【数学】2019届一轮复习北师大版玩转一题，学透立体几何学案

【数学】2019届一轮复习北师大版玩转一题，学透立体几何学案

一、典例分析，融合贯通 ‎ 典例1【2017年高考数 全国I理第18题】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明 平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎【解法1】综合法 不妨设 ，‎ 则易得,‎ 取中点，连接，则，‎ 所以即为所求二面角的平面角。在三角形中，‎ ‎，，,‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛之笔】按部就班，一竿子到底！‎ ‎【解法2】向量法 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛之笔】抓住法向量，什么都不怕！ ‎ ‎【点睛之笔】等体积法，点面之间的桥梁！‎ ‎【解后反思】‎ 解法1 综合法，尽显“严谨”本色！‎ 解法2 向量法，弱者的福音！‎ 解法3 等体积法是求点面距离的必杀器！ * * *X*X* ]‎ 典例2【2017年高考数 全国二理第10题】已知直三棱柱中，‎ ‎，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解法1】补形法 将原几何体补成四棱柱 ,则所求角为, ‎ ‎【点睛之笔】补形法，不仅补形，还很补脑！‎ ‎【解法2】向量法 取空间向量的一组基底为，则，‎ ‎，易知，，‎ ‎，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为，故本题答案为C.‎ ‎【点睛之笔】向量法，原 是场“三角恋”！‎ ‎【解法3】坐标法 如图所示，以垂直于的方向为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以异面直线与所成角的余弦值，故本题答案为C.‎ ‎【点睛之笔】坐标法，无理却可以走遍天下！ ‎ ‎【解后反思】‎ 1. 补形法，经常补对称图形！‎ 2. 向量法，用三角形将第三者分解！‎ 3. 坐标法，口说无凭，不是“说”了算，而是“算”了算！‎ 典例3【2017年高考数 上海卷第17题】如图，直三棱柱中，，，，。‎ （1） 求三棱柱的体积；‎ （2） 若是的中点，求与平面所成角的大小。‎ ‎∵平分，∴ ∴，‎ 且 ‎ 又 ，‎ 连接，知 ‎，∴要求直线与平面所成角的大小为 .‎ ‎【点睛之笔】向量法，立几中的“重器”！‎ ‎【解法2】向量法--正弦值表示法。‎ 又 ，‎ 连接，知 ‎∴要求直线与平面所成角的大小为 .‎ ‎【点睛之笔】正弦表示，不走转弯路！‎ 点睛 本题采用几何法计算比较好，准确度高，计算量少；但同时也许注意向量法的运用。‎ ‎【点睛之笔】抓住本质，不舍本逐末！ ‎ ‎【解后反思】‎ 解法1 向量法，可以撇开定义，曲径通幽!‎ 解法2 正弦表示，直奔答案，少走弯路！‎ 解法3 咬住定义不放松，任尔东西南北风！‎ 二、精选试题，能力升级 ‎1．【2018浙江温州一模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位 ）是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 2．【2018河南中原名校质检二】某几何体的三视图如图所示（单位 ），则该几何体的体积等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解 根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，‎ 结合图中数据，计算它的体积为 ‎ ‎ cm3． ‎ 故答案为 ．‎ ‎3．【2018湖南省两市九月调研】如图， 格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎4．【2018湖南永州市一模】已知某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥中，最长的棱长为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥，图中长方体中 ，由图知三棱锥的棱长 ，其中最长棱为，故选C.‎ ‎5．【2018湖北武汉市调研】设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则， ，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上， 到的最短距离为，故选A.‎ ‎6．【2018广东茂名市五校联考】在长方体中，，，‎ ‎，点在平面内运动，则线段的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 7．【2018天津市滨海新区八校联考】在四棱锥中， 平面， ， ， ， .‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）设点为线段上一点，且直线平面所成角的正弦值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ 试题解析 以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， ， ‎ ‎（1）， ，‎ ‎∵∴‎ ‎（2）， ，平面的法向量为 ‎， ，平面的法向量为.‎ ‎，二面角的余弦值为.‎ ‎（3）∵， ‎ ‎∴‎ 设为直线与平面所成的角 ‎，解得（舍）或.‎ 所以， 即为所求.‎ ‎8．【2018广西南宁三校联考】如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱 的长为4，过点作的垂线交侧棱于点，交于点．‎ ‎[ ]‎ ‎（1）求证 ⊥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值。‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 试题解析 ‎ ‎（1）连接 ，因为是正四棱柱，‎ 所以 ‎ 同理可得 又因为,所以平面． ‎ 由题意 二面角为锐角， 二面角的余弦值为 ‎ 解法二 连 交 于 ，可证是二面角的平面角 ‎ ‎ ‎ ‎ 二面角的余弦值为 ‎ ‎9．【2018河南省中原名校质检二】如图，四边形为正方形，平面，，.‎ ‎（1）证明 平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为.‎ ‎（1）依题意有，，.‎ 则，，.‎ 所以，.‎ 即，，故平面，‎ 又平面，所以平面平面.[ ]‎ ‎（2）依题意有，，.‎ 设是平面的法向量，则 即因此可取.‎ 设是平面的法向量，则 同理可取.‎ 所以.‎ 故二面角的余弦值为. ‎ ‎10．【2018吉林百校联盟九月联考】如图所示，在已知三棱柱中，，，，平面平面，点在线段上，点是线段的中点.‎ ‎（1）试确定点的位置，使得平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎【答案】(1)点为线段上靠近点的三等分点；(2).‎ 试题解析 ‎ ‎（1）取的中点，连接交于点，点即为所求的点.‎ 连接，∵是的中点，是的中点，∴，‎ 又平面，平面，所以直线平面，‎ ‎∵，，∴，∴，‎ 故点为线段上靠近点的三等分点.‎ ‎（2）不妨设，由（1）知，‎ 又平面 平面，平面平面，‎ 平面，∴平面.‎ 故，，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ ‎ ‎