- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02(人教A版)(理)
2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02(人教A版)(理) (本卷满分150分,考试时间120分钟) 测试范围:人教A版 必修5全册+选修2-1全册 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 1.已知等比数列的公比为,那么“”是“无单调性”的( )。 A、充分不必要条件 B、必须不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】能推出无单调性,又无单调性时或,故选A。 2.如图所示,空间四边形中,,,,点在上,且,为中点,则( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】,∴应选B。 3.已知椭圆()的两焦点分别为、。若椭圆上有一点,使,则的取值范围是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设,,则,,∴, 又,即,∴,从而,故选B。 4.数列中,数列为等比数列且,若,则( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】∵且,∴,,…,, ∴, 又∵数列为等比数列, ∴,故选D。 5.的顶点分别为、、,则边上的高的长为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵、、,则,, ∵点在直线上,∴设, 则, 又∵,则,解得。 ∴,则,故选C。 6.在,,,点是的重心,则的最小值是( ) 。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】设的中点为,∵点是的重心, ∴, 再令,,则,解得, ∴, ∴,当且当时取等号,故选C。 7.已知、是双曲线:的左、右两个焦点,若双曲线在第一象限上存在一点,使得,为坐标原点,且,则的值为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】,,∴,,, ,设点, , ∴,, 则,, ∴,∴,故选C。 8.如图所示,在正四棱柱中,,,动点、分别在线段、上,则线段长度的最小值是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】如图建系,则,,,, 设点,,,则, ,则, 设点,,, 则,,则, ∴, 则当且仅当、时,线段长度取最小值是,故选C。 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.已知,下列四个条件中,使成立的既不充分也不必要的条件是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】CD 【解析】A选项:,但不能,则是的充分而不必要条件, 例:,,,则,而,,,但, B选项:不能,但,则是的必要而不充分条件, 例:,,,但,而,,,则, C选项:不能,也不能, 则是的既不充分也不必要条件, 例:,,,但,而,,,但, D选项:不能,也不能, 则是的既不充分也不必要条件, 例:,,,但,而,,,但, 综上,选CD。 10.等比数列中,,公比,前项和为,下列结论错误的是( )。 A、, B、, C、, D、, 【答案】ABD 【解析】,, A选项,,, 若,则,无解,错, B选项,,, 构造函数,易知在上单调递增, 当时,,∴上不能保证恒成立,错, C选项,恒成立,即恒成立,对, D选项,,, 若,则,显然不成立,错, 故选ABD。 11.设,则当取最小值时,下列说法正确的是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】AC 【解析】原式 当且仅当,即,,时等号成立,此时, 故选AC。 12.已知、是双曲线(,)的左、右焦点,过作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点,交另一条渐近线于点,且,则该双曲线的离心率为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】AC 【解析】(1)当时,设,则,设, 由题意可知,,,, 则,,, 代入得, 即,解得,则, (2)当时,设,,设, 则,, 由题意可知,,,, 则,,, 则, 则, 代入得,即,解得,则, 故选AC。 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是 。 【答案】 【解析】,,,解得。 14.如图所示,二面角的棱上有、两点,直线、分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于。已知,,,,则该二面角的大小为 。 【答案】 【解析】由条件知,,, ∴ , ∴,即,∴二面角的大小为。 15.若数列,的通项公式分别是,,且恒成立,则实数的取值范围是 。 【答案】 【解析】当()时由恒成立得恒成立,∴, 当()时由恒成立得恒成立, ∴,又不能等于,, 综上,,填。 16.已知为坐标原点,是椭圆:()的左焦点,、分别为椭圆的左、右顶点,为椭圆上一点,且轴。过点的直线与线段交于点,与轴交于点。若直线经过的中点,则椭圆的离心率为 。 【答案】 【解析】作图,由题意得、、, 设,由得,则①; 又由,得,则②; 由①②得,即,则,故选A。 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 设等差数列公差为,前项和为,等比数列公比为,已知,,,。 (1)求数列、的通项公式; (2)当时,记,求数列的前项和。 【解析】(1)由题意有,即,解得或, 2分 故或; 4分 (2)由,知,,故, 5分 于是,① 6分 ,② 7分 ①-②可得, 9分 故。 10分 18.(本小题满分12分) 在中,、、分别为内角、、的对边,且。 (1)证明:; (2)若的面积,求的最小值。 【解析】(1)在中,,由题意、正弦定理及余弦定理得: ,则,即, 故, 3分 ∴, 5分 即, 6分 (2)∵,则, 又,即,则, 8分 由得, 10分 则,当且仅当时取等号,故的最小值为。 12分 19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,,,,,,,为的中点。 (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的余弦值。 【解析】(1)∵,,, ∴,∴,∴, 2分 在中,,, ∴,∴, 3分 又、平面,,∴平面; 4分 (2)由(1)得 、,, 又,∴平画, 以为坐标原点,如图建立空直角坐标系, 5分 ∴、、,,, 又∵为的中点,则, 6分 由图可知平面的法向量为,又, 8分 设直线与平面所成角的平面角为, 则, 11分 则。 12分 20.(本小题满分12分) 已知直线与抛物线:()交于、两点,且点、在轴两侧,其准线与轴的交点为点,当直线的斜率为且过抛物线的焦点时,。 (1)求抛物线的标准方程; (2)若抛物线的焦点为,,且与的面积分别为、,求的最小值。 【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时,直线的方程为, 1分 设、,联立得:, 2分 则,, 3分 ∴, 解得, 4分 ∴此抛物线的标准方程为; 5分 (2)由(1)知抛物线的方程为,设直线:, 6分 ∵直线与抛物线相交,∴, 7分 联立得:, 则,, 8分 则,解得或(舍), 9分 ∴直线:,恒过定点, 设,从而、, 10分 则, 11分 当且仅当时不等式取等号, 故的最小值为。 12分 21.(本小题满分12分) 如图,在三棱柱中,平面,,,,为的中点。 (1)求证:; (2)若二面角的大小为,求的长。 【解析】(1)在中,由余弦定理得:, 则,则, 2分 ∵为的中点,∴,又∵, 则 , ∴,∴,∴, 4分 又∵平面,平面,∴, ∴,,,、平面, ∴平面,又∵平面,∴; 6分 (2)由(1)可得,平面,设,如图建系, 则,,,,, 7分 设平面的法向量为,则,即, 取,则,,得, 10分 又平面的法向量为,设二面角的平面角为, 则, 解得,∴。 12分 22.(本小题满分12分) 已知椭圆(),设为椭圆上一点,且,。 (1)求; (2)若,,是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形?若存在,请求出共有几个?若不存在,请说明理由。 【解析】(1)设,,由椭圆定义得, 设椭圆的半焦距为,则, 2分 对由余弦定理得: , 解得,又,结合得; 5分 (2)可得椭圆的标准方程为:, 当、中一个斜率为零,一个斜率不存在显然不符合题意, 6分 设:,不妨设, 联立直线和椭圆方程得:, 7分 ∴两根为、, ∴, 8分 由,得, 把中的换成,可得, 10分 由,得, 结合化简得,整理得, 解得、、,均符合, ∴符合条件的的个数有个。 12分查看更多