数学理卷·2018届湖南省邵东县创新实验学校高三上学期第四次月考（2017

数学理卷·2018届湖南省邵东县创新实验学校高三上学期第四次月考（2017

2017-2018 学年上期高三第四次月考 理科数学试卷 一.选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分） 1.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 2(1 ) (1 )i z i   ，则 z 的虚部为（ ） （A） i （B）1 （C） i （D） 1 2.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不 善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日 减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是( ) A .10 日 B. 20 日 C .30 日 D .40 日 3.已知命题 : (0, ), cos .2 2p x x x     则有关命题 p 的真假及 p 的论述正确的是 A.假命题, 0 0 0: (0, ), cos .2 2p x x x      B.真命题, 0 0 0: (0, ), cos .2 2p x x x      C.假命题, 0 0 0: (0, ), cos .2 2p x x x      D.真命题, 0 0 0: (0, ), cos .2 2p x x x      4. 若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则 S100=（ ） A.-50 B.50 C.-100 D.5050 5. 在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和 S3=21,则 a4=（ ） A. 2 7 B.7 C. 2 7 D. 2 7 或 7 6.在四边形 ABCD 中， )2,1(AC ， )2,4(BD ,则该四边形的面积为（ ） A. 5 B.5 C. 52 D.10 7.在 ABC 中，角 A 、 B 均为锐角，则 cos sinA B 是 ABC 为钝角三角形的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 9．若 1sin( )6 3    ，则 22cos ( ) 16 2    =（ ） A． 1 3 B．— 1 3 C． 7 9 D．— 7 9 10.函数 1( ) 1 xf x x   ，设 2 ( ) [ ( )]f x f f x ， 3 2( ) [ ( )]f x f f x ，… 1( ) [ ( )]n nf x f f x  ，（n 为不小于 2 的正整数），令集合 })(|{ 2017 xxfxM  ，则集合 M 为（ ） A．空集 B．二元素集 C．单元素集 D．实数集 11．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，P 是对角线 AC 上一点，AP→ ＝ 2 5AC→ ，过 点 P 的直线分别交 DA 的延长线，AB，DC 于点 M，E，N.若DM→ ＝mDA→ ， DN→ ＝nDC→ (m>0，n>0)，则 3m＋2n 的最小值是( ) A.6 5 B.12 5 C.24 5 D.5 12．已知函数 f(x)＝x＋ex-a，g(x)＝1 2ln(2x＋1)－4ea-x，其中 e 为自然对数的底 数，若存在实数 x0，使 f(x0)－g(x0)＝4 成立，则实数 a 的值为( ) (A)－ln 2 (B)1－ln 2 (C)ln 2 (D)ln 2－1 二.填空题：（每小题 5 分，共 4 小题，共计 20 分） 13．已知定积分    dxxx1 0 2 ________． 14．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作。其中在卷五“三斜求积”中 提出了已知三角形三边 a.b.c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法 是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约 之，为实。一为从隅，开平方得积。”若把以上这段文字写成公式，即若 cba  ，则 ])2([4 1 2 222 22 bacacS  ， 现 有 周 长 为 7210 的 ABC 满 足 Asin : Bsin : csin =2:3: 7 ，则用以上给出的公式求得 ABC 的面积为 ． 15.各项都是正数的等比数列错误！未找到引用源。的公比 q≠1,且 a2,错误！未找到 引用源。a3,a1 成等差数列,则错误！未找到引用源。的值为________. 16.已知函数 )2()( xx aexexf  有两个极值点，则实数 a 的取值范围是________． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共计 70 分） 17. （本小题满分 10 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且对任意正整数 n ，都有 3 24n na S  成立． （Ⅰ）记 2logn nb a ，求数列 nb 的通项公式； （Ⅱ）设 1 1 n n n c b b   ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ． 18.（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边依次为 a，b，c，满足 acos B＋bcos A＝2ccos C. (Ⅰ)求角 C 的大小； (Ⅱ)若△ABC 的周长为 3，求△ABC 面积 S 的最大值． 19. （本小题满分 12 分） 已知函数 )0(3sin32cossin2)( 2   xxxxf 的最小正周期为 ． （1）求函数 f(x)的单调增区间； （2）将函数 f(x)的图象向左平移 6  个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y=g(x) 的图象．求 y=g(x)在区间 ]10,0[  上零点的个数． 20. （本小题满分 12 分） 已知数列{an}的各项满足：a1=1-4k(k R ）， ),2(43 * 1 1 Nnnaa n n n    （1）判断数列{ 7 3n na  }是否为等比数列； （2）若 k=0,求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn。 21. （本小题满分 12 分） 对于函数 )(xf ，若在定义域内存在实数 x ,满足 ),()( xfxf  则称 )(xf 为“局部奇函 数”. （1）若 mxf x  2)( 是定义在区间 1,1 上的 “局部奇函数”，求实数 m 的取值范围； （2） 若 324)( 21   mmxf xx 为 定义域 R 内的 “局部奇函数”， 求实数 m 的 取值范围. 22．（本小题满分 12 分）已知函数   1 ln  x xxxf 与   )1(  xaxg . (1)若曲线  xfy  与直线  xgy  恰好相切于点  0,1P ，求实数 a 的值； (2)当   ,1x 时，    xgxf  恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)求证：  * 1 2 .14 4)12ln( Nni in n i    参考答案： 1-6.DCDADB 7-12.CCABDA 12. f(x)－g(x)＝x－1 2ln(2x＋1)＋ex－a＋4ea－x，令 h(x)＝x－1 2ln(2x＋1)，则 h′(x)＝1－ 1 2x＋1，知 h(x)在 1，0上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，所以 h(x)min＝h(0)＝0，又 ex－a＋4ea－x≥2＝ 4，所以 f(x)－g(x)≥4，当且仅当 x＝0， ex－a＝4ea－x，即 x＝0，a＝－ln 2，选 A. 13． 14． 15. 16. 17.(1) (2) 18.【解析】(Ⅰ)因为 acos B＋bcos A＝2ccos C ⇔ sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C， 即 sin(A＋B)＝2sin Ccos C，而 sin(A＋B)＝sin C>0，则 cos C＝ 1 2， 又 C∈(0，π)，所以 C＝ π 3 .(5 分) (Ⅱ)由余弦定理得 a2＋b2－ab＝(3－a－b)2，化简得 3＋ab＝2(a＋b)，(8 分) 而 a＋b≥2，故 3＋ab≥4，解得≥3 或≤1.(10 分) 若≥3，则 a，b 至少有一个不小于 3，这与△ABC 的周长为 3 矛盾； 若≤1，则当 a＝b＝1 时，ab 取最大值 1 综上，知△ABC 的最大面积值为 Smax＝ (12 分) 19. 由题意，可得 ． ∵函数的最小正周期为 ，∴ ，解之得 ． 由此可得函数的解析式为 ． 令 ，解之得 ∴函数 的单调增区间是 ． 将函数 的图象向左平移个单位，再 向上平移 个单位，可得函数 的图象， ∵ ∴ ，可得 的解析式为 ． 令 ，得 ，可得 或 解之得 或 ∴函数 在每个周期上恰有两个零点， ∵函数 在 恰好有 个周期， ∴ 在 上有 个零点． 20. 22 解析：（1） 所以 2 分 （2）方法一: 时， 记 ,则 ,又记 (ⅰ) 时, 时, , 不恒成立. ( ⅱ ) 时 , 在 递 增 , , 不恒成立. ( ⅲ ) 时 , 在 递 减 , , 恒成立. 综上所述, 实数 的取值范围为: ……………………8 分 方法二：（先找必要条件） 注意到 时，恰有 4 分 令 则 5 分 在 恒成立的必要条件为 即 6 分 下面证明：当 时， 令 即 在 递减， 恒成立，即 也是充分条件，故有 . 8 分 方法三：（分参） 即 时， ， 时，显然成立； 3 分 时，即 4 分 令 ，则 令 6 分 即 在 上单调递减 故 8 分 （3）不妨设 为 前 项和，则 要证原不等式，只需证 9 分 而由（2）知：当 时恒有 即 当且仅当 时取等号 取 ，则 10 分 即 即 即 成立，从而原不等式获证. 12 分