- 2021-06-15 发布 |
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文档介绍
2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02(人教A版)(文)
2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02(人教A版)(文) (本卷满分150分,考试时间120分钟) 测试范围:人教A版 必修5全册+选修1-1第一章、第二章 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 1.已知,若:,:,则是的( )。 A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不能推出,当、时,满足:,但不满足:, 能推出,当时,, ∴是的必要不充分条件,选A。 2.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比。如果在距离车站处建仓库,则土地费用和运输费用分别为万元和万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )。 A、处 B、处 C、处 D、处 【答案】A 【解析】设仓库建在离车站处,则土地费用(),运输费用(), 把,代入得,把,代入得, 故总费用, 当且仅当,即时等号成立,故选A。 3.已知等比数列的前项积满足,则( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵,∴,,故选C。 4.关于的不等式()的解集为,则的最小值是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】可化为,解集为, ∵,∴,, ∴,故选C。 5.对于一个给定的数列,把它连续的两项与的比记为,得到一个新的数列,称数列是数列的一阶比数列,若数列的一阶比数列是每一项均为的常数列,则 ( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由题意可知,数列满足,则数列是等比数列,且公比, 则,故选D。 6.已知椭圆:()的左、右焦点分别为、。若椭圆上存在点使,则椭圆的离心率的取值范围为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】如图,设,,由正弦定理得:, 则,则,又, 则,,又, 则,两边同除以得, 解得,故选C。 7.在中,角、、的对边分别为、、,若,且、、为等差数列,则( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】,则,又、、等差, 则,,, , ,故选C。 8.在双曲线:(,)的右支上存在点,使点与双曲线的左、右焦点、形成的三角形的内切圆的半径为,若的重心满足,则双曲线的离心率为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】如图,由平行于轴可得,则, ∴, 又,则,, 由焦半径公式得, 因此代入双曲线方程得可得, ∴,即,故选C。 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.椭圆的离心率为,则的值为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】BD 【解析】①,,则,则,即,解得, ②,,则,则,即,解得,故选BD。 10.已知,下列四个条件中,使成立的既不充分也不必要的条件是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】CD 【解析】A选项:,但不能,则是的充分而不必要条件, 例:,,,则,而,,,但, B选项:不能,但,则是的必要而不充分条件, 例:,,,但,而,,,则, C选项:不能,也不能, 则是的既不充分也不必要条件, 例:,,,但,而,,,但, D选项:不能,也不能, 则是的既不充分也不必要条件, 例:,,,但,而,,,但, 综上,选CD。 11.设,则当取最小值时,下列说法正确的是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】AC 【解析】原式 当且仅当,即,,时,等号成立,此时, 故选AC。 12.若数列通项公式为,则满足的正整数的个数为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】AB 【解析】由可知, 当时,, 解得,不符,舍去, 当时, , 即,解得或,符合,可取, 故选AB。 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知实数、满足约束条件,则的最大值是 。 【答案】 【解析】表示可行域内的点与点连线的斜率, 当直线过点时,斜率取最大值,。 14.在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为 。 【答案】 【解析】∵等比数列的各项均为正数, ,∴, ∴ 。 15.已知中角、、所对的边分别为、、,,,,则 。 【答案】 【解析】由得:, 即,由得,得, 由余弦定理得,即,解得。 16.如图,已知抛物线的焦点为,直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点,则的最小值为 。 【答案】 【解析】∵,焦点,准线:, 由圆:,圆心,半径为, 由抛物线的定义得:, 又∵,∴,同理:, 当轴时,则,∴, 当的斜率存在且不为,设:时,代入抛物线方程,得: ,∴,, ∴ , 当且仅当,即,时取等号, 综上所述的最小值为。 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 在中,角、、的对边分别为、、,且。 (1)求的大小; (2)若为边上的中线,,,求的面积。 【解析】(1)在中,, 由正弦定理得:, 1分 则, 2分 则,又,∴, 3分 ∴,∵,∴; 4分 (2)在中,由余弦定理得, ∴①, 6分 在中,由正弦定理得,由已知得, 7分 ∴,∴②, 9分 由①②解得,∴。 10分 18.(本小题满分12分) 已知数列满足,对任意的均有。 (1)证明:数列为等比数列; (2)记数列满足,且数列的前项和为,求。 【解析】(1),又, 2分 ∴数列是首项为,公比为的等比数列, 3分 ∴,; 4分 (2), 6分 8分 10分 ∴, ∴。 12分 19.(本小题满分12分) 在中,内角、、的对边分别为、、,,,点在线段上,且,。 (1)求; (2)求的面积。 【解析】(1)∵点在线段上,且,∴,, 1分 在中,由余弦定理得:, 2分 在中,由余弦定理得:, 3分 则,化简得, 4分 在中,由余弦定理得: , 6分 化简得,十字相乘得:,解得或(舍去), ∴; 8分 (2)∵,,∴, 9分 ∴, 10分 又∵,,∴,∴。 12分 20.(本小题满分12分) 已知直线与抛物线:()交于、两点,且点、在轴两侧,其准线与 轴的交点为点,当直线的斜率为且过抛物线的焦点时,。 (1)求抛物线的标准方程; (2)若抛物线的焦点为,,且与的面积分别为、,求的最小值。 【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时,直线的方程为, 1分 设、,联立得:, 2分 则,, 3分 ∴, 解得, 4分 ∴此抛物线的标准方程为; 5分 (2)由(1)知抛物线的方程为,设直线:, 6分 ∵直线与抛物线相交,∴, 7分 联立得:, 则,, 8分 则,解得或(舍), 9分 ∴直线:,恒过定点, 设,从而、, 10分 则, 11分 当且仅当时不等式取等号, 故的最小值为。 12分 21.(本小题满分12分) 已知等差数列的前项和,满足。 (1)求的值; (2)设,数列的前项和为,求证:。 【解析】(1)由题意知,当时,, 1分 当时,由①,②, 2分 ①-②得(),∴(),, 3分 又数列为等差数列,∴,得; 4分 (2)由(1)知,,则, 5分 ∴, 6分 ∴, 7分 上式减下式得: 8分 , 9分 ∴, 10分 ∵,∴是关于的增函数,即, 11分 又易知,故。 12分 22.(本小题满分12分) 已知椭圆(),设为椭圆上一点,且,。 (1)求; (2)若,,是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形?若存在,请求出共有几个?若不存在,请说明理由。 【解析】(1)设,,由椭圆定义得, 设椭圆的半焦距为,则, 2分 对由余弦定理得: , 解得, 3分 又,结合得; 5分 (2)可得椭圆的标准方程为:, 当、中一个斜率为零,一个斜率不存在显然不符合题意, 6分 设:,不妨设, 联立直线和椭圆方程得:, 7分 ∴两根为、, ∴, 8分 由,得, 把中的换成,可得, 10分 由,得, 结合化简得,整理得, 解得、、,均符合, ∴符合条件的的个数有个。 12分查看更多