高考数学专题复习练习:9-1 专项基础训练

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高考数学专题复习练习:9-1 专项基础训练

‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:35分钟)‎ ‎1.(2017·陕西西安音乐学院附中等校期末联考)若ab<0,则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是(  )‎ A.         B. C. D. ‎【解析】 由题意kPQ==,∵ab<0,∴kPQ<0.设直线PQ的倾斜角为α,则tan α=kPQ<0,∴α∈.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎2.(2016·重庆巴蜀中学诊断)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(  )‎ A. B. C.∪ D.∪ ‎【解析】 依题意,直线的斜率k=-∈[-1,0),因此其倾斜角的取值范围是.‎ ‎【答案】 B ‎3.(2017·西安临潼区模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是(  )‎ A.0 B.2‎ C. D.1‎ ‎【解析】 直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1,故选D.‎ ‎【答案】 D ‎4.(2016·湖北襄阳期中)已知△ABC的三顶点坐标分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M 为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为(  )‎ A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0‎ C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0‎ ‎【解析】 由题意结合中点坐标公式,得M(2,4),N(3,2).由两点式可得方程为=,化为一般式,得2x+y-8=0,故选A.‎ ‎【答案】 A ‎5.(2017·江西九江二模)过点P(-2,2)作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,则这样的直线l一共有(  )‎ A.3条 B.2条 C.1条 D.0条 ‎【解析】 假设存在过点P(-2,2)的直线l,使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8.设直线l的方程为+=1,则+=1,即2a-2b=ab.‎ 直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=-ab=8,即ab=-16.‎ 联立解得 故直线l的方程为+=1,即x-y+4=0,即这样的直线有且只有一条,故选C.‎ ‎【答案】 C ‎6.(2017·黑龙江哈六中月考)过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中心,则直线l的方程为________.‎ ‎【解析】 (1)当k不存在时,l:x=3不满足题意;(2)当k存在时,设直线l:y=k(x-3),可得A,B.由中点坐标公式得k=8,所以直线l的方程为y=8x-24.‎ ‎【答案】 y=8x-24‎ ‎7.(2017·河南郑州一中月考)若点P为x轴上的一点A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB|的最小值是________.‎ ‎【解析】 点A(1,1)关于x轴的对称点为A′(1,-1),则|PA|+|PB|的最小值是线段A′B的长,为.‎ ‎【答案】 ‎8.直线l:ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的取值范围是________.‎ ‎【解析】 当a=-1时,直线l的倾斜角为90°,符合要求;‎ 当a≠-1时,直线l的斜率为-,只要->1或者-<0即可,‎ 解得-1<a<-或者a<-1或者a>0.‎ 综上可知,实数a的取值范围是∪(0,+∞).‎ ‎【答案】 ∪(0,+∞)‎ ‎9.设直线l:(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0(m≠-1),根据下列条件分别确定m的值:‎ ‎(1)直线l在x轴上的截距为-3;‎ ‎(2)直线l的斜率为1.‎ ‎【解析】 (1)∵l在x轴上的截距为-3,‎ ‎∴-2m+6≠0,即m≠3,又m≠-1,‎ ‎∴m2-2m-3≠0.‎ 令y=0,得x=,‎ 由题意知,=-3,‎ 解得m=-.‎ ‎(2)由题意知2m2+m-1≠0,‎ 且-=1,解得m=.‎ ‎10.已知点P(2,-1).‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?‎ ‎(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过点P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,‎ 此时l的斜率不存在,其方程为x=2.‎ 若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),‎ 即kx-y-2k-1=0.‎ 由已知得=2,‎ 解得k=.‎ 此时l的方程为3x-4y-10=0.‎ 综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.‎ ‎ (2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图所示.‎ 由l⊥OP,得klkOP=-1,‎ 所以kl=-=2.‎ 由直线方程的点斜式,‎ 得y+1=2(x-2),‎ 即2x-y-5=0.‎ 所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为=.‎ ‎(3)由(2)可知,过点P不存在到原点的距离超过的直线,因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:25分钟)‎ ‎11.(2017·广州模拟)已知直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1⊥l2,则a=(  )‎ A.2或 B.或-1‎ C. D.-1‎ ‎【解析】 ∵直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,l1⊥l2,∴2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得a=或a=-1.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎12.(2017·四川成都新津中学月考)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为________.‎ ‎【解析】 ∵P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,圆心与P 点确定的直线斜率为=-,∴弦MN所在直线的斜率为2,则弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.‎ ‎【答案】 2x-y-1=0‎ ‎13.(2017·河南豫东、豫北十校联考)△ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),则边BC的垂直平分线DE的方程为________.‎ ‎【解析】 设BC中点D的坐标为(x,y),则x==0,y==2,即(0,2).∵直线BC的斜率k1=-,∴BC的垂直平分线DE的斜率k2=2,∴直线DE的方程为2x-y+2=0.‎ ‎【答案】 2x-y+2=0‎ ‎14.如图,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.‎ ‎【解析】 由题意可得kOA=tan 45°=1,‎ kOB=tan(180°-30°)=-,‎ 所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.‎ 设A(m,m),B(-n,n),‎ 所以AB的中点C,‎ 由点C在y=x上,且A、P、B三点共线得 解得m=,所以A(,).‎ 又P(1,0),所以kAB=kAP==,‎ 所以lAB:y=(x-1),‎ 即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.‎ ‎15.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).‎ ‎(1)证明:直线l过定点;‎ ‎(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.‎ ‎【解析】 (1)证明 直线l的方程是k(x+2)+(1-y)=0,‎ 令解得 ‎∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).‎ ‎(2)由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0;‎ 当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k≥0.‎ ‎(3)由l的方程,得A,B(0,1+2k).‎ 依题意得 解得k>0.‎ ‎∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|‎ ‎=·=≥×(2×2+4)=4,‎ ‎“=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,‎ ‎∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.‎
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