高考数学专题复习练习:9-9-2 专项基础训练

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高考数学专题复习练习:9-9-2 专项基础训练

‎ A组 专项基础训练 ‎(时间:40分钟)‎ ‎1.(2016·四川)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(  )‎ A.          B. C. D.1‎ ‎【解析】 ∵M在线段PF上,且|PM|=2|MF|,∴=2.设P(x0,y0),得M.∵P(x0,y0)在抛物线y2=2px上,∴x0=,由题可得y0≤0时,OM的斜率不是最大值,故y0>0,故kOM===≤,当且仅当=即y0=p时“=”成立.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎2.(2017·台州模拟)已知P为双曲线C:-=1上的点,点M满足||=1,且·=0,则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(  )‎ A. B. C.4 D.5‎ ‎【解析】 由·=0,得OM⊥PM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值,当|OP|取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点(±3,0),而双曲线的渐近线为4x±3y=0,∴所求的距离d=,故选B.‎ ‎【答案】 B ‎3.(2017·江西南昌调研)已知圆O1:(x-2)2+y2=16和圆O2:x2+y2=r2(0<r<2),动圆M与圆O1,圆O2都相切,动圆圆心M的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为e1,e2(e1>e2),则e1+2e2的最小值是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 ①当动圆M与圆O1,O2都相内切时,|MO2|+|MO1|=4-r=2a,故e1=.‎ ‎②当动圆M与圆O1相内切而与圆O2相外切时,|MO1|+|MO2|=4+r=2a′,故e2=.‎ 因此e1+2e2=+=,令12-r=t(10<t<12),e1+2e2=2×≥2×==,故选A.‎ ‎【答案】 A ‎4.(2017·绵阳模拟)若点O和点F分别为椭圆+=1的中点和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则·的最小值为________.‎ ‎【解析】 点P为椭圆+=1上的任意一点,设P(x,y)(-3≤x≤3,-2≤y≤2),依题意得左焦点F(-1,0),∴=(x,y),=(x+1,y),∴·=x(x+1)+y2=x2+x+=·+.‎ ‎∵-3≤x≤3,∴≤x+≤,∴≤≤,‎ ‎∴≤≤,∴6≤·+≤12,即6≤·≤12.故最小值为6.‎ ‎【答案】 6‎ ‎5.(2017·浙江温州一模)已知斜率为的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于x轴上方的不同两点A,B,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围是________.‎ ‎【解析】 设直线l的方程为y=x+b(b>0),即x=2y-2b,‎ 代入抛物线方程y2=2px,可得y2-4py+4pb=0,‎ Δ=16p2-16pb>0,∴p>b.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=4pb,k1+k2=+=+==>2.‎ ‎【答案】 (2,+∞)‎ ‎6.(2016·赣江模拟)如图所示,设F(-c,0)是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,直线l:x=-与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B.‎ ‎①证明:∠AFM=∠BFN;‎ ‎②求△ABF面积的最大值.‎ ‎【解析】 (1)∵|MN|=8,‎ ‎∴a=4,‎ 又∵|PM|=2|MF|,‎ ‎∴e=.‎ ‎∴c=2,b2=a2-c2=12.‎ ‎∴椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)①证明 当AB的斜率为0时,显然∠AFM=∠BFN=0,满足题意;‎ 当AB的斜率不为0时,‎ 设A(xA,yA),B(xB,yB),‎ AB的方程为x=my-8,‎ 代入椭圆方程整理得(3m2+4)y2-48my+144=0.‎ Δ=576(m2-4)>0,得m2>4,‎ yA+yB=,‎ yAyB=.‎ 则kAF+kBF=+=+ ‎= ‎=,‎ 而2myAyB-6(yA+yB)=2m·-6·=0,‎ ‎∴kAF+kBF=0,‎ ‎∴∠AFM=∠BFN.‎ 综上可知,∠AFM=∠BFN.‎ ‎②S△ABF=S△BFP-S△AFP=|PF|·|yB-yA|=,‎ 即S△ABF==≤=3,‎ 当且仅当3=,‎ 即m=±时(此时适合于Δ>0的条件)取到等号.‎ ‎∴△ABF面积的最大值是3.‎ ‎7.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.‎ ‎(1)若e=,求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,若·=0,且<e≤,求k的取值范围.‎ ‎【解析】 (1)由焦点F2(3,0),知c=3,‎ 又e==,所以a=2.‎ 又由a2=b2+c2,解得b2=3.‎ 所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)由得(b2+a2k2)x2-a2b2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知,‎ x1+x2=0,x1x2=-.‎ 又=(3-x1,-y1),=(3-x2,-y2),‎ 所以·=(3-x1)(3-x2)+y1y2‎ ‎=(1+k2)x1x2+9=0,‎ 即+9=0,‎ 整理得k2==-1-.‎ 由<e≤及c=3,‎ 知2≤a<3,12≤a2<18.‎ 所以a4-18a2=(a2-9)2-81∈[-72,0),‎ 所以k2≥,则k≥或k≤-,‎ 因此实数k的取值范围为∪.‎ B组 专项能力提升 ‎(时间:25分钟)‎ ‎8.(2017·威海模拟)已知圆x2+y2=1过椭圆+=1(a>b>0)的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点,直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,与椭圆+=1相交于A,B两点.记λ=·,且≤λ≤.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求k的取值范围;‎ ‎(3)求△OAB的面积S的取值范围.‎ ‎【解析】 (1)由题意知2c=2,所以c=1.‎ 因为圆与椭圆有且只有两个公共点,‎ 从而b=1,故a=,所以所求椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)因为直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,‎ 所以原点O到直线l的距离为=1,‎ 即m2=k2+1.‎ 由 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ λ=·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=,‎ 由≤λ≤,得≤k2≤1,‎ 即k的取值范围是∪.‎ ‎(3)|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=2-,‎ 由≤k2≤1,得≤|AB|≤.‎ 设△OAB的AB边上的高为d,‎ 则S=|AB|d=|AB|,‎ 所以≤S≤.‎ 即△OAB的面积S的取值范围是.‎ ‎9.(2017·湖北黄冈模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.‎ ‎【解析】 (1)∵双曲线的离心率为,‎ ‎∴椭圆的离心率e==.‎ 又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,‎ ‎∴右顶点为(2,0),即a=2,c=,b=1,‎ ‎∴椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 联立消去y并整理,得 ‎(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ 所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)‎ ‎=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,‎ 又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,‎ 故·==k2⇒-+m2=0,‎ 由m≠0,得k2=⇒k=±.‎ 又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,得0<m2<2,‎ 显然m2≠1(否则x1x2=0,则x1,x2中至少有一个为0,直线OM,ON中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾).‎ 设原点O到直线MN的距离为d,则 S△OMN=|MN|d ‎= |x1-x2|‎ ‎=|m| ‎= .‎ 由0<m2<2,且m2≠1,得 ‎△OMN面积的取值范围为(0,1).‎
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