‎ ‎ 为△的中位线，．，‎ ‎ 与所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，‎ 设正四面体的棱长为，由正三角形的性质知，,，在中，，即异面直线和所成角的余弦值为 ‎26、解析梯形中，．，是梯形的两腰，‎ ‎ ，必定相交于一点，‎ ‎ 如图，设 ‎ 又，‎ ‎ .‎ ‎ 又，，‎ ‎ 即，，共点．‎ ‎27、解析如图，取的中点，连接,.‎ ‎、分别是、的中点，‎ ‎ ．‎ ‎ 在正方体中，有有 ‎ ，是平行四边形，‎ ‎.又、分别是、的中点，，‎ 四边形为平行四边形，.故 ‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎ 叉，‎ ‎ ,故四边形为菱形， ‎ ‎28、解析如图，取的中点，连接,.‎ ‎、分别是、的中点，‎ ‎ ．‎ ‎ 在正方体中，有有 ‎ ，是平行四边形，‎ ‎.又、分别是、的中点，，‎ 四边形为平行四边形，.故 ‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎ 叉，‎ ‎ ,故四边形为菱形， ‎ ‎29、解析梯形中，．，是梯形的两腰，‎ ‎ ，必定相交于一点，‎ ‎ 如图，设 ‎ 又，‎ ‎ .‎ ‎ 又，，‎ ‎ 即，，共点．‎ ‎30、解析如图．取的中点，连接．为的中点，‎ ‎ 为△的中位线，．，‎ ‎ 与所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，‎ 设正四面体的棱长为，由正三角形的性质知，,，在中，‎ ‎，即异面直线和所成角的余弦值为 ‎31、解析 在中，由题设，以可得，于是，在矩形中，.又．所以 ．由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角，在中，由余弦定理得 又平面，平面，‎ 所以，因而，于是是直角三角形，‎ 故