2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04(人教A版2019)

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2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04(人教A版2019)

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04(人教A版2019)‎ ‎(本卷满分150分,考试时间120分钟)‎ 测试范围:选择性必修第一册 RJ-A(2019)第一章、第二章、第三章 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1.若双曲线的一个焦点为,则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线性质:,,∴,,故选B。‎ ‎2.在三棱锥中,平面平面,,,,,,则的长为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立以为原点的空间直角坐标系,‎ 则,,,‎ ‎∴,故选C。‎ ‎3.若点是直线:外一点,则方程表示( )。‎ A、过点且与垂直的直线 B、过点且与平行的直线 C、不过点且与垂直的直线 D、不过点且与平行的直线 ‎【答案】D ‎【解析】∵点不在直线:上,∴,‎ ‎∴直线不过点,‎ 又直线与直线:平行,故选D。‎ ‎4.已知圆:和两点、,若圆上存在点,使得,则的最小值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得点在圆上,因此由两圆有交点得:‎ ‎ ,即的最小值为,故选A。‎ ‎5.若圆上有且仅有两个点到原点的距离为,则实数的取值范围为( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意已知圆与圆相交,∴,‎ 解得且,故选B。‎ ‎6.如图所示,在三棱锥中,平面,是棱的中点,已知,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵平面,∴、,‎ 过点作,又,则、、两两垂直,‎ 如图,以为坐标原点,直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,‎ 则、、、,又为中点,则 故,,∴,‎ 设异面直线与所成的角为,则,故选C。‎ 另解:还原长方体,则, ,‎ 则异面直线与所成的角为与所成的角即,‎ 在中,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴,故选C。‎ ‎7.已知、是椭圆上关于原点对称的两点,是椭圆上任意一点,且直线、的斜率分别为、(),若的最小值为,则椭圆的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,,则,‎ 可得,,,‎ 又时,∴,∴,‎ 又∵,∴,故选D。‎ ‎8.已知双曲线(,)与抛物线()有相同的焦点,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点,,则双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知抛物线()的焦点坐标为,准线方程为,‎ 由在抛物线的准线上,则,则,则焦点坐标为,‎ ‎∴,则,解得,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是,将代入渐近线的方程,即,‎ 则双曲线的离心率为,故选C。‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.过点,并且在两轴上的截距相等的直线方程为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AC ‎【解析】设所求直线方程为(、不同时为),‎ 显然,当或时,所得直线方程不满足题意,故、均不为,‎ 当时,,当时,,‎ 根据题意,直线在两坐标轴上的截距相等,则,‎ 令,则,整理,得,‎ 解得,或,则,或,‎ 故所求直线方程为或,故选AC。‎ ‎10.给出下列命题,其中正确的有( )。‎ A、空间任意三个向量都可以作为一组基底 B、已知向量,则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C、、、、是空间四点,若、、不能构空间的一组基底,则、、、共面 D、已知是空间向量的一组基底,若,则也是空间的一组基底 ‎【答案】BCD ‎【解析】A选项,空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底,故A错,‎ B选项,若,则、与任何向量都共面,故不能构成空间的一组基底,故B对,‎ C选项,若、、不能构空间的一组基底,则、、共面,‎ 又、、过相同的点,则、、、四点共面,故C对,‎ D选项,∵是空间向量的一组基底,则、与向量一定不共面,‎ ‎∴也可以构成空间向量的一组基底, ‎ 故选CBD。‎ ‎11.设抛物线:()的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BD ‎【解析】设,则,则,又,‎ 则以为直径的圆的方程为,将代入,‎ 得,即,,由得:,‎ 解得或,则方程为或,故选BD。‎ ‎12.我们把离心率为的双曲线(,)称为黄金双曲线。如图所示,、是双曲线的实轴顶点,、是虚轴顶点,、是焦点,过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于 ‎、两点,则下列命题正确的是( )。‎ A、双曲线是黄金双曲线 B、若,则该双曲线是黄金双曲线 C、若,则该双曲线是黄金双曲线 D、若,则该双曲线是黄金双曲线 ‎【答案】BCD ‎【解析】A选项,,不是黄金双曲线;‎ B选项,,化成,即,‎ 又,解得,是黄金双曲线;‎ C选项,∵,∴,∴,‎ 化简得,由②知是黄金双曲线;‎ D选项,∵,∴轴,,且是等腰,∴,‎ 即,由②知是黄金双曲线;‎ 综上,BCD是黄金双曲线,故选BCD。‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知入射光线经过点,被直线:反射,反射光线经过点,则反射光线所在直线的方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点关于直线:的对称点为,则反射光线所在直线过点,‎ ‎∴,∴解得,,又反射光线经过点,‎ ‎∴所求直线的方程为,即。‎ ‎14.如图所示,平面,,,,则二面角的余弦值大小为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以点为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,‎ ‎∵、、、‎ ‎∴,,,‎ 设平面的法向量为,‎ 设平面的法向量为,‎ 则且,‎ ‎∴可取,,∴。‎ ‎15.抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于、两点,且满足,点为原点,则的面积为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图,由题意可知,,‎ 由得,‎ 又根据∽可得,‎ 即,即,解得,,‎ ‎∴点的坐标为或,∴。‎ ‎16.如图所示,在正四棱柱中,,,动点、分别在线段、上,则线段长度的最小值是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图建系,则,,,,‎ 设点,,,则,‎ ‎,则,‎ 设点,,,‎ 则,,则,‎ ‎∴,‎ 则当且仅当、时,线段长度取最小值是。‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知圆上一定点,为圆内一点,、为圆上的动点。‎ ‎(1)求线段中点的轨迹方程;‎ ‎(2)若,求线段中点的轨迹方程。‎ ‎【解析】(1)设的中点为,由中点坐标公式可知,点坐标为, 2分 ‎∵点在圆上,∴, 4分 故线段中点的轨迹方程为; 5分 ‎(2)设的中点为,在中,, 6分 设为坐标原点,连接,则,‎ ‎∴, 8分 ‎∴,‎ 故线段中点的轨迹方程为。 10分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知点,点是圆:上的任意一点,线段的垂直平分线与直线交于点。‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)若直线与点的轨迹有两个不同的交点和,且原点总在以为直径的圆的内部,求实数的取值范围。‎ ‎【解析】(1)由题意知:,,∴, 2分 ‎∴的轨迹是以、为焦点的椭圆,其轨迹方程为; 3分 ‎(2)设、,则将直线与椭圆的方程联立得,消去得: 5分 ‎,由得:,① 7分 ‎∴,, 8分 ‎∵原点总在以为直径的圆的内部,∴,即, 9分 而,∴, 10分 即,∴,且满足①式的取值范围是。 12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图所示,已知三棱柱,底面三角形为正三角形,侧棱底面,,,为的中点,为的中点。‎ ‎(1)证明:直线平面;‎ ‎(2)求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。‎ ‎ ‎ ‎【解析】(1)证明:由题意可知,三棱柱为直三棱柱,则四边形为矩形,‎ 连接交于点,连、,则为和的中点,‎ 又∵为的中点,∴, 2分 又∵为的中点, ∴,∴,‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴, 4分 又∵平面,平面,∴平面; 5分 ‎(2)∵三角形为正三角形,∴,又底面,∴底面,‎ 以为原点,、、为、、轴建立直角坐标系,如图建系, 6分 则,,,,,, 7分 设平面的法向量为,又,,‎ 则,得,‎ 令,则,,则, 9分 又可知平面的法向量为, 10分 设平面与平面的夹角的平面角为,‎ 则,‎ ‎∴平面和平面所成的锐二面角的余弦值。 12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆:()的左、右顶点分别为、,其离心率,过点的直线与椭圆交于、两点(异于、),当直线的斜率不存在时,。‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线与交于点,试问:点是否恒在一条直线上?若是,求出此定直线方程,若不是,请说明理由。‎ ‎【解析】(1)由题意可设椭圆的半焦距为,由题意得:,,, 2分 解得,,,∴椭圆的方程为:; 4分 ‎(2)由题意可知直线的倾角不为,‎ 设直线的方程为,、, 5分 联立,由题意可知恒成立, 6分 由、是上方程的两根可知:,‎ ‎, 7分 直线的方程为:,直线的方程为:, 8分 得:, 10分 把代入得:‎ ‎, 11分 即,故点恒在定直线上。 12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图所示,在多面体中,底面是梯形,,,,底面 ‎,,,点为的中点,点在线段上。‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)如果直线与平面所成的角的正弦值为,求点的位置。‎ ‎【解析】(1)证明:在梯形中,∵,则,‎ ‎∴,,∴, 1分 ‎∵点为的中点,∴,∴, 2分 ‎∴四边形是平行四边形,,∴, 3分 又∵底面,底面,∴, 4分 又平面,平面,,∴平面; 5分 ‎(2)解:以建系,则、、、、,‎ ‎∴,,, 6分 设(),则,‎ 则,, 7分 设平面的法向量为,由得, 8分 令得平面的一个法向量为, 9分 则 ‎,‎ 解得或(舍),即, 11分 ‎∴当点与点重合时直线与平面所成的角的正弦值为。 12分 ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆:()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍,且点在椭圆上。‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点任作一条直线,与椭圆交于不同于的、两点,与直线:交于点,记直线、、的斜率分别为、、,求证:。‎ ‎【解析】(1)∵椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为、,‎ ‎∴依题意有:, 1分 ‎∵,∴,故可设椭圆的方程为:, 2分 ‎∵点在椭圆上,∴将其代入椭圆的方程得, 3分 ‎∴椭圆的方程为; 4分 ‎(2)依题意,直线不可能与轴垂直,故可设直线的方程为:,‎ 即, 5分 设与椭圆的两个交点为、,‎ 将代入方程化简得:‎ ‎, 6分 ‎∴恒成立,∴,, 7分 ‎∴‎ ‎ ‎ ‎, 9分 又由,解得,, 10分 即点的坐标为,∴, 11分 ‎∴,原命题得证。 12分
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