【数学】2020届一轮复习北师大版平行垂直综合问题课时作业

【数学】2020届一轮复习北师大版平行垂直综合问题课时作业

平行、垂直综合问题 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.如图所示,O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心,则下列 直线中与 B1O 垂直的是 ( ) A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1 【解析】选 D.易知 AC⊥平面 BB1D1D. 因为 A1C1∥AC,所以 A1C1⊥平面 BB1D1D. 又 B1O⊂平面 BB1D1D,所以 A1C1⊥B1O. 2.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则 ( ) A.BD∥平面 EFGH,且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形 【解析】选 B.由 AE∶EB=AF∶FD=1∶4 知 EF= BD,EF∥BD,所以 EF∥平面 BCD. 又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,所以 HG= BD,HG∥BD,所以 EF∥HG 且 EF≠HG,所 以四边形 EFGH 是梯形. 3.设α,β是两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线.命题 p:若平面α∥β,l⊂ α,m⊂β,则 l∥m;命题 q:l∥α,m⊥l,m⊂β,则β⊥α,则下列命题为真命题的 是 ( ) A.p 或 q B.p 且 q C. ¬ p 或 q D.p 且¬q 【解析】选 C.在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中,命题 p:平面 AC 为 平面α,平面 A1C1 为平面β,直线 A1D1 和直线 AB 分别是直线 m,l 显然满足α∥β,l⊂α,m⊂β,而 m 与 l 异面,故命题 p 是假命 题, ¬ p 是真命题;命题 q:平面 AC 为平面α,平面 A1C1 为平面 β,直线 A1D1 和直线 A1B1 分别是直线 m,l,显然满足 l∥α,m⊥l,m⊂β,而α∥β, 故命题 q 是假命题, ¬ q 是真命题,所以¬p 或 q 为真命题. 4.(2018·杭州模拟)空间四边形 ABCD 中,AB=CD=2,AD=BC=3,M,N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点,则 MN 与 ( ) A.AC,BD 之一垂直 B.AC,BD 不一定垂直 C.AC,BD 都不垂直 D.AC,BD 都垂直 【解析】选 D.连接 BM,DM,AN,CN,在△ABC 和△ACD 中,AB=CD, AD=BC,AC=CA,故△ABC≌△CDA.又 M 为 AC 中点,所以 BM=DM.因为 N 为 BD 的中点,所以 MN⊥BD.同理可证 MN⊥AC. 5.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个 结论中不成立的是 ( ) A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 【解析】选 C.如图,因为 D,F 分别是 AB,CA 的中点,所以 DF∥ BC,所以 BC∥平面 PDF ,所以 A 成立,因为 BC⊥AE, BC⊥PA, 所以 BC⊥平面 PAE,所以 DF⊥平面 PAE, 平面 PAE⊥平面 ABC, 所以 B,D 都成立,因为 P 在底面 ABC 上的射影 O 为 AE 的三等分点,而点 O 不在 DF 上,所以 C 不成立. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件______________ 时,有 MN∥平面 B1BDD1. 【解析】如图,连接 FH,HN,FN, 由题意知 HN∥平面 B1BDD1,FH∥平面 B1BDD1. 且 HN∩FH=H,所以平面 NHF∥平面 B1BDD1. 所以当 M 在线段 HF 上运动时,有 MN∥平面 B1BDD1. 答案:M∈线段 HF 7.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC1⊥平面 A1B1C1,AC=BC=5,AB=6,点 D,E,F 分别是 AB,B1C1,AA1 的中点.多面体 AB-A1B1C1 的体积为 32, 则 DC1 的长为________,EF 的长为________. 【解析】因为 AC=BC,D 是 AB 中点,所以 CD⊥AB,因为 AC1⊥平面 A1B1C1,平面 A1B1C1 ∥平面 ABC,所以 AC1⊥平面 ABC, 又 CD⊂平面 ABC,所以 AC1⊥CD, 设三棱柱的体积为 V,则 V=S△ABC·AC1, 因为在△ABC 中,AC=BC=5,AB=6, 所以 S△ABC=12.由题意可得 V=32,所以 AC1=4, 在△AC1D 中,DC1= = =5,取 A1C1 中点 G,连接 EG,FG, 因为 E,F 分别为 B1C1,AA1 的中点, 所以 FG=2,EG=3,FG∥AC1, 因为 AC1⊥平面 A1B1C1,EG⊂平面 A1B1C1, 所以 AC1⊥EG,所以 FG⊥EG, 所以 EF= = . 答案:5 8.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1=CA=CB=2,∠BAA1= .若 cos∠CAA1= ,则三 棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为________. 【解析】设点 O 为 AB 的中点,连接 CO,A1O,由 AB=AA1=CA=CB,∠BAA1= ,知△ABC 与△ABA1 均为等边三角形, CO=A1O= ,又在△A1AC 中,AA1=AC=2,cos∠CAA1= ,由余弦定理得 A1C= ,所以 CO2+A1O2=A1C2,所以 CO⊥A1O,又 A1O⊥AB,故 A1O⊥平面 ABC, 所以 =S△ABC·A1O= × =3, 所以所求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 3. 答案:3 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,AD∥BC,AD=2BC=2, △ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E 是 PD 上的点. 导学 号 求证:(1)AD∥平面 PBC. (2)平面 EAC⊥平面 PCD. 【证明】(1)因为 AD∥BC,BC⊂平面 PBC,AD⊄ 平面 PBC,所以 AD∥平面 PBC. (2)因为 PC⊥底面 ABCD,AC⊂底面 ABCD, 所以 PC⊥AC.由题意可知,AD∥BC 且 AD=2BC=2,△ABC 是等腰直角三角形, 所以 AC= BC= ,CD= , 所以 CD2+AC2=AD2,即 AC⊥CD, 又因为 PC∩CD=C,所以 AC⊥平面 PCD, 因为 AC⊂平面 EAC, 所以平面 EAC⊥平面 PCD. 10.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N 分别 是 AC,B1C1 的中点. 导学号 求证:(1)MN∥平面 ABB1A1. (2)AN⊥A1B. 【证明】(1)取 AB 的中点 P,连接 PM,PB1. 因为 M,P 分别是 AC,AB 的中点, 所以 PM∥BC,且 PM= BC. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC∥B1C1, BC=B1C1,又因为 N 是 B1C1 的中点, 所以 B1N= BC, B1N∥BC, 所以 PM∥B1N,且 PM=B1N. 所以四边形 PMNB1 是平行四边形, 所以 MN∥PB1, 而 MN⊄ 平面 ABB1A1,PB1⊂平面 ABB1A1, 所以 MN∥平面 ABB1A1. (2)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, 所以 BB1⊥平面 A1B1C1,又因为 BB1⊂平面 ABB1A1, 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1B1C1, 又因为∠ABC=90°,所以 B1C1⊥B1A1, 平面 ABB1A1∩平面 A1B1C1=B1A1,B1C1⊂平面 A1B1C1, 所以 B1C1⊥平面 ABB1A1,又因为 A1B⊂平面 ABB1A1,所以 B1C1⊥A1B,即 NB1⊥A1B, 连接 AB1,因为在平行四边形 ABB1A1 中,AB=AA1,所以 AB1⊥A1B, 又因为 NB1∩AB1=B1,且 AB1,NB1⊂平面 AB1N, 所以 A1B⊥平面 AB1N,而 AN⊂平面 AB1N, 所以 A1B⊥AN. 【变式备选】如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥AC,PC⊥BC,M 为 PB 的中 点,D 为 AB 的中点,且△AMB 为正三角形. (1)求证:BC⊥平面 PAC. (2)若 PA=2BC,三棱锥 P-ABC 的体积为 1,求点 B 到平面 DCM 的距离. 【解析】(1)在正△AMB 中,D 是 AB 的中点,所以 MD⊥AB. 因为 M 是 PB 的中点,D 是 AB 的中点,所以 MD∥PA,故 PA⊥AB. 又 PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面 ABC, 所以 PA⊥平面 ABC. 因为 BC⊂平面 ABC,所以 PA⊥BC. 又 PC⊥BC,PA∩PC=P,PA,PC⊂平面 PAC,所以 BC⊥平面 PAC. (2)设 AB=x,则 PA=2MD= x, BC= ,AC= x,三棱锥 P-ABC 的体积为 V= ·S△ABC·PA= x3=1,得 x=2,所以 AB=BM=AM=2,BC= ,AC=1, 设点 B 到平面 DCM 的距离为 h.因为 D 为 AB 的中点, 所以 S△BCD= S△ABC= × ×BC×AC= × ×1× = . 可求得 MD= ,由(1)知 MD∥PA,PA⊥平面 ABC,所以 MD⊥平面 ABC,所以 MD⊥DC. 在△ABC 中,CD= AB=1, 所以 S△MCD= ×MD×CD= × ×1= . 因为 VM-BCD=VB-MCD, 所以 S△BCD·MD= S△MCD·h, 即 × × = × ×h.所以 h= . 所以点 B 到平面 DCM 的距离为 . (20 分钟 40 分) 1.(5 分)下列命题正确的是 ( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【解析】选 C.A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行、相 交或异面,故 A 错误;B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两 个平面平行或相交,故 B 错误;C.设平面α∩β=a,l∥α,l∥β,由线面平行的性 质定理,在平面α内存在直线 b∥l,在平面β内存在直线 c∥l,所以由平行公理知 b∥c,从而由线面平行的判定定理可证明 b∥β,进而由线面平行的性质定理证 明得 b∥a,从而 l∥a,故 C 正确;D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平 面平行或相交,故 D 错误. 2.(5 分)有下列四个命题: ①垂直于同一条直线的两条直线平行; ②垂直于同一条直线的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两个平面平行; ④垂直于同一平面的两条直线平行. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号). 【解析】如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,对于①,AB⊥BB′,BC⊥BB′, AB,BC 不平行,故错误;对于②,两底面垂直于同一条侧棱,两个底面平行,故正确; 对于③,相邻两个侧面同垂直于底面,这两个平面不平行,故错误;对于④,平行 的侧棱垂直于底面,侧棱平行,故正确. 答案:②④ 3.(5 分)已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,PA=PD,若 AB=2 , PA= ,PB= ,则四棱锥 P-ABCD 的体积为________. 【解析】取 O 为棱 AD 的中点. 连接PO,BO,BD,因为底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2 ,所以△ABD是正三角 形,所以 AD⊥BO,OB=3, 因为 PA=PD,所以 AD⊥PO, 所以在 Rt△PAO 中,PA= ,AO= ,所以 PO=2. 又 PB= ,所以 OB2+PO2=PB2, 所以∠POB=90°,即 PO⊥OB, 又 AD⊥PO,且 OB∩AD=O, 所以 PO⊥平面 ABCD, 因为 S 菱形 ABCD=2× ×(2 )2×sin 60°=6 , 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V= ×6 ×2=4 . 答案:4 4.(12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC= AA1=1,D,E 分别是 棱 CC1,BB1 的中点. 导学号 (1)证明:A1E⊥AD. (2)求点 A 到平面 A1B1D 的距离. 【解析】(1)连接 DE,由直三棱柱 ABC-A1B1C1 知 CC1⊥BC, 因为 BC⊥AC,CC1∩AC=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 D,E 分别为 CC1,BB1 的中点,则 DE∥BC, 所以 DE⊥平面 ACC1A1,所以 DE⊥AD. 因为 AC=BC= AA1=1, 所以 A1D=AD=B1D=A1B1= , 所以 A1D2+AD2=4=A , 所以 AD⊥A1D,又 A1D∩DE=D, AD⊥平面 A1DE,所以 A1E⊥AD. (2)设点 A 到平面 A1B1D 的距离为 d, 因为 B1C1⊥A1C1,B1C1⊥CC1,CC1∩A1C1=C1, 所以 B1C1⊥平面 A1DA.由 = 知, ·d= ·B1C1, 即 × ×( )2·d= × × × ×1,解得 d= .点 A 到平面 A1B1D 的距离为 . 5.(13 分)如图,在直角△ABC 中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E 分别是 AB,BC 边的中 点,沿 DE 将△BDE 折起至△FDE,且∠CEF=60°. 导学号 (1)求四棱锥 F-ACED 的体积. (2)求证:平面 ADF⊥平面 ACF. 【解析】(1)因为 D,E 分别是 AB,BC 边的中点, 所以 DE AC,所以 DE⊥BC,DE=1. 依题意,DE⊥EF,BE=EF=2,于是有 ⇒DE⊥平面 CEF. 因为 DE⊂平面 ACED, 所以平面 ACED⊥平面 CEF, 过 F 点作 FM⊥EC 于 M,则 ⇒ FM⊥平面 ACED. 因为∠CEF=60°,所以 FM= , 所以梯形 ACED 的面积 S= (AC+ED)·EC= ×(1+2)×2=3. 四棱锥 F-ACED 的体积 V= Sh= ×3× = . (2)(方法一)如图.设线段 AF,CF 的中点分别为 N,Q,连接 DN,NQ,EQ,则 NQ AC, 于是 所以 EQ⊥FC. 由(1)知 DE⊥平面 CEF,EQ⊂平面 CEF, 所以 DE⊥EQ,所以 AC⊥EQ, 于是 所以 DN⊥平面 ACF,又 DN⊂平面 ADF, 所以平面 ADF⊥平面 ACF. (方法二)连接 BF,因为 EC=EF,∠CEF=60°, 所以△CEF 是边长为 2 的等边三角形. 因为 BE=EF,所以∠EBF= ∠CEF=30°, 所以∠BFC=90°,BF⊥FC. 又 DE⊥平面 BCF,DE∥AC, 所以 AC⊥平面 BCF,因为 BF⊂平面 BCF, 所以 AC⊥BF.又因为 FC∩AC=C, 所以 BF⊥平面 ACF,又因为 BF⊂平面 ADF, 所以平面 ADF⊥平面 ACF. 【变式备选】 1.如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=2,BC= ,DC=1,PA=PD. (1)求证:PB⊥AD. (2)若平面 PAB∩平面 PDC=直线 l,求证:直线 AB∥l. 【证明】(1)取线段 AD 的中点 E,连接 BD,PE,BE.在直角梯形 ABCD 中,由条件易 得 AD=BD=AB=2,又因为 PA=PD,E 为 AD 中点,所以 AD⊥PE,AD⊥BE, 因为 PE,BE⊂平面 PBE,且 PE∩BE=E, 所以 AD⊥平面 PBE,故 PB⊥AD. (2)由条件可知在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊄ 平面 PDC,CD⊂平面 PDC, 所以 AB∥平面 PDC, 又因为 AB⊂平面 PAB, 平面 PAB∩平面 PDC=l,所以 AB∥l. 2.如图,三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,PA⊥PC,PB=2. (1)求证:平面 PAC⊥平面 ABC. (2)若 PA=PC,求三棱锥 P-ABC 的体积. 【解析】(1)取 AC 的中点 O,连接 BO,PO. 因为△ABC 是边长为 2 的正三角形, 所以 BO⊥AC,BO= .因为 PA⊥PC,所以 PO= AC=1.因为 PB=2,所以 OP2+OB2=PB2, 所以 PO⊥OB.因为 AC,OP 为相交直线,所以 BO⊥平面 PAC.又 OB⊂平面 ABC, 所以平面 PAC⊥平面 ABC. (2)因为 PA=PC,PA⊥PC,AC=2,所以 PA=PC= .由(1)知 BO⊥平面 PAC. 所以 V= S△PAC·BO= ·( PA·PC)·BO= .