高考数学专题复习练习：高考大题专项练六

高考数学专题复习练习：高考大题专项练六

高考大题专项练六　高考中的概率、统计与统计案例 ‎　高考大题专项练第12页　 ‎ ‎1.(2016湖北武昌区五月调考)某工厂36名工人的年龄数据如下表:‎ 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎1‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎36‎ ‎19‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎34‎ ‎2‎ ‎44‎ ‎11‎ ‎31‎ ‎20‎ ‎43‎ ‎29‎ ‎39‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎12‎ ‎38‎ ‎21‎ ‎41‎ ‎30‎ ‎43‎ ‎4‎ ‎41‎ ‎13‎ ‎39‎ ‎22‎ ‎37‎ ‎31‎ ‎38‎ 续　表 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎5‎ ‎33‎ ‎14‎ ‎43‎ ‎23‎ ‎34‎ ‎32‎ ‎42‎ ‎6‎ ‎40‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎24‎ ‎42‎ ‎33‎ ‎53‎ ‎7‎ ‎45‎ ‎16‎ ‎39‎ ‎25‎ ‎37‎ ‎34‎ ‎37‎ ‎8‎ ‎42‎ ‎17‎ ‎38‎ ‎26‎ ‎44‎ ‎35‎ ‎49‎ ‎9‎ ‎43‎ ‎18‎ ‎36‎ ‎27‎ ‎42‎ ‎36‎ ‎39‎ ‎(1)用系统抽样的方法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样的方法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;‎ ‎(2)计算(1)中样本的平均值x和方差s2;‎ ‎(3)求这36名工人中年龄在(x-s,x+s)内的人数所占的百分比.‎ 解(1)把工厂36名工人的年龄数据分为9组,每组4人.‎ 在第一分段里抽到的年龄数据44对应的编号为2,‎ 故抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,‎ 对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.‎ ‎(2)由(1)得,‎ x‎=‎‎44+40+36+43+36+37+44+43+37‎‎9‎‎=40,‎ s2=‎1‎‎9‎[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=‎100‎‎9‎.‎ ‎(3)由(2)得x=40,s=‎10‎‎3‎,则x-s=36‎2‎‎3‎‎,‎x+s=43‎1‎‎3‎.‎ 由表可知,这36名工人中年龄数据在(x-s,x+s)内共有23人,所占的百分比为‎23‎‎36‎×100%≈63.89%.〚导学号74920595〛‎ ‎2.某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示:‎ 年收入 x/万元 ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 年饮食支 出y/万元 ‎0.9‎ ‎1.4‎ ‎1.6‎ ‎2.0‎ ‎2.1‎ ‎1.9‎ ‎1.8‎ ‎2.1‎ ‎2.2‎ ‎2.3‎ ‎(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系;‎ ‎(2)若某家庭年收入为9万元,预测其年饮食支出.‎ 解(1)由题意,知年收入x为解释变量,年饮食支出y为预报变量,作散点图如图.‎ 从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.‎ 因为x=6,y=1.83,‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎=406,‎∑‎i=1‎‎10‎yi‎2‎=35.13.‎ ‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi=117.7,所以b‎^‎‎=‎‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi‎-10x ‎y‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎‎-10‎x‎2‎≈0.172,‎ a‎^‎‎=y-‎b‎^‎x‎≈1.83-0.172×6=0.798.‎ 从而得到线性回归方程为y‎^‎=0.172x+0.798.‎ ‎(2)y‎^‎=0.172×9+0.798=2.346(万元).‎ 所以家庭年收入为9万元时,可以预测年饮食支出为2.346万元.〚导学号74920596〛‎ ‎3.(2016全国乙卷,文19)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期 间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎(1)若n=19,求y与x的函数解析式;‎ ‎(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;‎ ‎(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?‎ 解(1)当x≤19时,y=3 800;‎ 当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.‎ 所以y与x的函数解析式为y=‎3 800,x≤19,‎‎500x-5 700,x>19‎(x∈N).‎ ‎(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.‎ ‎(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 ‎1‎‎100‎‎×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.‎ 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为‎1‎‎100‎×(4 000×90+4 500×10)=4 050.‎ 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.〚导学号74920597〛‎ ‎4.‎ ‎(2016北京,文17)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:‎ ‎(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?‎ ‎(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.‎ 解(1)由用水量的频率分布直方图知,‎ 该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.‎ 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,w至少定为3.‎ ‎(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 分组 ‎[2,4]‎ ‎(4,6]‎ ‎(6,8]‎ ‎(8,10]‎ ‎(10,12]‎ ‎(12,17]‎ ‎(17,22]‎ ‎(22,27]‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.2‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ ‎0.05‎ ‎0.05‎ 根据题意,该市居民该月的人均水费估计为 ‎4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).〚导学号74920598〛‎ ‎5.(2016湖北武汉二月调研)某商场经销某一种电器商品,在一个销售季度内,每售出一件该电器商品获利200元,未售出的商品,每件亏损100元.根据以往资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示,现在经销商为下一个销售季度购进了125件该种电器,以n(单位:件,95≤n≤155)表示下一个销售季度内市场需求量,Y(单位:元)表示下一个销售季度内销售该电器的利润.‎ ‎(1)将Y表示为n的函数;‎ ‎(2)求频率分布直方图中a的值;‎ ‎(3)根据直方图估计利润Y不少于22 000元的概率.‎ 解(1)依题意知下一个销售季度内经销该电器所获利润Y与需求量n之间的关系为Y=‎‎200n-100(125-n),95≤n≤125,‎‎125×200,126≤n≤155.‎ ‎(2)由0.010×10×2+a×10+0.018×10+0.022×10+0.024×10=1,求得a=0.016.‎ ‎(3)而300n-100×125≥22 000,知n≥115(件).‎ 由频率分布直方图可知P(n≥115)=1-0.1-0.16=0.74,故估计利润Y不少于22 000元的概率为0.74.〚导学号74920599〛‎ ‎6.(2016山东淄博一模)学业水平考试后,某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计,结果如下(人数):‎ 项　　目 数学 优秀 合格 不合格 英语 优秀 ‎70‎ ‎30‎ ‎20‎ 合格 ‎60‎ ‎240‎ b 不合格 a ‎20‎ ‎10‎ 已知英语、数学的优秀率分别为24%,30%(注:合格人数中不包含优秀人数).‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)现按照英语成绩的等级,采用分层抽样的方法,从数学不合格的学生中选取6人,若再从这6人中任选2人,求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率.‎ 解(1)设该校高二学生共有x人,已知英语优秀的有70+30+20=120人,依题意得‎120‎x=0.24,解得x=500.故‎70+60+a‎500‎=0.3,解得a=20,由学生总数为500人,得b=30.‎ ‎(2)由题意得,在抽取的数学不及格的6人中,英语优秀的应抽取2人,分别记为a1,a2;英语合格的应抽取3人,分别记为b1,b2,b3;英语不合格的应抽取1人,记为c,从中任取2人的所有结果有15种,这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的基本事件有{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},共6种,因此这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率为‎6‎‎15‎‎=‎‎2‎‎5‎.〚导学号74920600〛‎ ‎7.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合　　计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合　　计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎(1)根据表中数据,问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异;‎ ‎(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.‎ 附:K2=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎,其中n=a+b+c+d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 解(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎‎=‎100×(60×10-20×10‎‎)‎‎2‎‎70×30×80×20‎=‎‎100‎‎21‎≈4.762.‎ 因为4.762>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异.‎ ‎(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.‎ 其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.事件A是由7个基本事件组成,因而P(A)=‎7‎‎10‎.〚导学号74920601〛‎ ‎8.‎ ‎(2016河南顶级名校二模)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.‎ ‎(1)求x和y的值;‎ ‎(2)计算甲班7名学生成绩的方差s2;‎ ‎(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.‎ 解(1)因为甲班学生的平均分是85,‎ 所以‎92+96+80+80+x+85+79+78‎‎7‎=85.所以x=5.‎ 因为乙班学生成绩的中位数是83,所以y=3.‎ ‎(2)甲班7名学生成绩的方差为s2‎ ‎=‎1‎‎7‎[(-6)2+(-7)2+(-5)2+02+02+72+112]=40.‎ ‎(3)甲班成绩在90分以上的学生有两名,分别记为A,B;‎ 乙班成绩在90分以上的学生有三名,分别记为C,D,E;‎ 从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E);其中甲班至少有一名学生共有7种情况:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E).‎ 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生”为事件M,则P(M)=‎7‎‎10‎.〚导学号74920602〛‎