高考数学专题复习练习:第四章 4_5 第1课时两角和与差的余弦、正弦、正切公式

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高考数学专题复习练习:第四章 4_5 第1课时两角和与差的余弦、正弦、正切公式

‎1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))‎ cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))‎ sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))‎ sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))‎ tan(α-β)=,(T(α-β))‎ tan(α+β)=.(T(α+β))‎ ‎2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α;‎ cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;‎ tan 2α=.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.降幂公式:cos2α=,sin2α=.‎ ‎2.升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.‎ ‎3.辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ )‎ ‎(2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( × )‎ ‎(3)若α+β=45°,则tan α+tan β=1-tan αtan β.( √ )‎ ‎(4)对任意角α都有1+sin α=(sin +cos )2.( √ )‎ ‎(5)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( × )‎ ‎(6)在非直角三角形中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.( √ )‎ ‎1.(教材改编)sin 18°cos 27°+cos 18°sin 27°的值是(  )‎ A. B. C. D.- 答案 A 解析 sin 18°cos 27°+cos 18°sin 27°=sin(18°+27°)=sin 45°=.‎ ‎2.化简等于(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ 答案 C 解析 原式= ‎===.‎ ‎3.若=,则tan 2α等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 B 解析 由=,等式左边分子、分母同除cos α,得=,解得tan α=-3,‎ 则tan 2α==.‎ ‎4.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°= .‎ 答案  解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)=,‎ ‎∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)‎ ‎=-tan 20°tan 40°,‎ ‎∴原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=.‎ ‎5.(2016·浙江)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .‎ 答案  1‎ 解析 ∵2cos2x+sin 2x=cos 2x+1+sin 2x ‎=+1=sin+1‎ ‎=Asin(ωx+φ)+b(A>0),∴A=,b=1.‎ 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一 和差公式的直接应用 例1 (1)(2016·广州模拟)已知sin α=,α∈(,π),则= .‎ ‎(2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为(  )‎ A.- B. C. D.- 答案 (1)- (2)B 解析 (1)==cos α-sin α,‎ ‎∵sin α=,α∈(,π),‎ ‎∴cos α=-,∴原式=-.‎ ‎(2)由tan Atan B=tan A+tan B+1,‎ 可得=-1,即tan(A+B)=-1,‎ 又A+B∈(0,π),所以A+B=,‎ 则C=,cos C=.‎ 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.‎ ‎(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.‎ ‎ (1)(2016·全国丙卷)若tan α=,则cos2α+2sin 2α等于(  )‎ A. B. C.1 D. ‎(2)计算的值为(  )‎ A.- B. C. D.- 答案 (1)A (2)B 解析 (1)tan α=,则cos2α+2sin 2α= ‎==.‎ ‎(2)= ‎===.‎ 题型二 和差公式的综合应用 命题点1 角的变换 例2 (1)设α、β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β等于(  )‎ A. B. C.或 D.或 ‎(2)已知cos(α-)+sin α=,则sin(α+)的值是 .‎ 答案 (1)A (2)- 解析 (1)依题意得sin α==,‎ cos(α+β)=±=±.‎ 又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β).‎ 因为>>-,所以cos(α+β)=-.‎ 于是cos β=cos[(α+β)-α]‎ ‎=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ‎=-×+×=.‎ ‎(2)∵cos(α-)+sin α=,‎ ‎∴cos α+sin α=,‎ (cos α+sin α)=,sin(+α)=,‎ ‎∴sin(+α)=,‎ ‎∴sin(α+)=-sin(+α)=-.‎ 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ ‎(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=(α+)-(+β)等.‎ 命题点2 三角函数式的变形 例3 (1)化简: (0<θ<π);‎ ‎(2)求值:-sin 10°(-tan 5°).‎ 解 (1)由θ∈(0,π),得0<<,‎ ‎∴cos >0,‎ ‎∴==2cos .‎ 又(1+sin θ+cos θ)(sin -cos )‎ ‎=(2sin cos +2cos2)(sin -cos )‎ ‎=2cos (sin2-cos2)‎ ‎=-2cos cos θ.‎ 故原式==-cos θ.‎ ‎(2)原式=-sin 10°(-)‎ ‎=-sin 10°· ‎=-sin 10°· ‎=-2cos 10°= ‎= ‎= ‎==.‎ 引申探究 化简: (0<θ<π).‎ 解 ∵0<<,∴=2sin ,‎ 又1+sin θ-cos θ=2sin cos +2sin2 ‎=2sin (sin +cos )‎ ‎∴原式==-cos θ.‎ ‎ (1)(2016·宿州模拟)若sin(+α)=,则cos(-2α)等于(  )‎ A. B.- C. D.- ‎(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α+)·sin 2α-2cos2α等于(  )‎ A.cos2α B.sin2α C.cos 2α D.-cos 2α ‎(3)计算:sin 50°(1+tan 10°)= .‎ 答案 (1)D (2)D (3)1‎ 解析 (1)∵sin(+α)=,∴cos(-α)=,‎ ‎∴cos(-2α)=cos 2(-α)=2×-1=-.‎ ‎(2)原式=·sin 2α-2cos2α ‎=1-2cos2α=-cos 2α.‎ ‎(3)sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°(1+)‎ ‎=sin 50°× ‎=sin 50°× ‎====1.‎ ‎8.利用联系的观点进行角的变换 典例 (1)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为 .‎ ‎(2)若tan α=2tan,则等于(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有=(α-)-(-β);α=(α-β)+β;α+=(α+)-;15°=45°-30°等.‎ 解析 (1)∵α为锐角且cos(α+)=>0,‎ ‎∴α+∈(,),∴sin(α+)=.‎ ‎∴sin(2α+)=sin[2(α+)-]‎ ‎=sin 2(α+)cos -cos 2(α+)sin ‎=sin(α+)cos(α+)-[2cos2(α+)-1]‎ ‎=××-[2×()2-1]‎ ‎=-=.‎ ‎(2)= ‎== ‎= ‎= ‎==3,故选C.‎ 答案 (1) (2)C ‎1.(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 D 解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.‎ ‎2.(2016·全国甲卷)若cos=,则sin 2α等于(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 D 解析 因为sin 2α=cos=2cos2-1,又因为cos=,所以sin 2α=2×-1=-,故选D.‎ ‎3.已知sin 2α=,则cos2等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 因为cos2= ‎==,‎ 所以cos2===,故选A.‎ ‎4.(2016·东北三省三校联考)已知sin α+cos α=,则sin2(-α)等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由sin α+cos α=,两边平方得1+sin 2α=,‎ 解得sin 2α=-,‎ 所以sin2(-α)= ‎===.‎ ‎5.的值是(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 原式= ‎= ‎==.‎ ‎6.(2016·江西九校联考)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则α,β的大小关系是(  )‎ A.α<<β B.β<<α C.<α<β D.<β<α 答案 B 解析 ∵α为锐角,sin α-cos α=>0,∴α>.‎ 又tan α+tan β+tan αtan β=,‎ ‎∴tan(α+β)==,‎ ‎∴α+β=,又α>,∴β<<α.‎ ‎7.化简·= .‎ 答案  解析 原式=tan(90°-2α)· ‎=·· ‎=··=.‎ ‎8.已知tan(+θ)=3,则sin 2θ-2cos2θ的值为 .‎ 答案 - 解析 ∵tan(+θ)=3,‎ ‎∴=3,解得tan θ=.‎ ‎∵sin 2θ-2cos2θ=sin 2θ-cos 2θ-1‎ ‎=--1‎ ‎=--1‎ ‎=--1=-.‎ ‎9.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin(β+)= .‎ 答案  解析 依题意可将已知条件变形为 sin[(α-β)-α]=-sin β=,sin β=-.‎ 又β是第三象限角,因此有cos β=-.‎ sin(β+)=-sin(β+)‎ ‎=-sin βcos -cos βsin =.‎ ‎*10.(2016·宝鸡模拟)已知cos(+θ)cos(-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值为 .‎ 答案  解析 因为cos(+θ)cos(-θ)‎ ‎=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ)‎ ‎=(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ=.‎ 所以cos 2θ=.‎ 故sin4θ+cos4θ=()2+()2‎ ‎=+=.‎ ‎11.已知α∈(0,),tan α=,求tan 2α和sin(2α+)的值.‎ 解 ∵tan α=,‎ ‎∴tan 2α===,‎ 且=,即cos α=2sin α,‎ 又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,‎ 而α∈(0,),∴sin α=,cos α=.‎ ‎∴sin 2α=2sin αcos α=2××=,‎ cos 2α=cos2α-sin2α=-=,‎ ‎∴sin(2α+)=sin 2αcos +cos 2αsin =×+×=.‎ ‎12.已知α∈,且sin +cos =.‎ ‎(1)求cos α的值;‎ ‎(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.‎ 解 (1)因为sin +cos =,‎ 两边同时平方,得sin α=.‎ 又<α<π,所以cos α=-.‎ ‎(2)因为<α<π,<β<π,‎ 所以-π<-β<-,故-<α-β<.‎ 又sin(α-β)=-,得cos(α-β)=.‎ cos β=cos[α-(α-β)]‎ ‎=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)‎ ‎=-×+× ‎=-.‎ ‎*13.(2017·合肥质检)已知cos(+α)cos(-α)=-,α∈(,).‎ ‎(1)求sin 2α的值;‎ ‎(2)求tan α-的值.‎ 解 (1)cos(+α)·cos(-α)‎ ‎=cos(+α)·sin(+α)‎ ‎=sin(2α+)=-,‎ 即sin(2α+)=-.‎ ‎∵α∈(,),∴2α+∈(π,),‎ ‎∴cos(2α+)=-,‎ ‎∴sin 2α=sin[(2α+)-]‎ ‎=sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =.‎ ‎(2)∵α∈(,),∴2α∈(,π),‎ 又由(1)知sin 2α=,∴cos 2α=-.‎ ‎∴tan α-=-= ‎==-2×=2.‎
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