- 2021-06-30 发布 |
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文档介绍
【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 [最新考纲] 1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4. 2.p是q的充分不必要条件,等价于綈q是綈p的充分不必要条 件.其他情况依次类推. 3.集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件⇔AB;p是q的必要不充分条件⇔AB;p是q的充要条件⇔A=B. 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.( ) (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( ) (3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( ) (4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编 1.下列命题是真命题的是( ) A.矩形的对角线相等 B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若整数a是素数,则a是奇数 D.命题“若x2>0, 则x>1”的逆否命题 A [令a=c=0,b=d=-1,则ac<bd,故B错误;当a=2时,a是素数但不是奇数,故C错误;取x=-1,则x2>0,但x<1,故D错误.] 2.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( ) A.“若x<y,则x2<y2” B.“若x>y,则x2>y2” C.“若x≤y,则x2≤y2” D.“若x≥y,则x2≥y2” C [根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2> y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.故选C.] 3.“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B [若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2.故选B.] 4.命题“若α=,则sin α=” 的逆命题为________命题,否命题为________命题.(填“真”或“假”) 假 假 [若α=,则sin α=的逆命题为“若sin α=,则α=”是假命题;否命题为“若α≠,则sin α≠”是假命题.] 考点1 命题及其关系 判断命题真假的2种方法 (1)直接判断:判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可. (2)间接判断:当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 1.下列命题是真命题的是( ) A.若=,则x=y B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则= D.若x<y,则x2<y2 [答案] A 2.下列命题中的真命题是( ) ①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题; ④“若x=3,则x是无理数”的逆否命题. A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④ B [①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全为零”,是真命题;②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”,为假命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”是真命题,故其逆否命题也是真命题;④“若x=3,则x是无理数”是真命题,故其逆否命题也是真命题.故选B.] 3.已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥ 5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中,下列说法正确的有________.(填序号) ①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题; ②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题; ③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题. ①③ [本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.] 4.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是________. 若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 [m∈R是大前提,故该命题的逆否命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0.”] 四种命题的3个处理技巧 (1)要分清原命题的条件与结论.当原命题有大前提时,它的其他三种命题要保持大前提不变,只需改变小前提和结论.如T4. (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. (3)判断一个命题是真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题可举反例. 考点2 充分、必要条件的判定 充分条件和必要条件的3种判断方法 (1)定义法:可按照以下三个步骤进行 ①确定条件p是什么,结论q是什么; ②尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p; ③确定条件p和结论q的关系. (2)等价转化法:对于含否定形式的命题,如綈p是綈q的什么条 件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件. (3)集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. (1)(2019·浙江高考)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2019·天津高考)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)(2019·北京高考)设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (1)A (2)B (3)C [(1)由a>0,b>0,若a+b≤4,得4≥a+b≥2,即ab≤4,充分性成立;当a=4,b=1时,满足ab≤4,但a+b=5>4,不满足a+b≤4,必要性不成立.故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件,选A. (2)由x2-5x<0得0<x<5,记A={x|0<x<5},由|x-1|<1得0<x<2,记B={x|0<x<2},显然BA, ∴“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件,故选B. (3)|+|>||⇔|+|>|-|⇔2+2+2·>2+2-2·⇔·>0,由点A,B,C不共线,得〈,〉∈,故·>0⇔,的夹角为锐角.故选C.] [逆向问题] (2019·湘东五校联考)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A.m> B.0<m<1 C.m>0 D.m>1 C [若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=(-1)2-4m<0,解得m>,因此当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,必有m>0,但当m>0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m>0.] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么. (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断. (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明. 1.已知x∈R,则“x=-1”是“x2-5x-6=0”的( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B [x2-5x-6=0⇔x=-1或x=6, ∵x=-1⇒x=-1或x=6,而x=-1或x=6推不出x=-1, ∴“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分而不必要条件,故选B.] 2.给定两个命题p,q,若綈p是q的必要不充分条件,则p是綈 q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [因为綈p是q的必要不充分条件,所以q⇒綈p,但綈p q,其等价于p⇒綈q,但綈qp,故选A.] 3.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( ) A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 D [非有志者不能至,是必要条件;但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件.] 考点3 充分条件、必要条件的应用 根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系,再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解. 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为________. [0,3] [由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P. 又S为非空集合, 则 ∴0≤m≤3. 即所求m的取值范围是[0,3].] [母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求m的取值范围. [解] 由x∈P是x∈S的充分条件,知P⊆S,则 解得m≥9, 即所求m的取值范围是[9,+∞). 利用充要条件求参数的2个关注点 (1)巧用转化求参数:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)端点取值慎取舍:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍. 提醒:含有参数的问题,要注意分类讨论. 设n∈N+,则一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________. 3或4 [由Δ=16-4n≥0,得n≤4, 又n∈N*,则n=1,2,3,4. 当n=1,2时,方程没有整数根; 当n=3时,方程有整数根1,3, 当n=4时,方程有整数根2. 综上可知,n=3或4.]查看更多